Congruence
Geometrijoje dvi figūros ar objektai yra vienodi, jei jų forma ir dydis sutampa. Taip pat jei viena figūra yra tokios pat formos ir dydžio kaip kitos figūros veidrodinis atvaizdas.
Formaliau tariant, dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis tada ir tik tada, kai vieną iš jų galima transformuoti į kitą izometrijos būdu. Izometrijai naudojami standūs judesiai.
Tai reiškia, kad vieno objekto padėtį galima keisti ir atspindėti (bet ne keisti jo dydį) taip, kad jis tiksliai sutaptų su kitu objektu. Taigi dvi skirtingos plokštumos figūros popieriaus lape yra sutampančios, jei galime jas iškirpti ir visiškai sutapatinti. Apversti popierių leidžiama.
Suderinti daugiakampiai - tai daugiakampiai, kuriuos sulenkus taisyklingą daugiakampį per pusę gaunamas suderintas daugiakampis.
Dvi geometrinės figūros sutampa, jei vieną iš jų galima perkelti arba pasukti taip, kad ji atsidurtų tiksliai toje vietoje, kur yra kita. Jei vienas iš objektų turi pakeisti savo dydį, du objektai nėra kongruentiniai: jie tiesiog vadinami panašiais.
Jei dvi figūros ar daiktai sutampa, jų forma ir dydis yra vienodi, tačiau juos galima pasukti, perkelti, atspindėti veidrodiniu būdu arba išversti taip, kad jie tiksliai atitiktų kitą figūrą ar daiktą.
Kongruencijos pavyzdys. Du trikampiai kairėje yra gretutiniai, o trečiasis yra panašus į juos. Paskutinis trikampis nėra nei panašus, nei kongruentinis su kitais trikampiais. Atkreipkite dėmesį, kad kongruentiškumas leidžia keisti kai kurias savybes, pavyzdžiui, vietą ir orientaciją, tačiau kitų savybių, pavyzdžiui, atstumo ir kampų, nekeičia. Nepakeistos savybės vadinamos invariantais.
Pavyzdžiai
- visi kvadratai, kurių kraštinių ilgiai vienodi, yra sutampantys.
- visi lygiakraščiai trikampiai, kurių kraštinių ilgiai vienodi, yra sutampantys.
Atitikimo testai
- Dviejų trikampių du kampai ir kraštinė tarp jų yra vienodi (ASA kongruencija)
- Du kampai ir ne tarp jų esanti kraštinė yra vienodi abiejuose trikampiuose (AAS kongruencija)
- Visos trys abiejų trikampių kraštinės yra vienodos (SSS kongruencija)
- dvi kraštinės ir kampas tarp jų daro 2 trikampius sutampančius (SAS kongruencija)
Kaip galime gauti naujas sutampančias figūras?
Turime nemažai galimybių, keletą taisyklių, kaip sukurti naujas figūras, atitinkančias pradinę.
- Jei geomentrinę figūrą paslinksime plokštumoje, gausime figūrą, kuri yra kongruentiška pradinei.
- Jei vietoj perkėlimo pasuksime, taip pat gausime figūrą, sutampančią su pradine.
- Net jei paimsime veidrodinį pradinės figūros atvaizdą, vis tiek gausime sutampančią figūrą.
- Jei sujungtume šias tris veiklas vieną po kitos, vis tiek gautume sutampančias figūras.
- Daugiau sutampančių figūrų nėra. Tiksliau, tai reiškia, kad jei figūra sutampa su pradine figūra, ją galima pasiekti atlikus tris pirmiau aprašytus veiksmus.
Ryšys, kad figūra yra kongruentiška kitai figūrai, turi tris žinomas savybes.
- Jei pirminę figūrą paliksime jos vietoje, ji bus sutampanti pati su savimi. Šis elgesys, ši savybė vadinama refleksyvumu.
Pavyzdžiui, jei aukščiau pateiktas poslinkis nėra tinkamas poslinkis, o tik poslinkis, kuriuo atliekamas nulinio ilgio judesys. Arba panašiai, jei pirmiau pateiktas pasukimas nėra tinkamas pasukimas, o tik pasukimas, kurio kampas lygus nuliui.
- Jei figūra yra kongruentiška kitai figūrai, tai ši kita figūra taip pat yra kongruentiška pradinei figūrai. Šis elgesys, ši savybė vadinama simetrija.
Pavyzdžiui, jei naująją figūrą perkeliame atgal, pasukame atgal arba atsukame veidrodžiu atgal į pradinę figūrą, tuomet pradinė figūra yra kongruentiška su naująja.
- Jei figūra C sutampa su figūra B, o figūra B sutampa su pradine figūra A, tai figūra C taip pat sutampa su pradine figūra A. Šis elgesys, ši savybė vadinama tranzityvumu.
Pavyzdžiui, jei iš pradžių taikome poslinkį, o tada pasukimą, gauta nauja figūra vis tiek sutampa su pradine.
Trys garsiosios savybės - refleksyvumas, simetrija ir tranzityvumas - kartu sudaro lygiavertiškumo sąvoką. Vadinasi, savybė kongruencija yra vienas iš lygiavertiškumo santykių tarp plokštumos figūrų rūšių.
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Ką geometrijoje reiškia dviejų figūrų kongruentiškumas?
A: Geometrijoje dvi figūros yra vienodos, jei jos yra tos pačios formos ir dydžio arba jei viena iš jų yra tos pačios formos ir dydžio kaip kitos veidrodinis atvaizdas.
K: Kaip dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis?
A: Dvi taškų aibės vadinamos kongruentinėmis tada ir tik tada, kai vieną iš jų galima transformuoti į kitą izometrijos būdu.
K: Kam izometrijoje naudojami standūs judesiai?
A: Izometrijoje standūs judesiai naudojami geometrinėms figūroms perstatyti, pasukti arba atspindėti, nekeičiant jų dydžio, kad jos tiksliai sutaptų su kitais objektais.
K: Ar dvi figūros gali būti kongruentiškos, jei viena iš jų turi pakeisti savo dydį, kad sutaptų su kita?
Atsakymas: Ne, jei vienas iš objektų turi pakeisti savo dydį, kad sutaptų su kitu, tada šie du objektai nėra kongruentiniai, bet jie vadinami panašiais.
Klausimas: Ką galime pasakyti apie dviejų skirtingų plokščių figūrų ant popieriaus lapo sutapimą?
A: Dvi skirtingos plokštumos figūros ant popieriaus lapo yra vienodos, jei galime jas iškirpti ir visiškai sutapatinti, prireikus popierių apversti.
K: Kas yra sutampantys daugiakampiai?
A: Suderinti daugiakampiai - tai daugiakampiai, kuriuos galima perlenkti per pusę ir sudaryti kitą taisyklingą daugiakampį, kuris taip pat yra suderintas.
K: Pagal kokį kriterijų du objektai geometrijoje vadinami kongruentiniais?
A: Du objektai geometrijoje vadinami kongruentiniais, jei vieną iš jų galima perstatyti, pasukti ar atspindėti taip, kad jis tiksliai sutaptų su kitu objektu, nekeičiant jo dydžio.
