Paskirstomoji savybė algebroje: apibrėžimas, formulė ir pavyzdžiai

Sužinokite paskirstomąją savybę algebroje: aiškus apibrėžimas, formulės paaiškinimas ir praktiški pavyzdžiai nuo aritmetikos iki abstrakčių algebrainių struktūrų.

Autorius: Leandro Alegsa Sukūrimo data: 2022 m. balandžio 5 d. Paskutinis atnaujinimas: 2026 m. sausio 6 d.

Paskirstymas yra algebros sąvoka: ji nurodo, kaip turi būti atliekamos dvejetainės operacijos. Paprasčiausias atvejis yra skaičių sudėties ir daugybos atvejis. Pavyzdžiui, aritmetikoje:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), bet 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Pirmosios lygties kairėje pusėje 2 daugina 1 ir 3 sumą; dešinėje pusėje jis daugina 1 ir 3 atskirai, o sandaugas sudeda vėliau. Kadangi šie skaičiavimai duoda tą patį galutinį atsakymą (8), sakoma, kad daugyba iš 2 pakeičia 1 ir 3 sudėtį. Kadangi vietoj 2, 1 ir 3 būtų galima įrašyti bet kokius realiuosius skaičius ir vis tiek gauti teisingą lygtį, sakome, kad realiųjų skaičių daugyba yra svarbesnė už realiųjų skaičių sudėtį.

Apibrėžimas (bendresnis)

Tarkime, turime du dvejetainius veiksmus + ir ⋅ apibrėžtus toje pačioje aibėje S. Veiksmas ⋅ yra kairysis paskirstomas per +, jeigu visiems a, b, c ∈ S galioja

a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c).

Analogiškai, ⋅ yra dešinysis paskirstomas per +, jeigu visiems a, b, c ∈ S galioja

(b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a).

Jei galioja abu lygtys (kairysis ir dešinysis paskirstymai), sakoma, kad ⋅ yra paskirstomas per +. Jei operacijos yra komutatyvios, kairysis ir dešinysis paskirstymai sutampa.

Formulė ir simbolinis užrašas

Universali simbolinė formulė skamba taip:

∀ a, b, c ∈ S: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Dažnai naudojamas ir atvirkštinis (faktorizavimo) žingsnis: jeigu turime ab + ac, tai galime užrašyti kaip a(b + c).

Pavyzdžiai

Realieji skaičiai: tradiciškai daugyba paskirstoma per sudėtį: a(b + c) = ab + ac.
Polinomai: (x + 2)(x^2 + x + 1) = x(x^2 + x + 1) + 2(x^2 + x + 1) — t. y. daugyba su paskirstymu leidžia išskleisti ir susidėti sandaugas.
Matricos: matricos daugyba paskirstoma per matricos sudėtį tiek iš kairės, tiek iš dešinės: A(B + C) = AB + AC ir (B + C)A = BA + CA. Reikšminga tai, kad matricos daugeliu atvejų nėra komutatyvios (AB ≠ BA), todėl atskirti kairinį ir dešinį paskirstymą yra svarbu.
Funkcijos (taškine operacija): jeigu (f + g)(x) = f(x) + g(x) ir (f·h)(x) = f(x)·h(x), tai f·(g + h) = f·g + f·h (taškiniu būdu).

Paskirstymas ir kitos algebrai savybės

Paskirstomumas nėra tas pats, kas komutatyvumas (a ⋅ b = b ⋅ a) ar asociatyvumas ((a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)). Tačiau daugelyje struktūrų (pvz., žiedų) paskirstomumas kartu su komutatvybe ir asociatyvumu sudaro pagrindines algebros taisykles.

Kada operacija nėra paskirstoma?

Ne visos operacijos paskirstomos. Tipiniai pavyzdžiai:

Dalyba: 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3) — kaip parodyta pradžioje.
Eksponentavimas: a^(b + c) ≠ a^b + a^c (išskyrus specialius atvejus).
Sudėtis funkcijų: (f + g) ∘ h ≠ f ∘ h + g ∘ h paprastai (čia sudėtis ir funkcijų sudėtis elgiasi kitaip).

