Vektorius: apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai matematikoje

• Jonas nueina 20 metrų į šiaurę. Kryptis "šiaurė" kartu su atstumu "20 metrų" yra vektorius.
• Obuolys krenta žemyn 10 metrų per sekundę greičiu. Kryptis "žemyn" kartu su greičiu "10 metrų per sekundę" yra vektorius. Toks vektorius dar vadinamas greičiu.

• Atstumas tarp dviejų vietų yra 10 kilometrų. Šis atstumas nėra vektorius, nes jame nėra krypties.
• Vaisių skaičius dėžėje nėra vektorius.
• Rodantis žmogus nėra vektorius, nes yra tik kryptis. Nėra dydžio (pavyzdžiui, atstumo nuo žmogaus piršto iki pastato).
• Objekto ilgis.
• Automobilis važiuoja 100 kilometrų per valandą greičiu. Tai neaprašo vektoriaus, nes yra tik dydis, bet nėra krypties.

• Poslinkis yra vektorius. Poslinkis - tai atstumas, kurį kažkas juda tam tikra kryptimi. Vien tik atstumo matas yra skaliaras.
• Jėga, kuri apima kryptį, yra vektorius.
• Greitis yra vektorius, nes tai yra greitis tam tikra kryptimi.
• Pagreitis - tai greičio kitimo greitis. Objektas greitėja, jei keičia greitį arba kryptį.

Vektorių pridėjimas popieriuje naudojant galvos ir uodegos metodą

Vektorių sudėties metodas "nuo galvos iki uodegos" yra naudingas, jei norite popieriuje apskaičiuoti dviejų vektorių sudėties rezultatą. Kaip tai padaryti:

• Kiekvienas vektorius braižomas kaip rodyklė, už kurios yra tam tikras ilgio vienetas, o kiekvienas ilgio vienetas popieriuje reiškia tam tikrą vektoriaus dydį.
• Nubraižykite kitą vektorių, kurio uodega (galas) yra ties pirmojo vektoriaus galva (priekis).
• Pakartokite tai visiems kitiems vektoriams: Nubraižykite kito vektoriaus uodegą ties ankstesnio vektoriaus galva.
• Nubrėžkite liniją nuo pirmojo vektoriaus uodegos iki paskutiniojo vektoriaus galvos - tai visų vektorių sandauga (suma).

Šis metodas vadinamas "Head to Tail" (nuo galvos iki uodegos), nes kiekviena ankstesnio vektoriaus galva veda į kito vektoriaus uodegą.

Komponentų formos naudojimas

^{[reikia paaiškinti d]}

Komponentės formos naudojimas dviem vektoriams sudėti tiesiogine prasme reiškia, kad sudėjus vektorių komponentes sukuriamas naujas vektorius. Pavyzdžiui, tegul a ir b yra du dvimačiai vektoriai. Šiuos vektorius galima užrašyti jų komponentėmis.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Tarkime, kad c yra šių dviejų vektorių suma, taigi c = a + b. Tai reiškia, kad c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Pateikiame dviejų vektorių sudėties, naudojant jų sudedamąsias formas, pavyzdį.

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) {\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( 5 , 1 ) {\displaystyle =(5,1)}

Šis metodas tinka visiems vektoriams, ne tik dvimačiams.

Naudojant taškinę sandaugą

Taškinė sandauga yra vienas iš vektorių daugybos būdų. Jos rezultatas yra skaliaras. Naudojama komponentų forma:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,\\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}}}

Kryžminės sandaugos naudojimas

Kryžminė sandauga yra dar vienas vektorių daugybos būdas. Taip gaunamas kitas vektorius. Naudojant komponentų formą:

a × b = | a | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \ kartus \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Čia | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} reiškia a {\displaystyle \mathbf {a} ilgį } ir n {\displaystyle \mathbf {n} } yra vienetinis vektorius, esantis stačiu kampu į a {\displaystyle \mathbf {a} } ir b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Daugyba iš skaliarinio dydžio

Norėdami padauginti vektorių iš skaliarinio skaičiaus (įprasto skaičiaus), padauginkite skaičių iš kiekvienos vektoriaus sudedamosios dalies:

c x = ( c x 1 , c x 2 , ... , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Pavyzdys

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}}

• Vektorinė grafika
• Vektorinis laukas