Kampinis (judesio kiekio) momentas — apibrėžimas, formulė ir pritaikymas

Kampinio (judesio kiekio) momento apibrėžimas, formulė (L=Iω), inercijos reikšmė ir praktiniai taikymai fizikoje bei inžinerijoje — aiškiai paaiškinta su pavyzdžiais.

Apie ašį besisukančio objekto kampinis momentas arba sukimosi momentas (L) yra jo inercijos momento ir kampinio greičio sandauga:

L = I ω {\displaystyle L=I\omega }

kur

I {\displaystyle I} yra inercijos momentas (pasipriešinimas kampiniam pagreičiui arba lėtėjimui, lygus masės ir jos statmeno atstumo nuo sukimosi ašies kvadrato sandaugai);

ω {\displaystyle \omega \ } yra kampinis greitis.

Skiriamos dvi kampinio momento rūšys: sukinio kampinis momentas ir orbitinis kampinis momentas.

Vektorinė prasmė ir bendresnė formulė

Kampinis momentas yra vektorius. Vieno taško dalelės kampinis momentas lygus vektoriui kryžminės sandaugos forma:

• Vienos dalelės: L = r × p, kur r – dalelės pozicijos vektorius nuo pasirinktos ašies (arba nuo atskaitos taško), p = m v – momentumas.
• Rutulinio ar sudėtingo kūno atveju: bendras kampinis momentas gaunamas sumuojant arba integruojant: L = ∑ (r_i × p_i) arba L = ∫ (r × v) dm.

Rotačiniams rigidiniams kūnams formulė L = I ω yra specialus atvejis. Jei kūnas turi simetriją aplink sukimosi ašį, tuomet vektoriai L ir ω yra lygiagretūs. Bendresniame (nerigidiniame arba nesimetriškame) variante naudojamas inercijos tensorius I (matrica):

L = I · ω (čia I yra 3×3 tensorius); tai reiškia, kad L ir ω nebūtinai sutampa kryptimi.

Specifinės formulės ir įprasti inercijos momento pavyzdžiai

• Taškinė masė, besisukanti spinduliu r: L = m r^2 ω arba L = r × p = m r v.
• Plonas diskas arba cilindras apie simetrijos ašį: I = (1/2) M R^2.
• Kietas vienodas kamuolys apie centrinę ašį: I = (2/5) M R^2.
• Plonas strypas apie centrą, statmeną strypui: I = (1/12) M L^2; apie vieną galą: I = (1/3) M L^2.

Vienetai: kampinio momento SI vienetas – kilogramo kvadrato metro per sekundę (kg·m^2/s).

Sukimo momentas (momentas jėgos) ir tvermė

Jėgos sukeliamas sukimo momentas (torque) τ yra tiesiog susijęs su kampinio momento laiku kaita:

τ = dL/dt. Taigi, kai bendra išorinė jėga (momentas) lygus nuliui, kampinis momentas išlieka pastovus – tai kampinio momento tvermės dėsnis.

Tvermė: Jei ant sistemos neveikia išorinių momentų (τ_ext = 0), tai L = const. Tai paaiškina, pavyzdžiui, kodėl besisukantis dviratininkas sulenkdamas rankas didina kampinį greitį (mažėja I, bet L išlieka).

Skirtumas tarp sukinio ir orbitinio kampinio momento

• Sukinis (spin) kampinis momentas: susijęs su kūno sukimusi aplink savo ašį.
• Orbitinis kampinis momentas: susijęs su dalelės judėjimu aplink kitą tašką ar centro masę (pvz., planetos orbitos kampinis momentas L = r × p).

Fizikiniuose uždaviniuose abu komponentai gali būti kartu (pvz., sukantis planeta apie savo ašį ir judanti orbitoje), o bendras kampinis momentas bus abiejų sumą.

Praktinis pritaikymas ir pavyzdžiai

• Giroskopai ir precesija: jei ant besisukančio giroskopo veikia išorinis momentas (pvz., dėl svorio ir atstumo iki atramos), jis pradeda precesuoti. Apytikslė precesijos kampinė greitis Ω_p = τ / L, kai τ ir L yra statmenos.
• Sportas: gimnastai, čiuožėjai ritinasi, keisdami kūno geometriją, keičia I ir todėl ω, kad išlaikytų L arba pasiektų norimą sukimosi greitį.
• Orbitalinė mechanika: planetos ir palydovai turi orbitalinį kampinį momentą, kurio tvermė lemia orbitos parametrų stabilumą.
• Inžinerija: rotorių projektavimas, stabdžių ir transmisijų analizė remiasi kampinio momento ir inercijos apibrėžtimais.

Ką svarbu atsiminti

• Kampinis momentas yra vektorius: jo kryptis ir dydis gali turėti fizinę reikšmę.
• Formulė L = I ω galioja tiesiajai inercijos reikšmei arba tada, kai I yra skaliarinė (pvz., simetriniams kūnams apie ašį). Bendresniu atveju reikia naudoti inercijos tensorių.
• Jei nėra išorinių momentų, kampinis momentas yra išsaugomas.
• Kampinis momentas tarpusavyje susijęs su jėgomis per τ = dL/dt – tai leidžia analizuoti dinamiką ir stabilumą rotuojančių sistemų.

Santrauka: kampinis momentas L matuoja rotacinį judesį ir priklauso nuo masės pasiskirstymo (inercijos momento I) bei kampinio greičio ω. Jis yra vektorius, kuriam galioja tvermės dėsnis, ir yra giliai susijęs su sukimo momentu τ bei inercijos tensoriaus sąvoka sudėtingesnėse sistemose.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra kampinis momentas?

K: Kaip apskaičiuojamas kampinis momentas?

K: Kokios yra trys kampinio momento rūšys?

Paieška pagal raidę