Tamprus susidūrimas: apibrėžimas, energijos ir judesio išsaugojimas

Panagrinėkime dvi daleles, žymimas indeksais 1 ir 2. Tegul m₁ ir m₂ yra masės, u₁ ir u₂ - greičiai prieš susidūrimą, o v₁ ir v₂ - greičiai po susidūrimo.

Naudojant momento išsaugojimo principą užrašyti vieną formulę

Kadangi tai yra tamprus susidūrimas, bendrasis momentas prieš susidūrimą yra lygus bendrajam momentui po susidūrimo. Atsižvelgiant į tai, kad momentas (p) apskaičiuojamas taip

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Galime apskaičiuoti, kad momentas prieš susidūrimą yra toks:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

o judesio momentas po susidūrimo yra:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Nustatę, kad šios dvi lygybės lygios, gausime pirmąją lygtį:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Naudojant energijos išsaugojimo principą užrašyti antrąją formulę

Antroji taisyklė, kuria vadovaujamės, yra ta, kad bendra kinetinė energija išlieka ta pati, t. y. pradinė kinetinė energija yra lygi galutinei kinetinei energijai.

Kinetinės energijos formulė:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Taigi, naudodami tuos pačius kintamuosius kaip ir anksčiau: Pradinė kinetinė energija yra:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}}}

Galutinė kinetinė energija yra:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

Nustatome, kad abi jos yra lygios (nes bendra kinetinė energija išlieka ta pati):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Sudėjus šias dvi lygtis

Šias lygtis galima spręsti tiesiogiai ir rasti v_i , kai žinoma u_i , arba atvirkščiai. Pateikiame pavyzdinį uždavinį, kurį galima spręsti taikant arba impulso, arba energijos išsaugojimo principą:

Pavyzdžiui:

1 kamuoliukas: masė = 3 kg, v = 4 m/s

2 kamuoliukas: masė = 5 kg, v = -6 m/s

Po susidūrimo:

1 kamuolys: v = -8,5 m/s

2 kamuoliukas: v = nežinomas ( pavaizduosime jį su v )

Naudojant momento išsaugojimą:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Padauginę ir iš abiejų pusių atėmę 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3**(-8,5)} , gausime:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Sudėjus kairę pusę ir padalijus iš 5 {\displaystyle 5} gauname:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} , o atlikę galutinį dalijimą gausime:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}

Šį uždavinį taip pat galėjome išspręsti naudodami energijos išsaugojimo principą:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}}{2}}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}{2}}}}

Abi puses padauginę iš 2 {\displaystyle 2} , ir atlikę visus reikiamus daugiklius, gausime:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Sudėję kairėje pusėje esančius skaičius, iš abiejų pusių atėmę 216,75 {\displaystyle 216,75} ir padaliję iš 5 {\displaystyle 5} , gausime:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Iš abiejų pusių išvedę kvadratinę šaknį, gausime atsakymą v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} .

Deja, vis tiek turėsime pasinaudoti impulso išsaugojimo principu, kad išsiaiškintume, ar v {\displaystyle v} yra teigiamas, ar neigiamas.