Skaičius

Numeravimo metodai

Žmonių skaičiai

Yra įvairių būdų, kaip skaičiams suteikti simbolius. Šie būdai vadinami skaičių sistemomis. Dažniausiai naudojama dešimties pagrindų skaičių sistema. Pagrindinė dešimties skaičių sistema dar vadinama dešimtaine skaičių sistema. Pagrindinė dešimties skaičių sistema paplitusi todėl, kad žmonės turi dešimt rankų ir dešimt kojų pirštų. Bazinėje dešimties skaičių sistemoje naudojama 10 skirtingų simbolių {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9}. Šie dešimt simbolių vadinami skaitmenimis.

Skaičiaus simbolis sudarytas iš šių dešimties skaitmenų. Skaitmenų padėtis rodo, kokio dydžio yra skaičius. Pavyzdžiui, skaičius 23 dešimtainėje skaičių sistemoje iš tikrųjų reiškia (2 kartus po 10) plius 3, o 101 reiškia 1 kartą po šimtą (=100) plius 0 kartų po 10 (=0) plius 1 kartą po 1 (=1).

Mašinų numeriai

Mašinoms dažniau naudojama kita skaičių sistema. Mašinų skaičių sistema vadinama dvejetaine skaičių sistema. Dvejetainė skaičių sistema taip pat vadinama antrosios bazės skaičių sistema. Dviejų bazių skaičių sistemoje naudojami du skirtingi simboliai (0 ir 1). Šie du simboliai vadinami bitais.

Dvejetainio skaičiaus simbolis sudarytas iš šių dviejų bitų simbolių. Bitų simbolių padėtis rodo, kokio dydžio yra skaičius. Pavyzdžiui, skaičius 10 dvejetainėje skaičių sistemoje iš tikrųjų reiškia 1 kart 2 plius 0, o 101 reiškia 1 kart keturi (=4) plius 0 kart du (=0) plius 1 kart 1 (=1). Dvejetainis skaičius 10 yra toks pat kaip dešimtainis skaičius 2. Dvejetainis skaičius 101 yra toks pat kaip dešimtainis skaičius 5.

Skaičių pavadinimai

Anglų kalboje kai kurie dešimtainės skaičių sistemos skaičiai turi specialius pavadinimus, kurie yra "dešimties galybės". Visi šie dešimties galybių skaičiai dešimtainėje skaičių sistemoje naudoja tik simbolį "1" ir simbolį "0". Pavyzdžiui, dešimt dešimčių yra tas pats, kas dešimt kartų dešimt, arba šimtas. Simboliais tai yra "10 × 10 = 100". Be to, dešimt šimtų yra tas pats, kas dešimt kartų padauginti iš šimto arba tūkstančio. Simboliais tai yra "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Kai kurie kiti dešimties galybės skaičiai taip pat turi specialius pavadinimus:

• 1 - vienas
• 10 - dešimt
• 100 - šimtas
• 1000 - vienas tūkstantis
• 1 000 000 - vienas milijonas

Kai kalbama apie didesnius skaičius nei šis, yra du skirtingi būdai, kaip juos įvardyti angliškai. Pagal "ilgąją skalę" naujas pavadinimas suteikiamas kiekvieną kartą, kai skaičius milijoną kartų didesnis už paskutinį pavadinimą. Jis taip pat vadinamas "britų standartu". Ši skalė anksčiau buvo paplitusi Didžiojoje Britanijoje, tačiau šiandien angliškai kalbančiose šalyse ji nėra dažnai naudojama. Ji vis dar naudojama kai kuriose kitose Europos šalyse. Kita skalė yra "trumpoji skalė", pagal kurią naujas pavadinimas suteikiamas kiekvieną kartą, kai skaičius yra tūkstantį kartų didesnis už paskutinį įvardytą skaičių. Ši skalė šiandien daugelyje anglakalbių tautų yra daug labiau paplitusi.

• 1,000,000,000 - vienas milijardas (trumpoji skalė), vienas milijardas (ilgoji skalė)
• 1,000,000,000,000,000 - vienas trilijonas (trumpoji skalė), vienas milijardas (ilgoji skalė)
• 1 000 000 000 000 000 000 000 000 - vienas kvadrilijonas (trumpoji skalė), vienas biliardas (ilgoji skalė)

Skaičių tipai

Natūralūs skaičiai

Natūralūs skaičiai - tai skaičiai, kuriuos paprastai naudojame skaičiuodami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ir t. t. Kai kurie žmonės sako, kad 0 taip pat yra natūralus skaičius.

Kitas šių skaičių pavadinimas - teigiami skaičiai. Kartais šie skaičiai rašomi kaip +1, siekiant parodyti, kad jie skiriasi nuo neigiamų skaičių. Tačiau ne visi teigiami skaičiai yra natūralūs (pavyzdžiui, 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} yra teigiami, bet ne natūralūs).

