Pitagoro teorema

Įrodymas

Vieną Pitagoro teoremos įrodymą rado graikų matematikas Eudoksas iš Knido.

Įrodymui naudojamos trys lemos:

1. Tokio paties pagrindo ir aukščio trikampiai turi tokį patį plotą.
2. Trikampio, kurio pagrindas ir aukštis yra tokie patys kaip kvadrato kraštinės, plotas yra lygus pusei kvadrato.
3. Trikampiai, kurių dvi kraštinės ir vienas kampas sutampa, yra gretutiniai ir turi tą patį plotą.

Įrodymas yra:

1. Mėlynojo trikampio plotas toks pat kaip ir žaliojo trikampio, nes jo pagrindas ir aukštis tokie patys (1 lema).
2. Žalio ir raudono trikampių dvi kraštinės lygios tų pačių kvadratų kraštinėms, o kampas lygus tiesiam kampui (90 laipsnių kampas) ir trikampio kampui, todėl jie sutampa ir turi tą patį plotą (3 lema).
3. Raudono ir geltono trikampių plotai yra vienodi, nes jų aukščiai ir pagrindai vienodi (1 lema).
4. Mėlynojo trikampio plotas lygus geltonojo trikampio plotui, nes

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}={\color {yellow}A_{yellow}}}}

1. Dėl tų pačių priežasčių rudieji trikampiai yra tokio paties ploto.
2. Mėlyno ir rudo kvadrato plotas sudaro pusę mažesnio kvadrato ploto. Jų plotų suma lygi pusei didesnio kvadrato ploto. Dėl šios priežasties mažųjų kvadratų plotų pusės yra lygios didesniojo kvadrato ploto pusei, todėl jų plotas yra lygus didesniojo kvadrato plotui.

Įrodymas naudojant panašius trikampius

Kitą Pitagoro teoremos įrodymą galime gauti naudodami panašius trikampius.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}}\kvadratas \Rightarrow \kvadratas d={\frac {a^{2}}{c}}\kvadratas (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Iš paveikslėlio žinome, kad c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . Pakeitę (1) ir (2) lygtis:

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}}{c}}}}

Dauginant iš c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. }

Pitagoro trejybės

Pitagoro trejetas arba tripletas - tai trys sveikieji skaičiai, atitinkantys lygtį a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .

Gerai žinomas pavyzdys - trikampis, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5. Jei a=3 ir b=4, tai 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}, nes 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}. Tai taip pat galima parodyti kaip 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

Trikampis "trys-keturi-penki" tinka visiems 3, 4 ir 5 kartotiniams. Kitaip tariant, tokie skaičiai kaip 6, 8, 10 arba 30, 40 ir 50 taip pat yra Pitagoro trikampiai. Kitas trikampio pavyzdys yra 12-5-13 trikampis, nes 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} .

Pitagoro trejybė, kuri nėra kitų trejybių kartotinė, vadinama primityviąja Pitagoro trejybe. Bet kurį primityvų Pitagoro trigubą skaičių galima rasti naudojant išraišką ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , tačiau turi būti tenkinamos šios sąlygos. Jos apriboja m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} reikšmes.

1. m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} yra teigiami sveikieji skaičiai
2. m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} neturi bendrų veiksnių, išskyrus 1
3. m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} turi priešingą paritetą. m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} turi priešingą paritetą, kai m {\displaystyle m} yra lyginis, o n {\displaystyle n} yra nelyginis, arba m {\displaystyle m} yra nelyginis, o n {\displaystyle n} yra lyginis.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Jei tenkinamos visos keturios sąlygos, tuomet m {\displaystyle m} ir n {\displaystyle n} reikšmės sudaro primityvų Pitagoro trejetą.

m = 2 {\displaystyle m=2} ir n = 1 {\displaystyle n=1} sudaro primityvią Pitagoro trejybę. Reikšmės tenkina visas keturias sąlygas. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} ir m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , todėl sukuriamas trejetas ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}.