Realieji skaičiai: apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai
Sužinokite realiųjų skaičių apibrėžimą, pagrindines savybes ir aiškius pavyzdžius — lengvai suprantama medžiaga mokiniams ir besimokantiesiems matematikos.
Realusis skaičius yra racionalusis arba iracionalusis skaičius. Paprastai sakydami "skaičius" žmonės turi omenyje "realųjį skaičių". Oficialus realiojo skaičiaus simbolis yra paryškintas R arba lentoje paryškintas R {\displaystyle \mathbb {R} } 
. Realieji skaičiai apima visus sveikus, trupmeninius (racionalius) ir netrumpmeninius (iracionalius) skaičius, kuriuos galima užrašyti kaip dešimtainę eilutę (gal kartotinę arba neperiodinę).
Vizualizacija ir ženklai
Realiuosius skaičius patogu įsivaizduoti kaip be galo ilgą liniuotę (skaičių ašį). Nulis žymi centro tašką: jį kairėn nuo nulio eina neigiami skaičiai (pažymimi minuso ženklu), o dešinėn — teigiami skaičiai. Teigiamas skaičius yra "didesnis už nulį", o neigiamas — "mažesnis už nulį".
Pagrindinės savybės
- Uždarytumas pagal sudėtį ir daugybą: sumos, skirtumai, sandaugos ir dalybos (išskyrus dalybą iš nulio) tarp realiųjų skaičių yra vėl realieji skaičiai.
- Tvarka: realieji skaičiai yra tvarkinga aibė su palyginimo ryšiu "≤".
- Tarpinis (tankumo) savybė: tarp bet kokių dviejų skirtingų realiųjų skaičių visada galima rasti kitą realųjį skaičių; konkrečiau, tarp bet kurių dviejų realiųjų skaičių yra racionalus ir yra ir irrationalus skaičius.
- Archimedo savybė: bet kuriam realiajam skaičiui x egzistuoja natūralusis n toks, kad n > x.
- Užbaigtumas (kompletnumas): kiekviena aukščiausio ribos (viršutinės ribos) apribota netuščia aibė realiųjų skaičių turi mažiausią viršutinę ribą (supremum). Ši savybė atskiria R nuo skaičių sistemų, pvz., racionaliųjų skaičių aibės.
- Kardinalumas: realiųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojama — turi didesnį kiekį elementų nei sveikieji ar racionalieji skaičiai; tai dar vadinama kontinuumu.
Skaitmeninis atvaizdavimas ir dešimtainiai užrašai
Realiųjų skaičių dešimtainės išraiškos gali būti:
- baigtinės arba periodiškos — tai racionalieji skaičiai (pvz., 1/2 = 0.5 arba 1/3 = 0.333...);
- neperiodiškos, ne baigtinės — tai iracionalieji skaičiai (pvz., √2 = 1.4142135..., π = 3.14159..., e = 2.71828...).
Reikšmės pvz., 1 = 0.999... rodo, kad kai kurios dešimtainės išraiškos nėra unikalios: tam tikri skaičiai turi dvi skaitmenines reprezentacijas (baigtinę ir begalinę periodinę).
Operacijos ir tvarkos savybės
Veiksmai su realiaisiais skaičiais elgiasi taip, kaip įprasta: suma, skirtumas, sandauga ir dalyba (išskyrus dalybą iš nulio) atitinka algebraines savybes (asociatyvumą, komutatavimą, distributyvumą). Be to, absoliutus dydis |x| apibrėžia atstumą nuo nulio, o atstumas tarp dviejų realiųjų skaičių x ir y yra |x − y|.
Užbaigtumas ir matematinės konstrukcijos
Užbaigtumas (completeness) yra esminė realiųjų skaičių savybė: bet kuri apribota iš viršaus aibė turi viršutinę ribą (supremum). Šią savybę galima formalizuoti ir konstruktiškai apibrėžti realiuosius skaičius keliais būdais, dažniausiai pasitelkiant:
- Dedekindo skaidinius (Dedekind cuts) — realusis skaičius yra racionaliųjų skaičių aibės padalijimas į dvi dalis be aukščiausio elemento kairėje dalyje;
- Cauchy sekoes — realusis skaičius yra Cauchy tipo sekos racionaliųjų skaičių klasė, sujungta pagal arba sužymėta lygiaverčiams ribiniams rezultatams.
Skaičių klasės ir ryšiai
Kai kurios paprastesnės skaičių sistemos yra realiųjų skaičių viduje. Pavyzdžiui, racionalieji ir sveikieji skaičiai yra realiųjų skaičių dalys. Yra ir sudėtingesnių sistemų, pavyzdžiui, kompleksiniai skaičiai. Kiekvienas realusis skaičius yra kompleksinis skaičius (jo braižas turi nulį įsivaizduojamą dalį), bet ne kiekvienas kompleksinis skaičius yra realusis — kompleksinis skaičius su nenuline įsivaizduojamąja dalimi nėra realusis.