Jei 0 vadinamas natūraliuoju skaičiumi, tai natūralieji skaičiai yra tokie patys kaip sveikieji skaičiai. Jei 0 nevadinamas natūraliuoju skaičiumi, tai natūralieji skaičiai yra tokie patys kaip skaičiuotiniai skaičiai. Taigi, jei nebus vartojami žodžiai "natūralieji skaičiai", tada bus mažiau painiavos dėl to, ar įskaičiuojamas nulis, ar ne. Tačiau, deja, kai kas sako, kad nulis taip pat nėra sveikasis skaičius, o kai kas sako, kad sveikieji skaičiai gali būti neigiami. "Teigiami sveikieji skaičiai" ir "neneigiami sveikieji skaičiai" yra dar vienas būdas įtraukti nulį arba neįtraukti nulio, bet tik tuo atveju, jei žmonės žino šiuos žodžius.

Neigiami skaičiai

Neigiami skaičiai - tai skaičiai, mažesni už nulį.

Vienas iš būdų mąstyti apie neigiamus skaičius - naudoti skaičių eilutę. Vieną šios linijos tašką vadiname nuliu. Tada kiekvieną linijos vietą pažymėsime (užrašysime jos pavadinimą) pagal tai, kiek į dešinę nuo nulinio taško ji yra, pavyzdžiui, taškas vienas yra vienas centimetras į dešinę, taškas du - du centimetrai į dešinę.

Dabar pagalvokite apie tašką, esantį centimetro atstumu į kairę nuo nulinio taško. Šio taško negalime vadinti vienetu, nes jau yra taškas, vadinamas vienetu. Todėl šį tašką vadiname minus 1 (-1) (nes jis yra už vieno centimetro, bet priešinga kryptimi).

Toliau pateikiamas skaičių linijos brėžinys.

Visus įprastus matematikos veiksmus galima atlikti su neigiamais skaičiais:

Jei žmonės prie kito skaičiaus prideda neigiamą skaičių, tai yra tas pats, kas atimti teigiamą skaičių su tais pačiais skaitmenimis. Pavyzdžiui, 5 + (-3) yra tas pats, kas 5 - 3, ir yra lygus 2.

Jei iš kito skaičiaus atimamas neigiamas skaičius, tai yra tas pats, kas pridėti teigiamą skaičių tais pačiais skaitmenimis. Pavyzdžiui, 5 - (-3) yra tas pats, kas 5 + 3, ir yra lygus 8.

Jei jie padaugins du neigiamus skaičius, gaus teigiamą skaičių. Pavyzdžiui, -5 padauginus iš -3 gaunama 15.

Jei neigiamą skaičių padauginsite iš teigiamo skaičiaus arba teigiamą skaičių padauginsite iš neigiamo skaičiaus, gausite neigiamą rezultatą. Pavyzdžiui, 5 padauginus iš -3 gaunama -15.

Kadangi rasti kvadratinę šaknį iš neigiamo skaičiaus neįmanoma, nes neigiamas kart neigiamas lygus possitve. Neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį simbolizuojame kaip i.

Integriniai skaičiai

Sveikieji skaičiai - tai visi natūralieji skaičiai, jų priešingybės ir nulis. Dešimtainiai skaičiai ir trupmenos nėra sveikieji skaičiai.

Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai - tai skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmenas. Tai reiškia, kad juos galima užrašyti kaip a padalytą iš b, kur skaičiai a ir b yra sveikieji skaičiai, o b nėra lygus 0.

Kai kuriems racionaliesiems skaičiams, pvz., 1/10, užrašyti dešimtainiu skaičiumi reikia baigtinio skaitmenų skaičiaus po kablelio. Skaičius viena dešimtoji dešimtainė dešimtaine forma užrašomas kaip 0,1. Skaičiai, užrašyti su baigtine dešimtaine forma, yra racionalūs. Kai kuriems racionaliesiems skaičiams, pavyzdžiui, 1/11, reikia begalinio skaitmenų skaičiaus po kablelio, kad juos būtų galima užrašyti dešimtaine forma. Po dešimtainio taško esantys skaitmenys kartojasi. Skaičius viena vienuoliktoji dešimtaine forma užrašomas taip: 0,090909090909 ... .

Procentą galima vadinti racionaliuoju skaičiumi, nes tokį procentą kaip 7 % galima užrašyti kaip trupmeną 7/100. Jį taip pat galima užrašyti kaip dešimtainį skaičių 0,07. Kartais racionaliuoju skaičiumi laikomas ir santykis.

Iracionalieji skaičiai

Iracionalieji skaičiai - tai skaičiai, kurių negalima užrašyti kaip trupmenos, tačiau jie neturi įsivaizduojamosios dalies (paaiškinta vėliau).

