Lorenco faktorius (γ): formulė, β ir laiko dilatacija relatyvume

Sužinokite Lorenco faktoriaus (γ) formulę, β reikšmę ir laiko dilataciją relatyvume — aiškūs paaiškinimai, pavyzdžiai ir skaičiavimai greičio artimo šviesai atvejams.

Lorenco koeficientas - tai koeficientas, kuriuo keičiasi laikas, ilgis ir masė, kai objektas juda greičiu, artimu šviesos greičiui (reliatyvistiniu greičiu).

Lygtis yra tokia:

γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}

kur v - objekto greitis, o c - šviesos greitis. Dydis (v/c) dažnai žymimas β {\displaystyle \beta } (beta), todėl pirmiau pateiktą lygtį galima perrašyti:

γ = 1 / √(1 − β²), kur β = v / c.

Kas yra β (beta) ir kaip naudoti?

β — be dimensijos esantis santykis, nurodantis greitį, išreikštą per šviesos greitį. Pvz.:

• β = 0.1 reiškia v = 0.1c (10 % šviesos greičio);
• β = 0.9 reiškia v = 0.9c (90 % šviesos greičio).

Tada γ lengvai apskaičiuojamas įstatant β į formulę γ = 1/√(1 − β²).

Fizinė reikšmė: laiko dilatacija ir ilgio sutrumpėjimas

Laiko dilatacija: reliatyvumo teorijoje periodas, matuojamas judančioje sistemoje (proper time Δτ), susijęs su nustebinančio stebėtojo laiku Δt per santykį

Δt = γ · Δτ.

Tai reiškia, kad judančio objekto laikrodis atrodo lėtesnis (ilgesnis laiko intervalas stebėtojui) nei to paties įvykio proper laikas sistemos viduje.

Ilgio (erdvinio) sutrumpėjimas: objektas, judantis greičiu v stebėtojo atžvilgiu, atrodo sutrumpėjęs pagal judėjimo kryptį:

L = L0 / γ, kur L0 — objekto ilgis savo atpalaiduotoje (rest) sistemoje.

Relatyvistinė masė ir energija (pastaba apie terminologiją)

Anksčiau vartotas terminas relatyvistinė masė reiškė m = γ m0, kur m0 — nepakeičiama (poilsio) masė. Ši sąvoka dabar dažnai vengiama: modernesnė — palikti masę invariantine (m0) ir naudoti energiją E = γ m0 c² bei impulso aprašymą p = γ m0 v.

Elgesys ribiniuose atvejuose ir skaičiavimo pavyzdžiai

Kaip v artėja prie c, β → 1 ir denominatoriaus šaknis → 0, todėl γ → ∞. Tai paaiškina, kodėl daliniai su mase niekada negali pasiekti šviesos greičio — reikėtų begalinės energijos.

Keletas orientacinių γ reikšmių:

• v = 0.1c (β = 0.1): γ ≈ 1.005
• v = 0.5c (β = 0.5): γ ≈ 1.1547
• v = 0.9c (β = 0.9): γ ≈ 2.294
• v = 0.99c (β = 0.99): γ ≈ 7.09
• v = 0.999c (β = 0.999): γ ≈ 22.37

Tai reiškia, pavyzdžiui, kad keliaujant 0.99c laikrodis judančiame lėktuve eitų ~7 kartus lėčiau palyginti su stacionariu stebėtoju — laiko intervalai būtų prailginti γ kartų.

Mažo greičio aproksimacija

Kai v ≪ c (β ≪ 1), γ ≈ 1 + ½β² ≈ 1 + ½(v/c)². Tai reiškia, kad reliatyvistiniai efektai yra labai maži kasdieniams greičiams (pvz., automobiliai, planetos orbitos) ir klasikinė Niutono mechanika veikia kaip gera aproksimacija.

Matematika ir invariantas

Lorenco koeficientas kyla iš Lorenco transformacijos, kurios saugo erdvė-laiko intervalą:

Δs² = −(cΔt)² + Δx² + Δy² + Δz² (signatūra priklauso nuo konvencijos). γ užtikrina, kad šis intervalas yra tas pats visiems inerciantiems stebėtojams.

Praktiniai užrašai

• Skaičiavimuose patogu dirbti su β (v/c), ypač kai norima tiesiogiai įvertinti, kaip arti šviesos greičio juda objektas.
• Visada naudokite γ ≥ 1; γ = 1 reiškia v = 0 (nejudanti sistema relative stebėtojui).
• Šalutinis patarimas: kai skaičiuojate su labai didele γ, naudokite didelio tikslumo skaičiavimus, kad išvengtumėte skaitinių klaidų.

Apibendrinant: Lorenco koeficientas γ yra pagrindinis reliatyvumo teorijos parametras, nusakantis, kiek laikas, ilgis ir reiškiniai kinta judančios sistemos atžvilgiu. Išreikštas per β = v/c, jis aiškiai parodo, kada reliatyvistiniai efektai tampa reikšmingi ir kodėl dideli greičiai reikalauja didžiulių energijų.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Lorenco koeficientas?

K: Kieno vardu jis pavadintas?

K: Kuri lygtis apibūdina Lorenco koeficientą?

K: Ką šioje lygtyje reiškia (v/c)?

K: Kaip šią lygtį galima perrašyti?

Paieška pagal raidę