Kompleksinis skaičius
Kompleksinis skaičius yra skaičius, tačiau nuo paprastųjų skaičių skiriasi daugeliu aspektų. Kompleksinis skaičius sudaromas naudojant du kartu sujungtus skaičius. Pirmoji dalis yra realusis skaičius. Antroji kompleksinio skaičiaus dalis yra įsivaizduojamasis skaičius. Svarbiausias įsivaizduojamasis skaičius vadinamas i {\displaystyle i}
, apibrėžiamas kaip skaičius, kuris kvadratu padaugintas bus -1 ("kvadratu" reiškia "padaugintas iš savęs"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Visi kiti įsivaizduojamieji skaičiai yra i {\displaystyle i}, padauginti iš realiojo skaičiaus, lygiai taip pat, kaip visus realiuosius skaičius galima laikyti 1, padaugintu iš kito skaičiaus. Su kompleksiniais skaičiais galima naudoti tokias aritmetines funkcijas kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Jiems, kaip ir realiesiems skaičiams, taip pat būdingos komutatyvinės, asociatyvinės ir distributyvinės savybės.
Kompleksiniai skaičiai buvo atrasti bandant išspręsti specialias lygtis, kuriose yra eksponentų. Matematikams tai ėmė kelti rimtų problemų. Palyginimui, naudojant neigiamus skaičius, galima rasti x lygtyje a + x = b {\displaystyle a+x=b}
visoms realiosioms a ir b reikšmėms, tačiau jei x galima naudoti tik teigiamus skaičius, kartais neįmanoma rasti teigiamo x, kaip lygtyje 3 + x = 1.
Eksponentizacijos atveju reikia įveikti sunkumus. Nėra tokio realaus skaičiaus, kurį padauginus iš kvadrato gautume -1. Kitaip tariant, -1 (arba bet kuris kitas neigiamas skaičius) neturi realios kvadratinės šaknies. Pavyzdžiui, nėra realaus skaičiaus x {\displaystyle x}
, kuris išspręstų ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Šiai problemai išspręsti matematikai įvedė simbolį i ir pavadino jį įsivaizduojamuoju skaičiumi. Tai įsivaizduojamasis skaičius, kurį pakėlus kvadratu gaunama -1.
Tikriausiai pirmieji apie tai pagalvojo matematikai Gerolamo Cardano ir Raffaele Bombelli. Jie gyveno XVI amžiuje. Tikriausiai Leonardas Euleris įvedė i {\displaystyle \mathrm {i} rašymą. } šiam skaičiui žymėti. 
Visus kompleksinius skaičius galima užrašyti kaip a + b i {\displaystyle a+bi} 
(arba a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kur a vadinama realiąja skaičiaus dalimi, o b - įsivaizduojamąja dalimi. Rašome ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
arba Re ( z ) {\displaystyle \operatorius {Re} (z)}
, realiąją kompleksinio skaičiaus z dalį {\displaystyle z}
. Taigi, jei z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, rašome a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. Panašiai rašome ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
arba Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
kompleksinio skaičiaus z įsivaizduojamajai daliai {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
Kiekvienas realusis skaičius taip pat yra kompleksinis skaičius; tai kompleksinis skaičius z, kurio ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Kompleksinį skaičių taip pat galima užrašyti kaip sutvarkytą porą (a, b). Tiek a, tiek b yra realieji skaičiai. Bet kurį realųjį skaičių galima užrašyti kaip a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
arba kaip porą (a, 0).
Kartais vietoj i {\displaystyle j}
rašoma j {\displaystyle i} . Elektros inžinerijoje i {\displaystyle i} reiškia elektros srovę. Rašant i {\displaystyle i} gali kilti daug problemų, nes kai kurie skaičiai elektrotechnikoje yra sudėtingi skaičiai.
Visų kompleksinių skaičių aibė paprastai užrašoma kaip C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operacijos su kompleksiniais skaičiais
Sudėti, atimti, dauginti, dalyti, jeigu daliklis nėra nulis, ir eksponentizuoti (padidinti skaičius iki eksponentų) galima su kompleksiniais skaičiais. Kai kurie kiti skaičiavimai taip pat galimi su kompleksiniais skaičiais.
