Kongruencija geometrijoje — apibrėžimas: figūrų sutapimas pagal formą ir dydį
Geometrijoje dvi figūros ar objektai yra laikomi kongruentiniais (vienodais), jei jų forma ir dydis sutampa. Taip pat laikoma, kad figūros yra kongruentinės, jeigu viena figūra yra tokios pat formos ir dydžio kaip kitos figūros veidrodinis atvaizdas. Kongruencija reiškia, kad figūrų santykis nepriklauso nuo padėties plokštumoje ar erdvėje — jas galima perkelti arba pasukti taip, kad jos visiškai sutaptų.
Formalus apibrėžimas
Formaliau tariant, dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis tada ir tik tada, kai vieną iš jų galima transformuoti į kitą izometrijos būdu. Izometrijai naudojami standūs judesiai, t. y. tokios transformacijos, kurios išlaiko atstumus ir kampus — pavyzdžiui, poslinkiai (translacija), pasukimai (rotacija), atspindžiai (refleksija) arba jų kombinacijos (pvz., glidiniai atspindžiai).
Kas galima ir kas negalima
Tai reiškia, kad vieno objekto padėtį galima keisti, pasukti arba atspindėti (taip pat apversti popierių arba perkelti figūrą), bet negalima keisti jo dydžio ar formos, kad jis tiksliai sutaptų su kitu objektu. Jei norint sutapti reikia pakeisti dydį, tokios figūros nėra kongruentinės — jos yra panašios, jei turi tą pačią formą, bet skirtingą mastelį.
Kongruencijos patikra ir pavyzdžiai
Praktinis patikrinimas paprastai atliekamas „iškirpus ir uždengus“: dvi plokštumos figūros laikomos sutampančiomis, jeigu jas galima iškirpti ir visiškai uždengti viena ant kitos. Apversti popierių arba padaryti veidrodinį poslinkį leidžiama — tai atitinka izometrijos veiksmus.
Daugiakampiai laikomi kongruentiniais, jeigu visi jų atitinkami kraštai ir kampai yra lygūs; kitaip sakant, tai tie patys daugiakampiai, galintys sutapti per kelis standžius judesius.
Kongruencijos kriterijai trikampiams
Trikampių kongruenciją dažnai nustatoma pagal kampų ir kraštinių santykius. Dažniausiai naudojami kriterijai:
- SSS (kraštas–kraštas–kraštas): visi trys atitinkami kraštai lygūs;
- SAS (kraštas–kampas–kraštas): du kraštai ir kampas tarp jų lygūs;
- ASA (kampas–kraštas–kampas): kraštas ir du gretimi kampai lygūs;
- AAS (kampas–kampas–kraštas): du kampai ir bet kuris atitinkamas kraštas lygūs;
- RHS arba HL (stačiakampiai trikampiai): hipotenūzė ir vienas status kraštas lygūs.
Šie kriterijai leidžia be tiesioginio matavimo įrodyti trikampių kongruenciją, naudojant tik tam tikrus elementus.
Orientacija ir veidrodinis atvaizdas
Izometrijos, kurios nesikeičia orientacijos (paskirstymas pagal laikrodžio rodyklę), vadinamos tiesioginėmis (pvz., poslinkis, pasukimas). Atspindžiai keičia orientaciją — jie sukuria veidrodinį atvaizdą. Abi izometrijų grupės gali suteikti kongruenciją: jei leidžiama atspindėti figūrą, jos veidrodinis atvaizdas laikomas kongruentiniu pradiniam objektui.
Kongruencija erdvėje ir programiškai
Kongruencija nėra ribojama tik plokštumos geometrija — ji galioja ir trimačiame pasaulyje (pvz., kongruentiniai kūnai). Matematiškai izometrijos gali būti aprašomos naudojant matricas ir vektorius, kuriose transformacijos išlaiko euklidinius atstumus.
Žymėjimas ir santrumpos
Kongruenciją dažnai žymi simbolis ≅ (pvz., trikampis ABC ≅ trikampis DEF), kuris reiškia, kad atitinkami kampai ir kraštai sutampa.
Santrauka
Kongruencija reiškia formos ir dydžio sutapimą; leidžiami tik tokie pokyčiai, kurie išlaiko atstumus ir kampus (izometrijos). Jei reikia keisti mastelį, figūros yra panašios, bet ne kongruentinės. Kongruencijos nustatymas galimas praktiškai (iškėlimu ir uždengimu) arba formaliai — per izometrijas, matricinius skaičiavimus ar klasikinius trikampių kriterijus.
Kongruencijos pavyzdys. Du trikampiai kairėje yra gretutiniai, o trečiasis yra panašus į juos. Paskutinis trikampis nėra nei panašus, nei kongruentinis su kitais trikampiais. Atkreipkite dėmesį, kad kongruentiškumas leidžia keisti kai kurias savybes, pavyzdžiui, vietą ir orientaciją, tačiau kitų savybių, pavyzdžiui, atstumo ir kampų, nekeičia. Nepakeistos savybės vadinamos invariantais.
