Vienetinis vektorius – apibrėžimas, normalizavimas ir pavyzdžiai

Sužinokite, kas yra vienetinis vektorius, kaip jį normalizuoti (formulė ir žingsniai) bei perpraskite aiškius pavyzdžius ir taikymą matematikoje.

Autorius: Leandro Alegsa

05-12-2025 22:24

Vienetinis vektorius - tai bet koks vektorius, kurio ilgis yra vienas vienetas. Vienetinis vektorius nurodo kryptį, bet neturi mastelio (dydžio) informacijos – jis turi būtent ilgį 1.

Žymėjimas

Vienetiniai vektoriai dažnai užrašomi taip pat, kaip ir įprasti vektoriai, bet su ženklu virš raidės (pvz., a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ yra a vienetinis vektorius). Taip pat dažnai naudojamos raidės ê, û arba stulpelinė notacija (pvz., (1,0,0) t. t.).

Normalizavimas (kaip gauti vienetinį vektorių)

Norėdami vektorių paversti vienetiniu vektoriumi, padalykite jį iš jo ilgio:

u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Čia u yra bet koks vektorius, o ‖u‖ – jo ilgis (norma). Gautas vektorius û turi ilgį 1 ir tos pačios krypties kaip u (jeigu u ≠ 0).

Savybės ir pastabos

Ilgis: kiekvieno vienetinio vektoriaus norma yra 1: ‖û‖ = 1.
Kryptis: vienetinis vektorius apibūdina tik kryptį; vektoriai skirtingo ilgio, bet to paties krypties vektoriai turi tą patį vienetinį vektorių po normalizavimo.
Nulinis vektorius: nulinio vektoriaus (0,0,…,0) negalima normalizuoti, nes jo ilgis yra 0 ir dalyba iš 0 nėra apibrėžta.
Oppozitas vienetinis vektorius: jei û yra vienetinis vektorius, tai −û taip pat yra vienetinis vektorius (kryptis priešinga).
Ortonormalumas: vektorių rinkinys vadinamas ortonormaliu, jei visi jo vektoriai yra vienetiniai ir tarpusavyje ortogonalūs (skaliarinis sandauga lygi 0).
Dot (skaliarinė) sandauga: jei û ir v̂ yra vienetiniai vektoriai, tada jų skaliarinė sandauga lygiai lygi kampo tarp jų kosinui: û · v̂ = cos θ.

Pavyzdžiai

2D pavyzdys: vektorius v = (3, 4). Jo ilgis ‖v‖ = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Vienetinis vektorius v̂ = (3/5, 4/5) ≈ (0,6; 0,8).
3D pavyzdys: vektorius w = (1, 2, 2). Jo ilgis ‖w‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3. Vienetinis vektorius ŵ = (1/3, 2/3, 2/3).
Standartinės bazės: vienetinių vektorių pavyzdžiai trimatėje erdvėje yra e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1). Jie yra vienetiniai ir tarpusavyje ortogonalūs.

Pritaikymas

Vienetiniai vektoriai naudojami nukreipti judėjimą, apibrėžti vienetus kampams ir atlikti projekcijas: projekcija skalėje a į vienetinį vektorių û yra (a · û) û.
Inžinerijoje ir kompiuterinėje grafikoje vienetiniai vektoriai nurodo paviršių normaliąsias, apšvietimo kryptis ir judėjimo vienetus.
Matematikoje vienetiniai vektoriai svarbūs ortonormalių sistemų, Fourier serijų ir kvadratinių formų analizėje.

Santrauka: vienetinis vektorius yra vektorius su ilgiu 1. Jį gauname padalindami bet kurį ne nulinį vektorių iš jo ilgio: {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$ . Nepamirškite, kad nuliniam vektoriui normalizavimo formulu taikyti negalima.

Komponentų forma

Trys įprasti vienetiniai vektoriai, naudojami komponentų pavidalu, yra i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } $\mathbf {\hat {i}}$ j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}}} } $\mathbf {\hat {j}}$ ir k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}}} } $\mathbf {\hat {k}}$ atitinkamai x, y ir z ašių vienetiniai vektoriai. Paprastai jie tiesiog užrašomi kaip i, j ir k.

Juos galima užrašyti taip: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra vienetinis vektorius?

Atsakymas: Vienetinis vektorius yra bet koks vektorius, kurio ilgis lygus vienetui.

K: Kaip paprastai užrašomi vienetiniai vektoriai?

A: Vienetiniai vektoriai paprastai užrašomi taip pat, kaip ir įprastiniai vektoriai, tik virš raidės dedamas apėjimo ženklas.

K: Kaip galima paversti vektorių vienetiniu vektoriumi?

A: Norint paversti vektorių vienetiniu vektoriumi, reikia jį padalyti iš ilgio.

K: Koks bus rezultatas, jei vektorių paversite vienetiniu vektoriumi?

A: Gautas vienetinis vektorius bus tos pačios krypties kaip ir pradinis vektorius.

K: Ar yra pavyzdys, kaip užrašyti vienetinį vektorių?

A: Taip, pavyzdžiui, v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } yra vienetinio vektoriaus v{\displaystyle \mathbf {v} } užrašas .

Klausimas: Ar visi vektoriai gali būti paversti vienetiniais vektoriais?

Atsakymas: Taip, bet kokio tipo vektorius galima paversti vienetiniu vektoriumi, padalijus jį iš ilgio.

Ieškoti