Sudėtinių skaičių sudėties ir atimties taisyklė yra gana paprasta:
Tegul z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
tada z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, ir z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Daugyba yra šiek tiek kitokia:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Kita svarbi kompleksinių skaičių operacija yra konjugacija. Kompleksinis konjugatas z - z ¯ {\displaystyle {\overline {\z}}}}
z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} yra a - b i {\displaystyle a-bi}
. Tai gana paprasta, bet svarbu skaičiavimams, nes z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
priklauso realiesiems skaičiams visiems kompleksiniams z {\displaystyle z} :
z z ž = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Tai galime panaudoti dalijimui atlikti:
1 z = z z z z z = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Kitos kompleksinių skaičių apibūdinimo formos
Kompleksinius skaičius galima pavaizduoti vadinamojoje kompleksinėje plokštumoje. Jei turite skaičių z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , galite eiti į tašką ant realiosios ašies ir į tašką b ant įsivaizduojamos ašies ir nubrėžti vektorių iš ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
į ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Šio vektoriaus ilgį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą ir kampą tarp teigiamos realiosios ašies ir šio vektoriaus, einant prieš laikrodžio rodyklę. Vektoriaus ilgis skaičiui z {\displaystyle z} vadinamas jo moduliu (užrašytas kaip | z | {\displaystyle |z|}
), o kampas vadinamas jo argumentu ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Taip gaunama trigonometrinė kompleksinių skaičių aprašymo forma: pagal sinuso ir kosinuso apibrėžimus, visiems z {\displaystyle z} reiškia, kad
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Tai glaudžiai susiję su De Moivre'o formule.
Egzistuoja dar viena forma, vadinama eksponentineforma.
Kompleksinį skaičių vizualiai galima pavaizduoti kaip du skaičius, kurie sudaro vektorių Argando diagramoje, vaizduojančioje kompleksinę plokštumą.
Išvada
Matematiką papildžius kompleksiniais skaičiais, kiekvienas daugianaris su kompleksiniais koeficientais turi šaknis, kurios yra kompleksiniai skaičiai. Sėkmingas kompleksinių skaičių įtraukimas į matematiką taip pat padėjo atverti kelią kitų skaičių rūšių, kurios galėtų išspręsti ir padėti paaiškinti daugybę įvairių problemų, pavyzdžiui: hiperkompleksiniai skaičiai, sedenionas, hiperrealūs skaičiai, siurrealūs skaičiai ir daugelis kitų, sukūrimui. Žr. skaičių rūšis.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra sudėtingas skaičius?
A: Kompleksinis skaičius yra skaičius, sudarytas iš dviejų dalių: pirmoji dalis yra realusis skaičius, o antroji - įsivaizduojamasis skaičius.
K: Koks yra svarbiausias įsivaizduojamasis skaičius?
A: Svarbiausias įsivaizduojamasis skaičius vadinamas i, kuris apibrėžiamas kaip skaičius, kurį pakėlus kvadratu bus -1.
K: Kaip aritmetinės funkcijos naudojamos su kompleksiniais skaičiais?
A: Aritmetinės funkcijos, tokios kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba, gali būti naudojamos su kompleksiniais skaičiais. Jos taip pat vadovaujasi komutacinėmis, asociatyviosiomis ir distributyviosiomis savybėmis, kaip ir realieji skaičiai.
K: Koks simbolis žymi kompleksinių skaičių aibę?
A: Kompleksinių skaičių aibė dažnai vaizduojama naudojant simbolį C.
K: Kodėl buvo atrasti kompleksiniai skaičiai?
A: Kompleksiniai skaičiai buvo atrasti bandant išspręsti specialias lygtis, kuriose yra eksponentų, nes matematikams jie kėlė realių problemų.
K: Kas įvedė šio tipo skaičių rašymą i?
A: Tikriausiai Leonardas Euleris įvedė i rašymą šio tipo skaičiams.
K: Kaip kompleksinį skaičių galima užrašyti kaip sutvarkytą porą?
A: Kompleksinį skaičių galima užrašyti kaip tvarkingą porą (a, b), kur a ir b yra realieji skaičiai.