Papildomi pastebėjimai ir pavyzdžiai žingsnis po žingsnio

1) Išskleidimas (uždarymas):

Jei turime a(b + c + d), paskirstymas leidžia rašyti ab + ac + ad.

2) Faktorizavimas (atvirkštinis žingsnis):

Iš reiškinio ab + ac galime ištraukti bendrą koeficientą a ir parašyti a(b + c). Tai naudinga sprendžiant lygtis ir supaprastinant išraiškas.

Algebrainis pagrindimas trumpai

Jeigu + yra sudėtis, o − žymi atvirkštinę sudėčiai (adityvinę inversiją), tai paskirstomumas per sudėtį reiškia ir paskirstomumą per atimtimą, pvz. a(b − c) = ab − ac, nes b − c = b + (−c).

Santrauka: paskirstomoji savybė leidžia pakeisti tvarką, kaip atliekamos operacijos: viena operacija „paskirsto“ per kitą. Ji yra labai praktinė išraiškų tvarkymui — plėtimui, faktorizavimui bei lygtims spręsti — ir yra vienas iš kertinių algebrai principų (ypač žiedų ir kitų algebrai struktūrų teorijoje).

Apibrėžtis

Turėdami aibę $S$ ir du dvejetainius operatorius ∗ ir + $S,$ sakome, kad operacija:

∗ yra kairioji distribucija virš +, jei, esant bet kokiems $S$ elementams $x, y$ ir $z,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ yra dešinioji distributyvinė per +, jei, esant bet kokiems $S$ elementams $x, y$ ir $z,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ ir

∗ yra distributyvus per +, jei jis yra kairės ir dešinės pusės distributyvus. Atkreipkite dėmesį, kad kai ∗ yra komutatyvus, trys pirmiau minėtos sąlygos yra logiškai lygiavertės.

Programos

Paskirstomoji savybė taip pat gali būti taikoma:

Realieji skaičiai
Kompleksiniai skaičiai
Matricos (taikomos specialios taisyklės)
Vektoriai (taikomos specialios taisyklės)
Nustato
Pasiūlymų logika

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra pasiskirstymas algebroje?

A: Pasiskirstymas yra algebros sąvoka, apibūdinanti, kaip atliekami tokie dvejetainiai veiksmai kaip sudėtis ir daugyba.

K: Ar galite pateikti aritmetikos skirstinio pavyzdį?

A: Taip, aritmetikos pasiskirstymo pavyzdys yra 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), kur kairėje pusėje 2 daugina 1 ir 3 sumą, o dešinėje pusėje 2 daugina 1 ir 3 atskirai, po to sudeda sandaugas.

K: Kodėl algebroje svarbi pasiskirstymo sąvoka?

A: Pasiskirstymo sąvoka algebroje svarbi, nes padeda supaprastinti lygtis ir lengviau jas spręsti.

Klausimas: Ar daugyba pasiskirsto per visų realiųjų skaičių sudėtį?

Atsakymas: Taip, realiųjų skaičių daugyba pasiskirsto prieš realiųjų skaičių sudėtį, o tai reiškia, kad į aritmetikos pasiskirstymo pavyzdyje naudojamą lygtį vietoje reikšmių galima įdėti bet kokius realiuosius skaičius ir vis tiek gauti teisingą lygtį.

Klausimas: Ar visais atvejais sudėtis pasiskirsto prieš daugybą?

Atsakymas: Ne, ne visais atvejais sudėtis yra distributyvi, o ne daugyba; tai galioja tik tam tikroms skaičių aibėms, pavyzdžiui, realiesiems skaičiams.

K: Ar galite pateikti pavyzdį, kai skirstinys nėra teisingas?

Atsakymas: Taip, priešingas pavyzdys, kai pasiskirstymas nėra teisingas, yra 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Šiuo atveju kairės pusės lygtis nėra lygi dešinės pusės lygčiai, nes dalijimas nepasiskirsto prieš sudėties lygtį.

Klausimas: Kaip skirstinys taikomas dvejetainiams veiksmams?

Atsakymas: Algebroje skirstinys taikomas būtent dvejetainiams veiksmams, tokiems kaip sudėtis ir daugyba, kai aprašoma, kaip turi būti atliekami veiksmai, kai yra daugiau nei vienas operandas.