Topologinė erdvė – tai matematinė struktūra, nagrinėjama topologija, kuri aprašo, kaip taškai (elementai) erdvėje yra „arti“ vienas kito be išankstinio atstumo sąvokos. Grubiai tariant, topologinė erdvė yra taškų rinkinys ir sistema, nurodanti, kurios aibės laikomos atviromis, t. y. kurias aibes galime suvokti kaip „kaimynystes“ aplink taškus.

Apibrėžimas

Standartiškai topologinė erdvė apibrėžiama kaip pora (X, T), kur X yra ne tuščias taškų rinkinys, o T – tam tikras potinkinys visų X aibių (T ⊆ P(X)), vadinamas topologija, kuris tenkina tris aksiomas:

  • ∅ ir X yra atviros: ∅ ∈ T ir X ∈ T.
  • Arbitarinės sąjungos uždaromos: bet kokios (net begalinės) elementų iš T sąjungos yra vėl elementas T.
  • Baigtinės sankirtos uždaromos: bet kurių baigtinio skaičiaus elementų iš T sankirta priklauso T.

Iš šių axiomų seka ekvivalenti uždarųjų aibių apibrėžtis: aibė A ⊆ X yra uždara, jei jos papildinys X \ A yra atvira. Tada galioja:

  • Arbitrariūs uždarųjų aibių sankirtai yra uždari.
  • Baigtinės uždarųjų aibių sąjungos yra uždaros.

Kaip suprasti kaimynystę, atvirumą ir uždarumą

Atviros aibės leidžia apibrėžti, ką reiškia „taškas yra netoli kito taško“. Kiekvienas taškas x ∈ X turi savo kaimynystes – atviras aibes, kuriose jis yra. Jei neturėtume aiškios atvirųjų aibių sąvokos, negalėtume nuosekliai kalbėti apie artumą: jei leistume, kad „kaimynyste“ laikytume bet kurią aibę, kurioje yra tas taškas, tai tokia sąvoka būtų pernelyg siaura (pvz., vienetinis aibės atvejis) arba pernelyg plati, priklausomai nuo pasirinktų atvirųjų aibių. Todėl topologija nustato, kurios aibės yra priskiriamos kaimynystėms.

Uždaros aibės – tai atvirųjų papildiniai. Jos svarbios, pavyzdžiui, apibrėžiant taško uždarymą (closure), ribas (boundary) ir pan.

Pagrindinės sąvokos ir savybės

  • Interjeras (interior): didžiausia atvira aibė, esanti visiškai aibėje A.
  • Uždarymas (closure): mažiausia uždara aibė, kuriame yra A.
  • Riba (boundary): uždarymo ir interjero skirtumas: ∂A = closure(A) \ interior(A).
  • Kažkas apie bazes: topologijos bazė yra kolekcija atvirų aibių tokių, kad kiekviena atvira aibė yra jų sąjunga, o kiekvienas taškas ir bet kuri bazės aibė, kurioje jis yra, turi bazės elementą, įeinantį į tą aibę.
  • Subbazė (subbasis): dar silpnesnė struktūra, iš kurios imant visas galimas galimas sąjungas ir baigtines sankirtas galima gauti bazę.
  • Nuoseklumas ir tolygumas: topologija nebūtinai remiasi matu (atstumu); kai tai įmanoma, topologija gali būti gaunama iš metro (metric topology).

Pavyzdžiai

  • Diskretiška topologija: kiekviena aibė A ⊆ X yra atvira. Tai „maksimali“ topologija; kiekvienas taškas yra izoliuotas.
  • Triviali (indiscrete) topologija: tik ∅ ir X yra atviros. Tai „minimalus“ atvirųjų aibių rinkinys.
  • Metriška/topologija iš atstumo: erdvė su metrika d (pvz., Euklido erdvė ℝ^n su įprastu atstumu) natūraliai turi topologiją: atviros aibės yra sąjungos iš atvirų spindulių (balls).
  • Kofinito topologija: uždara aibė yra arba viso X papildinys arba kiekvienos aibės papildinys turi tik galimai baigtinį skaičių taškų (t. y. atviros aibės yra tie rinkiniai, kurių papildiniai yra baigtiniai arba visiems X).
  • Kokountable (kok-skaičių) topologija: atviros aibės yra tokios, kurių papildiniai yra skaičiuojamo dydžio arba tuščios.
  • Uždarojo intervalo/topologija iš eilės: eilių rinkiniai, pvz., realių skaičių tiesė su eilės topologija (order topology), kur intervalai sudaro bazę.

Funkcijos tarp topologinių erdvių

Topologijoje svarbios sąvokos yra tęstinumas ir homeomorfizmas:

  • Funkcija f : X → Y yra tęstinė, jei bet kurios atviros aibės priešvaizdis f⁻¹(U) Y yra atvira X. Ši apibrėžtis yra visiškai topologinė (nereikalauja metrikos).
  • Homeomorfizmas yra bijekcija f : X → Y, kurios tiek f, tiek jos inversija yra tęstinės. Homeomorfizmas reiškia, kad erdvės yra topologiškai ekvivalentės (forma išlaikoma iki tempimo / lenkimo be pjūvių).

Skyrybos aksiomos (separacijos) ir kitoks struktūrinis stilius

Yra keli papildomi kriterijai, kurie klasifikuoja topologines erdves pagal tai, kiek gerai jos atskiria taškus ar aibes:

  • T0, T1: sąlygos, kaip gerai atskiriami taškai (T1 reiškia, kad vienetinis taškas yra uždaras).
  • Hausdorfo erdvė (T2): dvi skirtingos taškai turi atskiras atviras kaimynystes, kurios nesikerta. Tai svarbu daugeliui analizės ir geometrijos rezultatų.

Ką verta žinoti toliau

Topologija yra pagrindas daugeliui modernesnių matematikos sričių: analizė, diferencialinė geometrija, algebra, kombinatorika, dinamika ir kt. Iš paprasto atvirų / uždarų aibių apibrėžimo išauga tokios sąvokos kaip homotopija, homologija, fundamentalinė grupė, kompaktumas, konektuvumas ir pan., kurios leidžia tyrinėti erdvių „formą“ ir sudėtingumą.

Santrauka

Topologinė erdvė – tai rinkinys taškų kartu su pasirinktu atvirų aibių rinkiniu, tenkinančiu aksiomas, leidžiančias formalizuoti kaimynystės, tęstinumo ir ribų sąvokas. Pakeitus atvirų aibių kolekciją toje pačioje taškų aibėje gaunamos skirtingos topologinės erdvės, o tai suteikia didelę laisvę ir universalumą modeliuojant įvairias matematikos ir taikomųjų disciplinų situacijas.