Tamprus susidūrimas: apibrėžimas, energijos ir judesio išsaugojimas

Sužinokite, kas yra tamprus susidūrimas: apibrėžimas, kinetinės energijos ir judesio kiekio išsaugojimas, pavyzdžiai ir formulės aiškiu, suprantamu paaiškinimu.

Autorius: Leandro Alegsa

15-01-2026 21:51

Apibrėžimas

Tampriuoju susidūrimu vadinamas toks susidūrimas, kai du objektai susiduria ir atsitrenkia atgal be jokios deformacijos arba su nedidele deformacija. Pavyzdžiui, du guminiai kamuoliukai, atsitrenkę vienas į kitą, yra tamprūs. Visiškai tampraus susidūrimo atveju kinetinė energija neprarandama: dviejų objektų bendra kinetinė energija po susidūrimo yra lygi jų bendrai kinetinei energijai prieš susidūrimą.

Fizikiniai principai

Tamprūs susidūrimai pasižymi dviem pagrindiniais dėsniais:

Judesio momento išsaugojimas: bendras sistemos judesio momentas nepriklausomai nuo laiko lieka tas pats.
Kinetinės energijos išsaugojimas: kai susidūrimas visiškai tamprus, bendra kinetinė energija nesikeičia (nereikalaujama energijos pavertimo kitomis formomis, pavyzdžiui, šiluma ar garsu).

Matematiškai dviem kūnams (masės m1 ir m2, pradinių greičių u1 ir u2) vienmatėje vietoje šie dėsniai užrašomi taip:

Judesio momentas: m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2

Kinetinė energija: 1/2 m1 u1^2 + 1/2 m2 u2^2 = 1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2

Visuotinai naudinga savybė tampraus susidūrimo: santykinis greitis susidūrimo apsiverčia po susidūrimo, t. y. v1 - v2 = -(u1 - u2). Ši sąlyga atitinka atsparumo koeficiento e lygų 1 (e = 1).

Galutiniai greičiai (vienmačiu atveju)

Iš aukščiau nurodytų lygybių gaunami uždaviniai, kurių sprendimas duoda aiškias formules galutiniams greičiams v1 ir v2:

v1 = ((m1 - m2)/(m1 + m2)) * u1 + (2 m2/(m1 + m2)) * u2

v2 = (2 m1/(m1 + m2)) * u1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2)) * u2

Šios formulės leidžia apskaičiuoti, kaip pasiskirsto greitis po susidūrimo, jeigu žinomi pradiniai greičiai ir masės.

Specialūs atvejai

Lygios masės: kai m1 = m2, po idealios tampriosios vienmačio susidūrimo kūnai tiesiog apsikeičia greičiais: v1 = u2, v2 = u1.
Stovintis antras kūnas: jei u2 = 0 (antras kūnas stovi), tada v1 = (m1 - m2)/(m1 + m2) * u1 ir v2 = (2 m1)/(m1 + m2) * u1.
Masės ribos: jeigu m2 >> m1 (antras kūnas labai didelis), pirmojo kūno greitis po susidūrimo apytikriai apsivers (v1 ≈ -u1), o m2 beveik nepajudės.

Daugiamatis ir centro masės atvaizdas

Daugiamatėje erdvėje judesio momentas yra vektorinė išsaugojama dydis, o energijos išsaugojimas yra skaliarinis. Sprendiniai priklauso nuo to, kaip pasiskirsto sudurto taško normalė ir tangentinė komponentė; dažnu atveju kampinis sklaidymasis aprašomas geometrijos ir kampų priklausomybėmis. Centro masės atvaizde tamprus susidūrimas paprastai reiškia, kad dalelių greičiai prieš ir po susidūrimo yra vienas kito atvaizdai su apverstomis reikšmėmis tam tikrose projekcijose.

Pavyzdžiai ir praktinės pastabos

Biliardo kamuoliukai ir kietos metalinės arba stiklinės dalelės dažnai artimai elgiasi kaip tamprūs objektai (nors iš tiesų dalinis energijos praradimas visada įmanomas).
Dujų molekulės modeliuojamos kaip tamprūs smailūs kūnai idėjiniame idealizuotame modelyje — dėl to kinetinė energija ir impulsas vidiniame mąste išsaugomi susidūrimų metu.
Kasdienėje praktikoje visiškai tamprūs susidūrimai yra retas idealus atvejis: realiuose susidūrimuose dalis kinetinės energijos virsta šiluma, vibracija, plastine deformacija arba garsu.

Santrauka: tamprus susidūrimas — tai idealizuotas procesas, kai veikia dvi pagrindinės išsaugojimo taisyklės: judesio momentas ir kinetinė energija. Šis modelis leidžia gauti aiškias formules galutiniams greičiams ir yra plačiai naudojamas fizikoje bei inžinerijoje kaip patogus supaprastinimas.

