Poliarinis antrasis ploto momentas – apibrėžimas, formulė ir reikšmė

Apibrėžimas

Antrasis poliarinis ploto momentas (dar vadinamas „poliariniu inercijos momentu“) — tai objekto skerspjūvio formos suteikiamas atsparumas sukimui. Jis matuoja, kiek „sunkiau“ yra suktis apie tam tikrą ašį dėl ploto geometrijos. Plokštuminis antrasis ploto momentas taikomas, aprašant atsparumą lenkimui, tuo tarpu poliarinis antrasis ploto momentas — atsparumą sukimo deformacijoms.

Inžineriniuose tekstuose plokštuminis antrasis ploto momentas dažniausiai žymimas raide I {\displaystyle I}, o polinis — raide I z {\displaystyle I_{z}} arba J {\displaystyle J} , ypač inžinerijos vadovėliuose. Poliarinis antrasis ploto momentas priklauso tik nuo formos ir matuojamas ilgio vienetų ketvirtąja galia (pvz., L 4 {\displaystyle L^{4}}).

Matematinė formulė

Poliarinio antrojo ploto momento tiesioginis apibrėžimas pateikiamas kaip paviršiaus integralas per figūros plotą R {\displaystyle R}, kur ρ {\displaystyle \rho } — atstumas nuo pasirinktos ašies O O {\displaystyle O}:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Naudojant karteziškas koordinates ir Pitagoro teoremą (ρ² = x² + y²), galima išreikšti poliarinį momentą per plokštuminius momentus:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}

I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Tada

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

Vadinant atskiras integrales:

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \todėl J=I_{x}+I_{y}}

Pavyzdžiai su dažnai naudojamomis formomis

• Apvalus užpildytas velenas (centruota ašis): J = π r4 / 2 = π d4 / 32. Tai reiškia, kad J labai stipriai priklauso nuo skersmens (d⁴), todėl net nedidelis skersmens padidinimas žymiai padidina atsparumą sukimuisi.
• Hollow (tuščiaviduris) cilindras / vamzdis: J = (π/2) (r_o^4 − r_i^4) = (π/32) (d_o^4 − d_i^4). Dėl d⁴ priklausomybės sienelės storis turi didelę įtaką J.
• Stačiakampio skerspjūvis, centrinė ašis: Ix = (b h3)/12, Iy = (h b3)/12, taigi J = Ix + Iy = (b h (b2 + h2)) / 12. Čia b — plotis, h — aukštis.
• Ploni arba atviri profiliai (pvz., L, T, U): paprastasis poliarinis momentas J jau nebepilnai atspindi sukimo atsparumą — tokiems profiliams reikia naudoti torsijos konstanta (dažnai žymima J_t arba C), įvertinant sienelės storį ir atvirumą.

Reikšmė ir panaudojimas inžinerijoje

Poliarinis antrasis ploto momentas plačiai naudojamas apskaičiuojant velenų ir skerspjūvių atsparumą sukimui — pavyzdžiui, ašims ar varančiųjų velenams. J didėjimas reiškia didesnį atsparumą sukimo deformacijoms (reikia didesnio sukimo momento, kad pasiektume tam tikrą kampinį pasisukimą).

Sujungus geometrijinį standumą (J) su medžiagos šlyties moduliu G {\displaystyle G}, gaunama pagrindinė torsijos lygtis, leidžianti apskaičiuoti sijos sukimo kampą:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}}

Kur T {\displaystyle T} — veikiantis sukimo momentas, l {\displaystyle l} — sijos ilgis, J {\displaystyle J} — poliarinis antrasis ploto momentas, o G {\displaystyle G} — medžiagos šlyties modulis. Iš šios lygties matyti, kad didesnis J arba didesnis G mažina kampinę deformaciją θ esant tam pačiam momentui T ir ilgiui l.

Pastabos ir praktiniai aspektai

• Poliarinis antrasis ploto momentas priklauso tik nuo geometrijos, o ne nuo masės ar medžiagos — medžiagos įtaka atsiranda per šlyties modulį G.
• Kai skerspjūvis yra sudėtingos formos arba tuščiaviduris / plonasienis, praktiškesni rezultatai gaunami naudojant torsijos konstantą (J_t) arba vykdant skaitinius skaičiavimus (pvz., baigtinių elementų metodu).
• Vienetai: metrų ketvirtoji galia (m 4 {\displaystyle m^{4}}) metrinėje sistemoje arba colių ketvirtoji galia (in^{4} {\displaystyle in^{4}}) imperinėje sistemoje.
• Skirtumas nuo masinio inercijos momento: inercijos momentas fizikoje (masinis) turi vienetus kg·m2 ir apibūdina kūno atsparumą kampiems pagreičiams, o poliarinis ploto momentas matuoja geometrijinį atsparumą sukimo deformacijai.

Apibendrinant: poliarinis antrasis ploto momentas yra esminis dydis, kai skaičiuojame skerspjūvių atsparumą sukimo apkrovoms. Tinkamai pasirenkant skerspjūvio formą ir matmenis (ypač didinant matmenis, kurie įtakoja J pagal d⁴ arba r⁴), galima efektyviai valdyti veleno ar sijos sukimo standumą be didelio masės augimo.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra inercijos momentas fizikoje?

K: Ką inžinerijoje reiškia antrasis poliarinis ploto momentas?

Klausimas: Kaip apskaičiuoti polinį antrąjį ploto momentą?