Iracionalieji skaičiai dažnai pasitaiko geometrijoje. Pavyzdžiui, jei turime kvadratą, kurio kraštinės yra 1 metras, atstumas tarp priešingų kampų yra kvadratinė šaknis iš dviejų, t. y. 1,414213 ... . Tai iracionalusis skaičius. Matematikai įrodė, kad kiekvieno natūraliojo skaičiaus kvadratinė šaknis yra arba sveikasis, arba iracionalusis skaičius.

Vienas gerai žinomas iracionalusis skaičius yra pi. Tai apskritimo perimetras (atstumas aplink), padalytas iš jo skersmens (atstumas skersai). Šis skaičius yra vienodas kiekvienam apskritimui. Skaičius pi yra apytiksliai 3,1415926535 ... .

Iracionalusis skaičius negali būti visiškai užrašytas dešimtaine forma. Jis turėtų begalinį skaičių skaitmenų po kablelio. Kitaip nei 0,333333 ..., šie skaitmenys nesikartotų amžinai.

Realieji skaičiai

Realieji skaičiai - tai visų pirmiau išvardytų skaičių rinkinių pavadinimas:

• Racionalieji skaičiai, įskaitant sveikuosius skaičius
• Iracionalieji skaičiai

Tai visi skaičiai, kuriuose nėra įsivaizduojamų skaičių.

Įsivaizduojami skaičiai

Įsivaizduojamuosius skaičius sudaro realieji skaičiai, padauginti iš skaičiaus i. Šis skaičius yra kvadratinė šaknis iš minus vieno (-1).

Realiuosiuose skaičiuose nėra skaičiaus, kurį pakėlus kvadratu gautume skaičių -1. Todėl matematikai išrado skaičių. Šį skaičių jie pavadino i, arba įsivaizduojamuoju vienetu.

Įsivaizduojamieji skaičiai veikia pagal tas pačias taisykles kaip ir realieji skaičiai:

• Dviejų įsivaizduojamų skaičių suma randama ištraukiant (faktorizuojant) i. Pavyzdžiui, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Panašiai randamas dviejų įsivaizduojamų skaičių skirtumas. Pavyzdžiui, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Daugindami du įsivaizduojamuosius skaičius nepamirškite, kad i × i (i ²) yra -1. Pavyzdžiui, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Įsivaizduojamieji skaičiai buvo pavadinti įsivaizduojamaisiais, nes kai jie buvo atrasti pirmą kartą, daugelis matematikų manė, kad jie neegzistuoja.^[]Žmogus, atradęs įsivaizduojamuosius skaičius, buvo Gerolamo Cardano 1500-aisiais. Pirmasis žodžius įsivaizduojamasis skaičius pavartojo Renė Dekartas (René Descartes). Pirmieji šiuos skaičius pavartojo Leonardas Euleris ir KarlasFrydrichas Gausas. Abu jie gyveno XVIII amžiuje.

Kompleksiniai skaičiai

Kompleksiniai skaičiai - tai skaičiai, turintys dvi dalis: realiąją ir įsivaizduojamąją. Kiekvienas pirmiau užrašytas skaičius taip pat yra kompleksinis skaičius.

Kompleksiniai skaičiai yra bendresnė skaičių forma. Kompleksinius skaičius galima nubrėžti skaičių plokštumoje. Ją sudaro realiųjų skaičių tiesė ir įsivaizduojamųjų skaičių tiesė.

                      3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | i|_ | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Visą įprastą matematiką galima atlikti su kompleksiniais skaičiais:

• Norėdami sudėti du kompleksinius skaičius, atskirai sudėkite realiąją ir įsivaizduojamąją dalis. Pavyzdžiui, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Norėdami atimti vieną kompleksinį skaičių iš kito, atskirai atimkite realiąją ir įsivaizduojamąją dalis. Pavyzdžiui, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Sudėtinga padauginti du kompleksinius skaičius. Lengviausia tai apibūdinti bendrais bruožais, naudojant du kompleksinius skaičius a + bi ir c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Pavyzdžiui, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentiniai skaičiai

Realusis arba kompleksinis skaičius vadinamas transcendentiniu skaičiumi, jei jo negalima gauti kaip algebrinės lygties su sveikaisiais koeficientais rezultato.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}}

Įrodyti, kad tam tikras skaičius yra transcendentinis, gali būti labai sunku. Kiekvienas transcendentinis skaičius taip pat yra iracionalusis skaičius. Pirmieji žmonės, pastebėję, kad yra transcendentinių skaičių, buvo Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas ir Leonhardas Euleris. Pirmasis, kuris iš tikrųjų įrodė, kad egzistuoja transcendentiniai skaičiai, buvo Josephas Liouville'is. Jis tai padarė 1844 m.

Gerai žinomi transcendentiniai skaičiai:

• e
• π
• e^a algebrinei a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{{\sqrt {2}}}

√2 yra iracionalus.