Nevienodų masių tampriojo susidūrimo pavyzdys

Vienmatis Niutono

Panagrinėkime dvi daleles, žymimas indeksais 1 ir 2. Tegul m₁ ir m₂ yra masės, u₁ ir u₂ - greičiai prieš susidūrimą, o v₁ ir v₂ - greičiai po susidūrimo.

Naudojant momento išsaugojimo principą užrašyti vieną formulę

Kadangi tai yra tamprus susidūrimas, bendrasis momentas prieš susidūrimą yra lygus bendrajam momentui po susidūrimo. Atsižvelgiant į tai, kad momentas (p) apskaičiuojamas taip

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Galime apskaičiuoti, kad momentas prieš susidūrimą yra toks:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

o judesio momentas po susidūrimo yra:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Nustatę, kad šios dvi lygybės lygios, gausime pirmąją lygtį:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Naudojant energijos išsaugojimo principą užrašyti antrąją formulę

Antroji taisyklė, kuria vadovaujamės, yra ta, kad bendra kinetinė energija išlieka ta pati, t. y. pradinė kinetinė energija yra lygi galutinei kinetinei energijai.

Kinetinės energijos formulė:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Taigi, naudodami tuos pačius kintamuosius kaip ir anksčiau: Pradinė kinetinė energija yra:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Galutinė kinetinė energija yra:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Nustatome, kad abi jos yra lygios (nes bendra kinetinė energija išlieka ta pati):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Sudėjus šias dvi lygtis

Šias lygtis galima spręsti tiesiogiai ir rasti v_i , kai žinoma u_i , arba atvirkščiai. Pateikiame pavyzdinį uždavinį, kurį galima spręsti taikant arba impulso, arba energijos išsaugojimo principą:

Pavyzdžiui:

1 kamuoliukas: masė = 3 kg, v = 4 m/s

2 kamuoliukas: masė = 5 kg, v = -6 m/s

Po susidūrimo:

1 kamuolys: v = -8,5 m/s

2 kamuoliukas: v = nežinomas ( pavaizduosime jį su v )

Naudojant momento išsaugojimą:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Padauginę ir iš abiejų pusių atėmę 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3**(-8,5)} $3*(-8.5)$ , gausime:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Sudėjus kairę pusę ir padalijus iš 5 {\displaystyle 5} $5$ gauname:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , o atlikę galutinį dalijimą gausime: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v} $\ 1.5=v$

Šį uždavinį taip pat galėjome išspręsti naudodami energijos išsaugojimo principą:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Abi puses padauginę iš 2 {\displaystyle 2} $2$ , ir atlikę visus reikiamus daugiklius, gausime:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Sudėję kairėje pusėje esančius skaičius, iš abiejų pusių atėmę 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ ir padaliję iš 5 {\displaystyle 5} $5$ , gausime:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Iš abiejų pusių išvedę kvadratinę šaknį, gausime atsakymą v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

Deja, vis tiek turėsime pasinaudoti impulso išsaugojimo principu, kad išsiaiškintume, ar v {\displaystyle v} $v$ yra teigiamas, ar neigiamas.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra tamprusis susidūrimas?

A: Tampriuoju susidūrimu vadiname tokį susidūrimą, kai du objektai susiduria ir atsitrenkia atgal be jokios deformacijos arba su nedidele deformacija.

K: Koks yra tamprumo susidūrimo pavyzdys?

A: Du guminiai kamuoliukai, kurie atšoka vienas nuo kito, būtų tamprus susidūrimo pavyzdys.

K: Kas yra neelastingas susidūrimas?

A: Neelastingas susidūrimas yra tada, kai susidūrę du objektai susiglaudžia ir neatšoka atgal.

K: Koks yra neelastingo susidūrimo pavyzdys?

A: Du vienas į kitą atsitrenkiantys automobiliai būtų neelastingo susidūrimo pavyzdys.

K: Kas atsitinka visiškai tampraus susidūrimo metu?

Atsakymas: Visiškai tampriai susidūrus, kinetinė energija neprarandama, todėl dviejų objektų kinetinė energija po susidūrimo yra lygi jų bendrai kinetinei energijai prieš susidūrimą.

K: Kaip vyksta tamprieji susidūrimai?

A: Elastingi susidūrimai įvyksta tik tada, kai kinetinė energija nėra paverčiama kitomis formomis, pavyzdžiui, šiluma ar garsu.

K: Kas išlieka tampriojo susidūrimo metu?

A: Tampriojo susidūrimo metu išsaugomas judesio momentas.

Ieškoti