Elastinis susidūrimas

Tampriuoju susidūrimu vadinamas toks susidūrimas, kai du objektai susiduria ir atsitrenkia atgal be jokios deformacijos arba su nedidele deformacija. Pavyzdžiui, du guminiai kamuoliukai, atsitrenkę vienas į kitą, yra tamprūs. Dviejų automobilių susidūrimas būtų neelastingas, nes automobiliai susiglaudžia ir neatsitrenkia atgal. Visiškai tampraus susidūrimo atveju (paprasčiausias atvejis) kinetinė energija neprarandama, todėl dviejų objektų kinetinė energija po susidūrimo yra lygi jų bendrai kinetinei energijai prieš susidūrimą. Tamprūs susidūrimai vyksta tik tada, kai nėra kinetinės energijos grynojo pavertimo kitomis formomis (šiluma, garsu). Kita taisyklė, kurią reikia prisiminti dirbant su tampriųjų susidūrimų atvejais, yra ta, kad judesio momentas išlieka.

Nevienodų masių tampriojo susidūrimo pavyzdys

Vienmatis Niutono

Panagrinėkime dvi daleles, žymimas indeksais 1 ir 2. Tegul m₁ ir m₂ yra masės, u₁ ir u₂ - greičiai prieš susidūrimą, o v₁ ir v₂ - greičiai po susidūrimo.

Naudojant momento išsaugojimo principą užrašyti vieną formulę

Kadangi tai yra tamprus susidūrimas, bendrasis momentas prieš susidūrimą yra lygus bendrajam momentui po susidūrimo. Atsižvelgiant į tai, kad momentas (p) apskaičiuojamas taip

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Galime apskaičiuoti, kad momentas prieš susidūrimą yra toks:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

o judesio momentas po susidūrimo yra:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Nustatę, kad šios dvi lygybės lygios, gausime pirmąją lygtį:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Naudojant energijos išsaugojimo principą užrašyti antrąją formulę

Antroji taisyklė, kuria vadovaujamės, yra ta, kad bendra kinetinė energija išlieka ta pati, t. y. pradinė kinetinė energija yra lygi galutinei kinetinei energijai.

Kinetinės energijos formulė:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Taigi, naudodami tuos pačius kintamuosius kaip ir anksčiau: Pradinė kinetinė energija yra:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Galutinė kinetinė energija yra:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Nustatome, kad abi jos yra lygios (nes bendra kinetinė energija išlieka ta pati):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Sudėjus šias dvi lygtis

Šias lygtis galima spręsti tiesiogiai ir rasti v_i , kai žinoma u_i , arba atvirkščiai. Pateikiame pavyzdinį uždavinį, kurį galima spręsti taikant arba impulso, arba energijos išsaugojimo principą:

Pavyzdžiui:

1 kamuoliukas: masė = 3 kg, v = 4 m/s

2 kamuoliukas: masė = 5 kg, v = -6 m/s

Po susidūrimo:

1 kamuolys: v = -8,5 m/s

2 kamuoliukas: v = nežinomas ( pavaizduosime jį su v )

Naudojant momento išsaugojimą:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Padauginę ir iš abiejų pusių atėmę 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3**(-8,5)} $3*(-8.5)$ , gausime:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Sudėjus kairę pusę ir padalijus iš 5 {\displaystyle 5} $5$ gauname:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , o atlikę galutinį dalijimą gausime: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v} $\ 1.5=v$

Šį uždavinį taip pat galėjome išspręsti naudodami energijos išsaugojimo principą:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Abi puses padauginę iš 2 {\displaystyle 2} $2$ , ir atlikę visus reikiamus daugiklius, gausime:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Sudėję kairėje pusėje esančius skaičius, iš abiejų pusių atėmę 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ ir padaliję iš 5 {\displaystyle 5} $5$ , gausime:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Iš abiejų pusių išvedę kvadratinę šaknį, gausime atsakymą v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

Deja, vis tiek turėsime pasinaudoti impulso išsaugojimo principu, kad išsiaiškintume, ar v {\displaystyle v} $v$ yra teigiamas, ar neigiamas.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra tamprusis susidūrimas?

A: Tampriuoju susidūrimu vadiname tokį susidūrimą, kai du objektai susiduria ir atsitrenkia atgal be jokios deformacijos arba su nedidele deformacija.

K: Koks yra tamprumo susidūrimo pavyzdys?

A: Du guminiai kamuoliukai, kurie atšoka vienas nuo kito, būtų tamprus susidūrimo pavyzdys.

K: Kas yra neelastingas susidūrimas?

A: Neelastingas susidūrimas yra tada, kai susidūrę du objektai susiglaudžia ir neatšoka atgal.

K: Koks yra neelastingo susidūrimo pavyzdys?

A: Du vienas į kitą atsitrenkiantys automobiliai būtų neelastingo susidūrimo pavyzdys.

K: Kas atsitinka visiškai tampraus susidūrimo metu?

Atsakymas: Visiškai tampriai susidūrus, kinetinė energija neprarandama, todėl dviejų objektų kinetinė energija po susidūrimo yra lygi jų bendrai kinetinei energijai prieš susidūrimą.

K: Kaip vyksta tamprieji susidūrimai?

A: Elastingi susidūrimai įvyksta tik tada, kai kinetinė energija nėra paverčiama kitomis formomis, pavyzdžiui, šiluma ar garsu.

K: Kas išlieka tampriojo susidūrimo metu?

A: Tampriojo susidūrimo metu išsaugomas judesio momentas.