Torsija (sukimas) mechanikoje: apibrėžimas, formulės ir įtempiai

Torsija mechanikoje: aiškus apibrėžimas, pagrindinės formulės ir įtempių skaičiavimas velenams. Praktiniai pavyzdžiai ir taikymas inžinerijoje.

Kietųjų kūnų mechanikoje sukimas - tai objekto sukimasis, atsirandantis dėl veikiančio sukamojo momento. Apskrito skerspjūvio skerspjūviuose atsirandantis šlyties įtempis yra statmenas spinduliui.

Šlyties įtempiai veleno taške yra:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T - veikiantis sukimo momentas, r - atstumas nuo sukimosi centro, o J - polinis inercijos momentas.

Sukimo kampą galima nustatyti naudojant:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Kur:

• T — veikiantis sukimo momentas (momento vienetai: N·m ar kN·m).
• r — taško atstumas nuo sukimosi centro (metrai, m). Išorinėje dalyje r = c (išorinis spindulys) gaunama maksimalus šlyties įtempis.
• J — polinis inercijos momentas (polinis momentas inercijos), matuojamas m4; apskaičiuoja kaip J = ∫_A ρ2 dA, kur ρ — atstumas iki ašies. Specialūs atvejai:
  • Skerspjūvis – tvirtas apskritimas (skersmuo d): J = π d4 / 32.
  • Hollow (vamzdis) su išoriniu skersmeniu d_o ir vidiniu d_i: J = π (d_o4 − d_i4) / 32.
• θ — bendras sukimo kampas per ilgį L (radianai).
• L — veleno ilgis arba ašies segmento ilgis, per kurį skaičiuojamas sukimo kampas (m).
• G — šlyties modulio (G = E / [2(1 + ν)]) — medžiagos elastingumo parametras (Pa).

Papildomos formulės ir paaiškinimai

• Šlyties įtempio pasiskirstymas cilindriniame velenyje: τ(r) = T·r / J. Todėl įtampa yra tiesiškai proporcinga atstumui nuo centro ir didžiausia paviršiuje: τ_max = T·c / J.
• Šlyties deformacija (kampinė deformacija) ties atstumu r: γ(r) = r·φ' = r·(T / (GJ)) = Tr / (GJ). Iš šios išvesties gaunama τ = G·γ, kas sugrąžina τ = Tr / J.
• Sukimo kampo išraiška: θ = (T·L) / (G·J). Dažnai svarstomas kampas vienetui ilgio: φ' = θ / L = T / (G·J).

Prielaidos ir taikymo apribojimai

• Minėtos formulės galioja linijinio elastingumo ribose, vienmačiam (ty tiesioginiam) torsijos apkrovimui, medžiagai esant homogeniškai ir izotropiškai.
• Saint‑Venant principas: paskirstymas arti apkrovos gali skirtis, tačiau pakankamai toli nuo apkrovos srities pasiskirstymas yra toks, kokį suteikia aukščiau pateiktos formulės.
• Neapskritų skerspjūvių atveju vyksta skerspjūvio „warping“ (išlinkimas) ir reikalingas specialus torsijos koeficientas J_t (kartais vadinamas torsijos konstanta). Storinės ar plonienės konstrukcijos, stačiakampiai skerspjūviai ir pan. turi kitokius sprendimus arba reikalauja skaitinių metodų.

Saugumas ir projektavimas

• Projektuojant, lyginame τ_max su leidžiamu šlyties įtempimu: τ_max ≤ τ_allow. Leidžiamą reikšmę parenka medžiagos charakteristikos ir saugos koeficientas.
• Esant kombinacijai su lenkimu ar ašine trintimi, reikia naudoti tinkamas stiprumo kriterijų (Tresca ar von Mises). Pvz., Tresca kriterijus ductile medžiagoms: τ_ok = σ_y / 2 (maždaug), tačiau patikimesnė analizė — pagal von Mises reiškinį.

Praktiniai pastabos

• Velenams apskaičiuoti dažnai naudojama: τ_max = T·c / J ir θ = T·L / (G·J). Iš šių formulių gaunamos reikšmės patikrinimui prieš naudojant konkretų skerspjūvį ar medžiagą.
• Vamzdžiai (hollow shafts) dažnai ekonominės priemonės padidinti J nepridedant daug masės — todėl daugelis velenų yra vamzdiniai.
• Neapskritų arba plonieninių skerspjūvių atveju reikalingas koreguotas torsijos momentas J_t (ne tas pats kas polinis inercijos momentas apskritam skerspjūviui). Tokiais atvejais naudojami lenteliniai faktoriai arba skaitiniai metodai (FEM).

Trumpas pavyzdys

Jei turime ploną tvirtą apskritą veleną skersmeniu d = 40 mm, su T = 500 N·m ir ilgis L = 1 m, medžiaga G = 80 GPa:

• J = π d4 / 32 = π (0.04 m)4 / 32 ≈ 7.85·10−7 m4.
• τ_max = T·c / J; c = d/2 = 0.02 m ⇒ τ_max ≈ (500·0.02) / 7.85·10−7 ≈ 12.7·106 Pa ≈ 12.7 MPa.
• θ = T·L / (G·J) ≈ 500·1 / (80·109·7.85·10−7) ≈ 0.0008 rad ≈ 0.046°.

Šie pavyzdžiai ir formulės suteikia bazinį supratimą apie torsijos (sukimo) mechaniką. Sudėtingesniais atvejais (neapskriti skerspjūviai, kombinacija su kitais apkrovimais, medžiagų heterogeniškumas) reikalingi specializuoti sprendimai arba skaitinė analizė.

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra sukimas?

K: Kaip šlyties įtempiai susiję su sukimu?

K: Pagal kokią lygtį galima apskaičiuoti šlyties įtempį veleno taške?

K: Kokia lygtimi galima rasti sukimo kampą?

K: Ką reiškia "T" šlyties įtempio ir posūkio kampo lygtyse?

K: Ką reiškia "r" šlyties įtempio lygtyje?

K: Ką abiejose lygtyse reiškia "J"?

Paieška pagal raidę