Projekcija: apibrėžimas, rūšys ir taikymai

Projekcija gali būti:

matematinė — operacija, kuri „perkelia“ taškus ar vektorius į tam tikrą potirpą ar tiesę;
geometrinė — vaizdo sudarymas pagal tam tikras projekcines taisykles (pvz., perspektyvinė arba ortogoninė);
kartografinė — žemės rutulio pavertimas plokštuma (skirtingi projekcijos tipai skirtingai iškreipia plotą, atstumus, kampus);
kompiuterinės grafikos — scenos vaizdo transformacija iš 3D į 2D (perspektyvinė, ortografinė);
optinė / vaizdinė — vaizdo atvaizdavimas projektoriumi arba video mapping fasadams);
psichologinė — gynybinis mechanizmas, kai asmuo savo jausmus, motyvus ar trūkumus priskiria kitiems;
duomenų analizės — didelės dimensijos duomenų sumažinimas (pvz., PCA) projekcijos pagal pagrindines ašis.

Matematinė projekcija — pagrindai

Matematinėje algebroje projekcija dažniausiai reiškia operaciją, kuri vektorių v nuskaito į tam tikrą potirpą arba tiesę. Pvz., vektoriaus v projekcija ant vektoriaus u (kai u ≠ 0) apskaičiuojama taip:

proj_u(v) = ((v · u) / (u · u)) u.

Jei u yra vienetinė (||u|| = 1), formulė supaprastėja: proj_u(v) = (v · u) u. Projekcijos matrica į vienetinio vektoriaus span'ą yra P = u u^T, o bendrai į potirpą, kurį sudaro ortonormalių stulpelių matrica U, — P = U U^T.

Svarbios savybės:

P (projekcinė matrica) yra idempotentinė: P^2 = P;
Ortogonalios projekcijos matricos yra simetriškos: P^T = P;
Spektrinės reikšmės dažniausiai būna 0 arba 1 — taškai iš potirpio lieka nepakitę, į potirpį nekrentantys komponentai virsta nuliais.

Geometrinė ir kompiuterinė grafika

Geometrijoje ir grafikoje būtinos dvi pagrindinės projekcijos rūšys:

Ortografinė projekcija — vaizdas be perspektyvos (paralelūs spinduliai): naudojama techniniuose brėžiniuose, kai svarbu išlaikyti tikrus atstumus tam tikroje plokštumoje.
Perspektyvinė projekcija — taškai toli atrodo mažesni, tiesės konverguoja į tolimus taškus (perspektyvos taškus): realistiškesnė, naudojama 3D vaizdų atvaizdavimui ir žaidimuose.

Kompiuterių grafikoje projekcijas dažnai realizuoja per homogenius koordinates ir 4×4 projekcinius matricas — tai leidžia vienodai apdoroti perspektyvos transformacijas ir poslinkius.

Kartografinės projekcijos — kokias pasirinkti ir kodėl

Žemės rutulio pavertimas plokštuma neišvengiamai sukelia iškraipymus. Skirtingos projekcijos išsaugo skirtingas savybes:

Konforminės (kampus išsaugančios) — pvz., Merkatoriaus projekcija: tinka jūreiviams (kompaso kryptys), tačiau iškraipo plotus (artimiems poliams didina).
Lygiaplokštės / lygiosios (plotą išsaugančios) — pvz., Alberso ar Mollweido tipo: naudingos statistikai ir palyginimams, kai svarbu išsaugoti plotus.
Gnomoninė — didelės oškos: didžiosios apylinkės kaip tiesės (didžiausios skritulio dalys yra tiesės); naudinga navigacijoje dideliais atstumais.
Stereografinė — konforminė, taškai ir apskritimai turi tam tikras savybes; naudojama astronomijoje ir kartografijoje.

Rinkdamiesi projekciją, apsvarstykite, ką norite išsaugoti: kampus, plotą, atstumus ar tiesias linijas. Kiekviena projekcija turi privalumų ir trūkumų.

Psichologinė projekcija

Psichologijoje „projekcija“ reiškia gynybinį mechanizmą, kai žmogus savo nepriimtinus jausmus, motyvus ar savybes priskiria kitiems. Pvz., žmogus, kuris pats jaučiasi nepatenkintas ir piktas, gali kaltinti kitus dėl „piktiškumo“. Tai padeda trumpalaikiai sumažinti vidinį diskomfortą, tačiau ilgainiui trukdo objektyviai pažinti save ir santykius.

Skirtumas tarp psichologinės projekcijos ir socialinės projekcijos: socialinė projekcija reiškia tendenciją manyti, kad kiti žmonės mąsto ar jaučia panašiai kaip aš (tai ne visada gynybinis procesas).

Duomenų analizė ir mašininis mokymasis

Duomenų srityje projekcija reiškia duomenų reprezentacijos sumažinimą į žemesnės dimensijos erdvę:

PCA (pagrindinių komponentų analizė) — ortogonalinė projekcija į aibes, kurios maksimaliai paaiškina duomenų dispersiją;
t-SNE, UMAP — neortogoninės projekcijos, skirtos vizualizacijai, kurios išsaugo vietinių ryšių struktūrą;
Projekcija gali padėti vizualizuoti, suprasti ir apdoroti didelio matmens duomenis, bet supraskite, kad informacija visada prarandama — reikia tinkamai interpretuoti.

Praktiniai taikymai

Architektūroje ir renginiuose — projekcinis žemėlapiavimas (projection mapping) leidžia animuoti pastatų fasadus, reikalauja 3D modelio ir korekcijų, kad vaizdas sutaptų su tūriu.
Kino ir teatro scenografijoje — projekcijos suteikia dinamišką foną ir efektus.
Inžinerijoje — ortografinės projekcijos naudojamos brėžiniuose, perspektyvinės — vizualizacijoms.
Navigacijoje ir geografijoje — tinkamos kartografinės projekcijos parenkamos priklausomai nuo užduoties (pvz., oro maršrutai, statistiniai žemėlapiai, buriavimo kortos).

Patarimai ir galimos klaidos

Visada užduokite klausimą: ką reikia išsaugoti (plotą, kampą, atstumą, tiesumą)?
Analizuodami projekcijas (ypač žemėlapius ar duomenų vizualizacijas), nepamirškite, kad matote supaprastintą versiją — interpretuokite atsargiai.
Techninėse taikymuose pasirinkite projekcijos tipą pagal paskirtį: perspektyva — realumui, ortografija — tikslumui, PCA — duomenų apibūdinimui ir sumažinimui.
Psichologinėje sferoje sąmoningas savirefleksija padeda atpažinti ir minimalizuoti neapdorotos projekcijos poveikį santykiams.

Santrauka: „Projekcija“ yra daugiareikšmis terminas, naudojamas matematikos, grafikos, kartografijos, psichologijos ir kitose srityse. Nors kiekvienoje srityje jos paskirtis skiriasi, visuomet būtina žinoti, ką projekcija išsaugo ir ką praranda, kad tinkamai ją taikyti ir interpretuoti rezultatus.