Binominis plėtinys: formulė, paaiškinimas ir pavyzdžiai
Binominis plėtinys – tai algebrai būdingas reiškinys, kai skliausteliuose esanti dviejų sandų suma keliama laipsniu ir plėtojama į polinomą. Naudojama tokia skliaustų išraiška kaip ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}}. 
. Yra keli dažniausiai nagrinėjami atvejai: trumpi sveikieji laipsniai (pvz., 2 arba 3), bendras sveikasis neigiamas/teigiamas laipsnis (Binominio teoremos atvejis) ir išplėtimas į begalinę eilutę, kai laipsnis yra ne visai sveikasis (Newtono binominis plėtinys).
Formulė
Kai n yra neigiamas sveikasis ar nulis ir ypač kai n yra sveikasis n ≥ 0, galioja įprastinė binominio teoremos formulė:
(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k},
čia \binom{n}{k} (binominis koeficientas) skaičiuojamas pagal formulę
\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Iš čia matyti, kad plėtinys turi n+1 terminą, o koeficientai yra simetriški: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
Paaiškinimas ir intuityvus supratimas
Binominio koeficiento reikšmė combinatoriniu požiūriu: \binom{n}{k} yra būdų skaičius pasirinkti k „y“ elementų iš n dauginamųjų faktorių (t. y. kiek kartų gaunamas terminas su y^{k}). Tai paaiškina koeficientų reikšmes ir jų simetriją.
Pavyzdžiai
- (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Koeficientai 1, 2, 1 atitinka \binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}.
- (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. Koeficientai 1, 3, 3, 1 – tai trečias Pascalio eilutės rinkinys.
- (x+2)^4 = x^4 + 4·2 x^3 + 6·2^2 x^2 + 4·2^3 x + 2^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.
- (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1. Čia pasireiškia alternuojančiosios signų savybės, nes y = −1.
Pascalio trikampis
Binominio koeficientai lengvai randami Pascalio trikampyje: kiekvienas skaičius yra dviejų viršuje esančių kaimyninių skaičių suma. Trikampio eilutė, pradėjus nuo eilutės 0, duoda koeficientus (1), (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1) ir t. t.
Newtono binominis plėtinys (ne sveikiesiems laipsniams)
Jeigu eksponentas α yra ne sveikasis (pvz., realus arba frakcija), galima rašyti begalinę eilutę (galioja tinkamomis sąlygomis, pvz., |y/x|<1 arba kitaip perskirsčius reiškinį):
(1+z)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} z^{k},
kur
\binom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Pavyzdys: \sqrt{1+z} = 1 + \tfrac{1}{2}z - \tfrac{1}{8}z^2 + \tfrac{1}{16}z^3 + \dots, galioja |z|<1.
Taikymas
- Greitas polinomų plėtojimas ir paprastesnė algebrinė manipuliacija.
- Derivacijos ir integralai (Taylor/ Maclaurin eilučių vietose naudojant binominio tipo išplėtimus).
- Skaičiavimai kombinatorikoje ir tikimybių teorijoje (pvz., binominis skirstinys).
- Skirtingose mokslo šakose, nuo fizikos iki informatikos, kur reikia išreikšti daugkartinius sumų laipsnius.
Santrauka
Binominis plėtinys leidžia paprastai išreikšti (x+y)^{n} kaip sumą su binominiais koeficientais. Pagrindinė formulė remiasi kombinatorika ir faktorialais, o Pascalio trikampis bei Newtono plėtinys padeda rasti koeficientus tiek sveikiesiems, tiek ne sveikiesiems laipsniams. Praktikoje tai viena iš svarbiausių ir dažniausiai naudojamų algebros priemonių.
Formulės
Iš esmės yra trys binominio plėtinio formulės:
| ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}} |
| 1-oji (plius) |
| ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}} | 2. (Minus) | |
| ( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} | 3. (plius-minusas) |
Galime paaiškinti, kodėl yra tokios 3 formulės, naudodami paprastą sandaugos plėtinį:
( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} 
( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}} 
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}} 
Naudojant Paskalio trikampį
Jei n {\displaystyle n}
yra sveikasis skaičius ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
), naudojame Paskalio trikampį.
Išplėsti ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}}
:
- rasti Paskalio trikampio (1, 2, 1) 2 eilutę
- išplėskite x {\displaystyle x}
ir y {\displaystyle y}
, kad x {\displaystyle x} galia sumažėtų 1 kiekvieną kartą nuo n {\displaystyle n} iki 0, o y {\displaystyle y} galia padidėtų 1 kiekvieną kartą nuo 0 iki n {\displaystyle n}. - padauginkite skaičius iš Paskalio trikampio iš teisingų narių.
Taigi ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}} 
Pavyzdžiui:
( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} 
Taigi paprastai:
( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} 
kur a i {\displaystyle a_{i}}
yra skaičius n {\displaystyle n} eilutėje ir i {\displaystyle i}
pozicijoje Paskalio trikampyje.
Pavyzdžiai
( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}} 
= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} 
( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}} 
= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}} 
( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}} 
= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}} 
= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} 
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra binominis plėtinys?
A: Binominis išplėtimas - tai matematinis metodas, kai naudojant išraišką skliausteliuose (x+y)^n sudaroma eilutė.
K.: Kokia yra pagrindinė Binominio plėtinio sąvoka?
A: Pagrindinė Binominio plėtinimo koncepcija - išplėsti binominės išraiškos galią į eilutę.
K: Kas yra binominė išraiška?
A: Binominė išraiška yra algebrinė išraiška, kurią sudaro du nariai, sujungti pliuso arba minuso ženklu.
K: Kokia yra binominio išplėstinio skaičiaus formulė?
A: Binominės išraiškos formulė yra (x+y)^n, kur n yra eksponentas.
Klausimas: Kiek yra binominių išplėstinių tipų?
Atsakymas: Yra trys binominių išplėstinių skaičiavimų tipai.
K: Kokie yra trys binominio plėtinio tipai?
Atsakymas: Trys binominio plėtinio rūšys yra šios: pirmasis binominis plėtinis, antrasis binominis plėtinis ir trečiasis binominis plėtinis.
K: Kuo binominis plėtinys naudingas atliekant matematinius skaičiavimus?
A: Binominis plėtinys naudingas matematiniuose skaičiavimuose, nes padeda supaprastinti sudėtingas išraiškas ir spręsti sudėtingus uždavinius.
