Kompleksinis skaičius yra skaičius, tačiau nuo paprastųjų skaičių skiriasi daugeliu aspektų. Kompleksinis skaičius sudaromas naudojant du kartu sujungtus skaičius. Pirmoji dalis yra realusis skaičius. Antroji kompleksinio skaičiaus dalis yra įsivaizduojamasis skaičius. Svarbiausias įsivaizduojamasis skaičius vadinamas i {\displaystyle i}{\displaystyle i} , apibrėžiamas kaip skaičius, kuris kvadratu padaugintas bus -1 ("kvadratu" reiškia "padaugintas iš savęs"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Visi kiti įsivaizduojamieji skaičiai yra i {\displaystyle i}, {\displaystyle i}padauginti iš realiojo skaičiaus, lygiai taip pat, kaip visus realiuosius skaičius galima laikyti 1, padaugintu iš kito skaičiaus. Su kompleksiniais skaičiais galima naudoti tokias aritmetines funkcijas kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Jiems, kaip ir realiesiems skaičiams, taip pat būdingos komutatyvinės, asociatyvinės ir distributyvinės savybės.

Kompleksiniai skaičiai buvo atrasti bandant išspręsti specialias lygtis, kuriose yra eksponentų. Matematikams tai ėmė kelti rimtų problemų. Palyginimui, naudojant neigiamus skaičius, galima rasti x lygtyje a + x = b {\displaystyle a+x=b}{\displaystyle a+x=b} visoms realiosioms a ir b reikšmėms, tačiau jei x galima naudoti tik teigiamus skaičius, kartais neįmanoma rasti teigiamo x, kaip lygtyje 3 + x = 1.

Eksponentizacijos atveju reikia įveikti sunkumus. Nėra tokio realaus skaičiaus, kurį padauginus iš kvadrato gautume -1. Kitaip tariant, -1 (arba bet kuris kitas neigiamas skaičius) neturi realios kvadratinės šaknies. Pavyzdžiui, nėra realaus skaičiaus x {\displaystyle x}x, kuris išspręstų ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}{\displaystyle (x+1)^{2}=-9}. Šiai problemai išspręsti matematikai įvedė simbolį i ir pavadino jį įsivaizduojamuoju skaičiumi. Tai įsivaizduojamasis skaičius, kurį pakėlus kvadratu gaunama -1.

Tikriausiai pirmieji apie tai pagalvojo matematikai Gerolamo Cardano ir Raffaele Bombelli. Jie gyveno XVI amžiuje. Tikriausiai Leonardas Euleris įvedė i {\displaystyle \mathrm {i} rašymą. } šiam skaičiui žymėti. {\displaystyle \mathrm {i} }

Visus kompleksinius skaičius galima užrašyti kaip a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}(arba a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}{\displaystyle a+b\cdot i} ), kur a vadinama realiąja skaičiaus dalimi, o b - įsivaizduojamąja dalimi. Rašome ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} {\displaystyle \Re (z)}arba Re ( z ) {\displaystyle \operatorius {Re} (z)}{\displaystyle \operatorname {Re} (z)} , realiąją kompleksinio skaičiaus z dalį {\displaystyle z}{\displaystyle z} . Taigi, jei z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , rašome a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} . Panašiai rašome ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}{\displaystyle \Im (z)} arba Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}{\displaystyle \operatorname {Im} (z)} kompleksinio skaičiaus z įsivaizduojamajai daliai {\displaystyle z}{\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}Kiekvienas realusis skaičius taip pat yra kompleksinis skaičius; tai kompleksinis skaičius z, kurio ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}{\displaystyle \Im (z)=0} .

Kompleksinį skaičių taip pat galima užrašyti kaip sutvarkytą porą (a, b). Tiek a, tiek b yra realieji skaičiai. Bet kurį realųjį skaičių galima užrašyti kaip a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} {\displaystyle a+0\cdot i}arba kaip porą (a, 0).

Kartais vietoj i {\displaystyle j}{\displaystyle j} rašoma j {\displaystyle i}{\displaystyle i} . Elektros inžinerijoje i {\displaystyle i}{\displaystyle i} reiškia elektros srovę. Rašant i {\displaystyle i} {\displaystyle i}gali kilti daug problemų, nes kai kurie skaičiai elektrotechnikoje yra sudėtingi skaičiai.

Visų kompleksinių skaičių aibė paprastai užrašoma kaip C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }.

Operacijos su kompleksiniais skaičiais

Du kompleksiniai skaičiai užrašomi kaip z1 = a + b i ir z2 = c + d i (čia a, b, c, d yra realūs skaičiai).

