Poliarinis inercijos momentas

Pastaba: Įvairiose disciplinose terminas inercijos momentas vartojamas skirtingiems momentams įvardyti. Fizikoje inercijos momentas yra antrasis masės momentas atstumo nuo ašies atžvilgiu, kuris apibūdina objekto kampinį pagreitį dėl veikiančio sukimo momento. Inžinerijoje (ypač mechanikoje ir statybose) inercijos momentas paprastai reiškia antrąjį ploto momentą. Skaitydami poliarinį inercijos momentą atkreipkite dėmesį į tai, ar kalbama apie "poliarinį antrąjį ploto momentą", o ne apie inercijos momentą. Polinis antrasis ploto momentas bus išreikštas ilgio ketvirtosios galios vienetais (pvz., m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ arba i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), o inercijos momentas yra masė, padauginta iš ilgio kvadratu (pvz., k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ arba l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). $lb*in^{2}$ ).

Antrasis poliarinis ploto momentas (dar vadinamas "poliariniu inercijos momentu") - tai objekto atsparumo sukimui matas, priklausantis nuo jo formos. Tai yra vienas iš antrojo ploto momento aspektų, susietų su statmenos ašies teorema, kai plokštuminis antrasis ploto momentas naudoja sijos skerspjūvio formą jos atsparumui deformacijai (lenkimui) apibūdinti, kai ją veikia jėga, veikianti plokštumoje, lygiagrečioje jos neutraliajai ašiai, o poliarinis antrasis ploto momentas naudoja sijos skerspjūvio formą jos atsparumui deformacijai (sukimui) apibūdinti, kai momentas (sukimo momentas) veikia plokštumoje, statmenoje sijos neutraliajai ašiai. Plokštuminis antrasis ploto momentas dažniausiai žymimas raide I {\displaystyle I} , o polinis antrasis ploto momentas dažniausiai žymimas raide I z {\displaystyle I_{z}}. $I_{z}$ arba raidė J {\displaystyle J} $J$ , inžinerijos vadovėliuose.

Apskaičiuotos poliarinio antrojo ploto momento vertės dažniausiai naudojamos kietojo arba tuščiavidurio cilindrinio veleno, pavyzdžiui, transporto priemonės ašies arba varančiojo veleno, atsparumui sukimuisi apibūdinti. Taikant necilindrinėms sijoms ar velenams, poliarinio antrojo ploto momento skaičiavimai tampa klaidingi dėl veleno (sijos) deformacijos. Tokiais atvejais turėtų būti naudojama sukimo konstanta, kai apskaičiuojant vertę pridedama pataisos konstanta.

Poliarinis antrasis ploto momentas atitinka ilgio vienetus iki ketvirtosios galios ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); metrų iki ketvirtosios galios ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) metrinėje vienetų sistemoje ir colių iki ketvirtosios galios ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) imperinėje vienetų sistemoje. Matematinė tiesioginio skaičiavimo formulė pateikiama kaip daugybinis integralas figūros plotui R {\displaystyle R} $R$ , esant atstumui ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ nuo savavališkos ašies O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Paprasčiausiu atveju poliarinis antrasis ploto momentas yra dviejų plokštuminių antrųjų ploto momentų I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ ir I y {\displaystyle I_{y}} suma. $I_{y}$ . Naudojant Pitagoro teoremą, atstumas nuo ašies O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , galima suskaidyti į x {\displaystyle x} $x$ ir y {\displaystyle y} $y$ komponentus, o ploto pokytį d A {\displaystyle dA}. d $dA$ x {\displaystyle x} $x$ ir y {\displaystyle y} $y$ komponentus d x {\displaystyle dx} $dx$ ir d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Pateiktos dvi plokštumos antrųjų ploto momentų formulės:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ ir I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Ryšį su poliariniu antruoju ploto momentu galima pavaizduoti taip:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \todėl J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Iš esmės, didėjant poliarinio antrojo ploto momento dydžiui (t. y. esant didelei objekto skerspjūvio formai), reikės didesnio sukimo momento, kad objektas būtų deformuotas sukant. Tačiau reikia pažymėti, kad tai neturi jokios įtakos sukimo standumui, kurį objektui suteikia jį sudarančios medžiagos; poliarinis antrasis ploto momentas yra tiesiog standumas, kurį objektui suteikia jo forma. Medžiagų savybių suteikiamas sukimo standumas vadinamas šlyties moduliu G {\displaystyle G} $G$ . Susiejus šias dvi standumo sudedamąsias dalis, galima apskaičiuoti sijos sukimo kampą, θ {\displaystyle \theta}. $\theta$ naudodami:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Kur T {\displaystyle T} $T$ - veikiantis momentas (sukimo momentas), o l {\displaystyle l} $l$ - sijos ilgis. Kaip matyti, didesni sukimo momentai ir sijos ilgis lemia didesnius kampinius įlinkimus, kai poliarinio antrojo ploto momento J {\displaystyle J} $J$ ir medžiagos šlyties modulio G {\displaystyle G}. $G$ , sumažina kampinių deformacijų potencialą.

Schema, rodanti, kaip apskaičiuojamas poliarinis antrasis ploto momentas ("poliarinis inercijos momentas") savavališkai ploto formai R apie ašį o, kur ρ yra radialinis atstumas iki elemento dA.

Susiję puslapiai

Momentas (fizika)
Antrasis ploto momentas
Standartinių figūrų ploto antrųjų momentų sąrašas
Šlyties modulis

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra inercijos momentas fizikoje?

Atsakymas: Fizikoje inercijos momentas yra griežtai antrasis masės momentas atstumo nuo ašies atžvilgiu, kuris apibūdina objekto kampinį pagreitį dėl veikiančio sukimo momento.

K: Ką inžinerijoje reiškia antrasis poliarinis ploto momentas?

A: Inžinerijoje (ypač mechanikos ir statybos) inercijos momentas paprastai reiškia antrąjį ploto momentą. Skaitydami poliarinį inercijos momentą įsitikinkite, kad kalbama apie "poliarinį antrąjį ploto momentą", o ne apie inercijos momentą. Poliarinis antrasis ploto momentas turės ilgio vienetus iki ketvirtosios galios (pvz., m^4 arba in^4).

Klausimas: Kaip apskaičiuoti polinį antrąjį ploto momentą?

A: Matematinė formulė tiesioginiam skaičiavimui pateikiama kaip daugybinis integralas per figūros plotą R, esantį atstumu ρ nuo savavališkos ašies O. J_O=∬Rρ2dA. Paprasčiausia forma yra polinė antroji