Topologinė erdvė
Topologinė erdvė - tai erdvė, kurią nagrinėja topologija, figūrų struktūros matematika. Grubiai tariant, tai yra daiktų (vadinamų taškais) rinkinys ir būdas sužinoti, kurie daiktai yra arti vienas kito.
Tiksliau, topologinė erdvė turi tam tikros rūšies aibes, vadinamas atviromis aibėmis. Atviros aibės svarbios, nes jos leidžia kalbėti apie taškus, esančius netoli kito taško, vadinamus taško kaimynyste. Taško kaimynystė yra tiesiog atvira aibė, kurioje yra tas taškas. Jei neturėtume atvirųjų aibių sąvokos, negalėtume tinkamai apibrėžti kaimynystės. Jei bandytume apibrėžti taško kaimynystę kaip bet kurią aibę, kurioje yra tas taškas, ji galėtų apimti tik tą tašką ir tik tą tašką, o ne bet kokius taškus šalia jo ar taškus toli nuo jo. Taip pat turime uždarųjų aibių sąvoką, kurios yra atvirųjų aibių papildiniai. Tai reiškia, kad visi taškai, nepriklausantys tam tikrai atvirajai aibei, sudaro uždarąją aibę.
Atviros aibės turi atitikti tam tikras taisykles, kad atitiktų mūsų supratimą apie artumą. Bet kokio skaičiaus atvirų aibių sąjunga turi būti atvira, o baigtinio skaičiaus uždarų aibių sąjunga turi būti uždara. (Antroji taisyklė galioja tik baigtiniam uždarųjų aibių skaičiui. Taip yra todėl, kad daugeliu atvejų aibė, kurioje yra vienas taškas, yra uždara. Bet kuri aibė yra sudaryta iš taškų. Jei antroji taisyklė būtų taikoma begaliniam uždarų aibių skaičiui, tai kiekviena aibė būtų uždara.) Ypatingu atveju aibė, kurioje yra kiekvienas taškas, yra ir atvira, ir uždara. Aibė, kurioje nėra taškų, taip pat yra ir atvira, ir uždara.
Taškų aibė gali turėti daugybę skirtingų apibrėžimų, kas yra atvira aibė. Galima manyti, kad tik tam tikros aibės yra atviros, arba daugiau aibių yra atviros. Galima net manyti, kad kiekviena aibė yra atvira. Ta pati aibė su skirtingais atvirų aibių apibrėžimais sudaro skirtingas topologines erdves.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra topologinė erdvė?
A: Topologinė erdvė yra taškų rinkinys ir būdas sužinoti, kurie dalykai yra arti vienas kito. Ji nagrinėjama figūrų struktūros matematikoje.
K: Kas yra atviros aibės?
A: Atviros aibės svarbios, nes leidžia kalbėti apie taškus, esančius netoli kito taško, vadinamus taško kaimynyste. Jos apibrėžiamos kaip tam tikros aibės, kuriomis galima gerai apibrėžti kaimynystę.
Klausimas: Ką turi atitikti atvirosios aibės?
A: Atviros aibės turi atitikti tam tikras taisykles, kad atitiktų mūsų idėjas apie artumą. Bet kokio skaičiaus atvirų aibių sąjunga turi būti atvira, o baigtinio skaičiaus uždarų aibių sąjunga turi būti uždara.
K: Koks yra specialus atvirųjų ir uždarųjų aibių atvejis?
A: Atvirųjų ir uždarųjų aibių specialusis atvejis yra tas, kad aibė, kurioje yra kiekvienas taškas, yra ir atvira, ir uždara, taip pat aibė, kurioje nėra taškų, yra ir atvira, ir uždara.
K: Kaip skirtingi apibrėžimai veikia topologines erdves?
A: Skirtingi apibrėžimai, kas yra atvira aibė, gali turėti įtakos topologinėms erdvėms, nes tik tam tikros aibės gali būti laikomos atviromis arba daugiau nei įprasta, arba net kiekviena aibė gali būti laikoma atvira.
K: Ar begalinis uždarų aibių skaičius gali sudaryti bet kokią aibę?
A: Ne, jei būtų leidžiama sudaryti begalinį skaičių uždarų aibių, tada kiekviena aibė būtų laikoma uždara, nes bet kurią aibę sudaro tik taškai.
