Inercijos momentas (kampinė masė) – apibrėžimas, formulės ir pavyzdžiai

Inercijos momentas ( I {\displaystyle I} ), dar vadinamas "kampine mase" (kg-m² ), yra besisukančio kūno inercija jo sukimosi atžvilgiu.

Tai besisukančio kūno pasipriešinimas kampiniam pagreičiui arba lėtėjimui, lygus masės ir statmenojo atstumo nuo sukimosi ašies kvadrato sandaugai.

Apibrėžimas ir bendros formulės

Inercijos momentas apibrėžiamas kaip suma arba integralas masės elementų, padaugintų iš jų atstumų nuo sukimosi ašies kvadratų:

• Taškinė masė: I = m r², kur m – masė, r – atstumas iki ašies.
• Diskretinė sistema: I = Σ m_i r_i².
• Kontinuus kūnas: I = ∫ r² dm, kur dm – masės elementas (dažnai dm = ρ dV arba ρ_s dA).

Vientisos medžiagos atveju galima rašyti dm per tūrio arba ploto masės tankį: dm = ρ dV (3D) arba dm = σ dA (2D).

Vienetai ir fizikinė reikšmė

• Vienetas SI: kg·m².
• Matuojant inercijos momentą, svarbu nurodyti, kuri ašis yra naudojama — tas pats kūnas turi skirtingus I skirtingoms ašims.
• Fizinė reikšmė: didesnis I reiškia didesnį pasipriešinimą kampiniam pagreičiui (α) pagal ryšį τ = I α, kur τ – sukimo momento (momento) suma.

Sąryšiai su kampiniu judesiu ir energija

• Kampinis greitis: ω. Kampinis impulsas (momentoios pusiausvyros sąvoka): L = I ω.
• Rotacinė kinetinė energija: K = 1/2 I ω².

Naudingi teiginiai

• Steinerio (paralelinės ašies) teorema: jei žinomas inercijos momentas I_cm apie kūno masės centro ašį, tada apie lygiagrečią ašį, nutolusią d atstumu: I = I_cm + m d².
• Perpendikuliarios ašies teorema (plokštuminiams lamelėms): I_z = I_x + I_y (kai z ašis statmena plokštumai).
• Inercijos momentas yra skaliarinė vertė tik apie konkrečią ašį; bendrai trimatėje erdvėje inerciją aprašo inercijos tensorius (matrica), kurios reikšmės priklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos ir kurias galima diogonalizuoti nustatant pagrindines (principal) ašis.

Bendros formulės dažnai pasitaikantiems kūnams

• Taškinė masė už ašies: I = m r².
• Tankus plonas strypas (ilgis L), ašis statmena strypui per jo centrą: I = (1/12) m L².
• Tankus plonas strypas, ašis per galą: I = (1/3) m L² (taip pat gaunama taikant Steinerio teoremą).
• Tankus cilindras arba diskas (apie simetrijos ašį, per centrą): I = (1/2) m R².
• Plona hoso (vamzdžio) cilindrinė siena (apie ašį per centrą): I = m R².
• Tankus kietasis rutulys (apie diametrą): I = (2/5) m R².
• Plona rutulio siena (plonas apvalkalas): I = (2/3) m R².
• Stačiakampė plokštelė (kūno plonas lakštas) per centrą, kraštai a ir b: I = (1/12) m (a² + b²).

Pavyzdys: tolygiai paskirstyto strypo inercijos momento skaičiavimas

Tarkime, plonas vienalytis strypas ilgio L ir masės m, ašis statmena strypui per jo centrą. Pažymėkime koordinačių x nuo -L/2 iki L/2. dm = (m/L) dx. Tada

I = ∫ r² dm = ∫_-L/2^L/2 x² (m/L) dx = (m/L) [ x³/3 ]_-L/2^L/2 = (m/L) ( (L³/24) - ( -L³/24) ) = (1/12) m L².

Jei ašis eina per vieną galą (x nuo 0 iki L), integralas duotų (1/3) m L².

Ką verta atsiminti praktikoje

• Pasirinkus ašį svarbu aiškiai nurodyti, per kurį tašką ar liniją sukasi kūnas.
• Jei kūnas turi sudėtingą formą, galima jį pavaizduoti kaip paprastesnių dalių derinį ir sudėti jų inercijos momentus (taikant Steinerį, jei reikia).
• Trimatėje analizuojant judesį be fiksuotos ašies reikia naudoti inercijos tensorių ir kampinį momentą L = Ī · ω (matricinė forma).

Šiame straipsnyje pateikti pagrindiniai apibrėžimai, formulės ir dažniausiai naudojami pavyzdžiai; prireikus galima detaliau išvesti konkrečius integralius ar aptarti inercijos tensoriaus savybes ir eigos kampinio judesio problemas.