  • Sudėtis: z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i — sudedamos realiosios dalys atskirai ir įsivaizduojamosios dalys atskirai.
  • Atimtis: z1 − z2 = (a − c) + (b − d) i.
  • Daugyba: (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i. Pastaba: i^2 = −1 naudojama norint suskaičiuoti realią dalį.
  • Dalyba: z1 / z2 = ((a+bi)(c−di)) / (c^2 + d^2) = ((ac+bd) + (bc−ad) i) / (c^2 + d^2), kai z2 ≠ 0.

Modulis, kompleksinis suvienodinimas ir konjugacija

Konjugatas z̄ skaičiaus z = a + b i yra z̄ = a − b i. Konjugacija keičia įsivaizduojamąją dalį priešingą, paliekant realiąją dalį.

Modulis (ilgis) |z| apibrėžiamas kaip |z| = sqrt(a^2 + b^2). Geometriškai tai atstumas nuo taško (a, b) iki koordinačių pradžios kompleksinėje plokštumoje.

Naudinga savybė: z · z̄ = |z|^2 = a^2 + b^2. Tai praverčia dalybai ir trigonometrinių identitetų išvedimui.

Polinė forma ir Eulerio formulė

Kiekvieną nenulinį kompleksinį skaičių galima užrašyti poline forma: z = r (cos θ + i sin θ), kur r = |z|, o θ — argumento (fazės) kampas, kartais reiškiamas arg z arba ∠z.

Eulerio formulė sujungia eksponentes ir trigonometriją: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Todėl dažnai rašoma z = r e^{iθ}. Tai labai patogu dauginti (r1 e^{iθ1})(r2 e^{iθ2}) = r1 r2 e^{i(θ1+θ2))} ir kelti į laipsnį.

Šaknys ir Lygtys

Kompleksiniai skaičiai leidžia rasti sprendinius daugeliui polinominių lygčių. Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, kiekviena netrivi polinomų lygtys su kompleksiniais koeficientais turi bent vieną kompleksinį šaknį; kitaip tariant, aibė C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} } yra algebrai uždara.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis x^2 + 1 = 0 neturi realių sprendinių, tačiau kompleksinių sprendinių yra du: x = i ir x = −i.

Geometrinė reikšmė

Kompleksinis skaičius a + b i atitinka tašką (a, b) Dekarto plokštumoje (kompleksinėje plokštumoje). Operacijos su skaičiais turi aiškią geometriją: sudėtis atitinka vektorių sudėtį, daugyba polarine forma reiškia ilginių daugimą ir kampų sudėtį.

Pavyzdžiai

  • Sudėtis: (2 + 3i) + (1 − 4i) = (2+1) + (3−4)i = 3 − i.
  • Daugyba: (1 + 2i)(3 + i) = 1·3 + 1·i + 2i·3 + 2i·i = 3 + i + 6i + 2(i^2) = 3 + 7i + 2(−1) = 1 + 7i.
  • Dalyba: (2 + i) / (1 − i) = ((2 + i)(1 + i)) / (1^2 + 1^2) = (2 + 2i + i + i^2) / 2 = (2 + 3i − 1) / 2 = (1 + 3i)/2 = 0.5 + 1.5i.
  • Modulis: |3 − 4i| = sqrt(3^2 + (−4)^2) = 5.

Istorija ir žymėjimas

Kaip paminėta aukščiau, pirmuosius žingsnius sudėtingų sprendinių link darė Gerolamo Cardano ir Raffaele Bombelli XVI amžiuje. Leonardas Euleris padėjo standardizuoti i {\displaystyle \mathrm {i}{\displaystyle \mathrm {i} } žymėjimą. Daugiaplatformėse (ypač elektros inžinerijoje) dažnai vartojama žyma j vietoje i — tai susiję su elektros inžinerijos tradicija, nes i (raidė) žymi elektros srovę.

Pritaikymas

Kompleksiniai skaičiai yra plačiai naudojami:

  • Elektros ir elektronikos inžinerijoje (signalo apdorojimas, kintamosios srovės analizė).
  • Kontrolės teorijoje ir fizikoje (svyravimai, bangų mechanika).
  • Matematikoje — diferencialinės lygtys, kompleksinė analizė, fraktalai.
  • Kompiuterinėje grafikoje ir skaitmeniniuose signaluose (Fourier transformacija).

Santrauka

Kompleksiniai skaičiai išplečia realiųjų skaičių sistemą į dvi dimensijas, įvedant įsivaizduojamą vienetą i, kurio kvadratas lygus −1. Jie sudaro lauką su natūraliomis aritmetinėmis operacijomis, leidžia spręsti lygtis, kurios realių skaičių aibei neturi sprendinių, ir turi aiškią geometrinę interpretaciją kompleksinėje plokštumoje. Dėl šių savybių kompleksiniai skaičiai tapo kertiniu daugelio matematikos ir inžinerijos sričių įrankiu.