Pavyzdžiai
- visi kvadratai, kurių kraštinių ilgiai vienodi, yra sutampantys.
- visi lygiakraščiai trikampiai, kurių kraštinių ilgiai vienodi, yra sutampantys.
Atitikimo testai
- Dviejų trikampių du kampai ir kraštinė tarp jų yra vienodi (ASA kongruencija)
- Du kampai ir ne tarp jų esanti kraštinė yra vienodi abiejuose trikampiuose (AAS kongruencija)
- Visos trys abiejų trikampių kraštinės yra vienodos (SSS kongruencija)
- dvi kraštinės ir kampas tarp jų daro 2 trikampius sutampančius (SAS kongruencija)
Kaip galime gauti naujas sutampančias figūras?
Turime nemažai galimybių, keletą taisyklių, kaip sukurti naujas figūras, atitinkančias pradinę.
- Jei geomentrinę figūrą paslinksime plokštumoje, gausime figūrą, kuri yra kongruentiška pradinei.
- Jei vietoj perkėlimo pasuksime, taip pat gausime figūrą, sutampančią su pradine.
- Net jei paimsime veidrodinį pradinės figūros atvaizdą, vis tiek gausime sutampančią figūrą.
- Jei sujungtume šias tris veiklas vieną po kitos, vis tiek gautume sutampančias figūras.
- Daugiau sutampančių figūrų nėra. Tiksliau, tai reiškia, kad jei figūra sutampa su pradine figūra, ją galima pasiekti atlikus tris pirmiau aprašytus veiksmus.
Ryšys, kad figūra yra kongruentiška kitai figūrai, turi tris žinomas savybes.
- Jei pirminę figūrą paliksime jos vietoje, ji bus sutampanti pati su savimi. Šis elgesys, ši savybė vadinama refleksyvumu.
Pavyzdžiui, jei aukščiau pateiktas poslinkis nėra tinkamas poslinkis, o tik poslinkis, kuriuo atliekamas nulinio ilgio judesys. Arba panašiai, jei pirmiau pateiktas pasukimas nėra tinkamas pasukimas, o tik pasukimas, kurio kampas lygus nuliui.
- Jei figūra yra kongruentiška kitai figūrai, tai ši kita figūra taip pat yra kongruentiška pradinei figūrai. Šis elgesys, ši savybė vadinama simetrija.
Pavyzdžiui, jei naująją figūrą perkeliame atgal, pasukame atgal arba atsukame veidrodžiu atgal į pradinę figūrą, tuomet pradinė figūra yra kongruentiška su naująja.
- Jei figūra C sutampa su figūra B, o figūra B sutampa su pradine figūra A, tai figūra C taip pat sutampa su pradine figūra A. Šis elgesys, ši savybė vadinama tranzityvumu.
Pavyzdžiui, jei iš pradžių taikome poslinkį, o tada pasukimą, gauta nauja figūra vis tiek sutampa su pradine.
Trys garsiosios savybės - refleksyvumas, simetrija ir tranzityvumas - kartu sudaro lygiavertiškumo sąvoką. Vadinasi, savybė kongruencija yra vienas iš lygiavertiškumo santykių tarp plokštumos figūrų rūšių.
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Ką geometrijoje reiškia dviejų figūrų kongruentiškumas?
A: Geometrijoje dvi figūros yra vienodos, jei jos yra tos pačios formos ir dydžio arba jei viena iš jų yra tos pačios formos ir dydžio kaip kitos veidrodinis atvaizdas.
K: Kaip dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis?
A: Dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis tada ir tik tada, kai vieną iš jų galima transformuoti į kitą izometrijos būdu.
K: Kam izometrijoje naudojami standūs judesiai?
A: Izometrijoje standūs judesiai naudojami geometrinėms figūroms perstatyti, pasukti arba atspindėti, nekeičiant jų dydžio, kad jos tiksliai sutaptų su kitais objektais.
K: Ar dvi figūros gali būti kongruentiškos, jei viena iš jų turi pakeisti savo dydį, kad sutaptų su kita?
Atsakymas: Ne, jei vienas iš objektų turi pakeisti savo dydį, kad sutaptų su kitu, tada šie du objektai nėra kongruentiniai, bet jie vadinami panašiais.
Klausimas: Ką galime pasakyti apie dviejų skirtingų plokščių figūrų ant popieriaus lapo sutapimą?
A: Dvi skirtingos plokštumos figūros ant popieriaus lapo yra vienodos, jei galime jas iškirpti ir visiškai sutapatinti, prireikus popierių apversti.
K: Kas yra sutampantys daugiakampiai?
A: Suderinti daugiakampiai - tai daugiakampiai, kuriuos galima perlenkti per pusę ir sudaryti kitą taisyklingą daugiakampį, kuris taip pat yra suderintas.
K: Pagal kokį kriterijų du objektai geometrijoje vadinami kongruentiniais?
A: Du objektai geometrijoje vadinami kongruentiniais, jei vieną iš jų galima perstatyti, pasukti ar atspindėti taip, kad jis tiksliai sutaptų su kitu objektu, nekeičiant jo dydžio.