Kardinalumas ir skaičių skaičiavimo problema
Tikrieji skaičiai yra nesuskaičiuojami. Tai reiškia, kad nėra būdo visus realiuosius skaičius sudėti į seką taip, kad kiekvienas realusis skaičius būtų išvardintas vieną kartą. Bet kurioje realiųjų skaičių sekoje trūks realiojo skaičiaus, net jei seka yra begalinė. Dėl to realieji skaičiai yra ypatingi: nors ir sveikųjų skaičių, ir realiųjų skaičių aibės yra begalinės, realiųjų skaičių aibė yra "didesnė" — turi griežtai didesnį kardinalumą (kontinuumo kardinalumą) nei sveikųjų skaičių aibė.
Papildomos pastabos ir pavyzdžiai
Keletas konkrečių pavyzdžių:
- Sveikieji: −3, 0, 7.
- Racionalieji: 1/2 = 0.5, −4 = −4.0, 1/3 = 0.333....
- Iracionalieji: √2 ≈ 1.41421356..., π ≈ 3.14159265..., e ≈ 2.71828182....
Dar keli svarbūs pastebėjimai:
- Intervalai: realieji skaičiai leidžia apibrėžti intervalus, pvz., (a, b), [a, b], (a, b], kurie turi gaires dėl įtraukties ir uždarumo.
- Supremum ir infimum: kiekvienai apribotai aibei realiųjų skaičių egzistuoja mažiausia viršutinė riba (sup) ir didžiausia apatinė riba (inf), o tai yra kertinė analizės sąvoka.
- Tarp bet kurių dviejų skaičių randami tiek racionalūs, tiek ir irracionalūs skaičiai — realioji aibė yra tanki abejose pusėse.
Santrauka
Realieji skaičiai yra pagrindinė matematikos aibė, apimanti racionaliuosius ir irracionaliuosius skaičius, turinti tvarką, užbaigtumą bei tankumą. Jie sudaro skaičių ašį, kurioje galima matuoti atstumus, apibrėžti intervalus ir spręsti uždavinius tiek elementariose, tiek pažangesnėse analizės srities srityse.
Skirtingi realiųjų skaičių tipai
Yra įvairių realiųjų skaičių tipų. Kartais apie visus realiuosius skaičius kalbama ne iš karto. Kartais kalbama tik apie specialius, mažesnius jų rinkinius. Šie rinkiniai turi specialius pavadinimus. Jie yra šie:
- Natūralūs skaičiai: Tai realieji skaičiai, kurie neturi dešimtainio skaičiaus ir yra didesni už nulį.
- Sveikieji skaičiai: Tai teigiami realieji skaičiai, kurie neturi dešimtųjų skaitmenų, taip pat nulio. Natūralieji skaičiai taip pat yra sveikieji skaičiai.
- Sveikieji skaičiai: Tai realieji skaičiai be dešimtųjų skaitmenų. Tai ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Sveikieji skaičiai taip pat yra sveikieji skaičiai.
- Racionalieji skaičiai: Tai realieji skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip sveikųjų skaičių trupmenas. Racionalieji skaičiai taip pat yra sveikieji skaičiai.
- Transcendentinių skaičių negalima gauti sprendžiant lygtį su sveikaisiais komponentais.
- Iracionalieji skaičiai: Tai realieji skaičiai, kurių negalima užrašyti kaip sveikųjų skaičių trupmenos. Transcendentiniai skaičiai taip pat yra iracionalieji.
Skaičius 0 (nulis) yra ypatingas. Kartais jis laikomas nagrinėjamo poaibio dalimi, o kartais - ne. Jis yra tapatybės elementas sudėčiai ir atimčiai. Tai reiškia, kad pridėjus arba atėmus nulį pradinis skaičius nepasikeičia. Daugybos ir dalybos atveju tapatybės elementas yra 1.
Vienas iš realiųjų skaičių, kuris nėra racionalus, yra 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 
. Šis skaičius yra iracionalus. Jei nupiešiamas kvadratas, kurio kraštinės yra vieno vieneto ilgio, linijos tarp priešingų kampų ilgis bus 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}. .
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra realusis skaičius?
A: Realusis skaičius yra bet koks racionalusis arba iracionalusis skaičius, kurį galima išreikšti naudojant dešimtainės trupmenos plėtinį. Tai dažniausiai pasitaikantis skaičiaus tipas, apie kurį kalbama, kai žmonės sako "skaičius".
K: Koks simbolis žymi realiuosius skaičius?
A: Oficialus realiųjų skaičių simbolis yra paryškintas R arba lentoje paryškintas R traukinys {\displaystyle \mathbb {R} } .
K: Kuo skiriasi teigiami ir neigiami skaičiai?
A: Teigiami skaičiai yra "didesni už nulį", o neigiami skaičiai yra "mažesni už nulį" ir prie jų pridedami minuso ženklai (-), kad juos būtų galima žymėti kitaip nei teigiamus skaičius.
K: Ar realiųjų skaičių yra daugiau nei sveikųjų?
Atsakymas: Taip, realiųjų skaičių yra be galo daug, o sveikųjų skaičių galima suskaičiuoti. Tai reiškia, kad nors abiejų tipų skaičių yra be galo daug, realiųjų skaičių vis tiek yra daugiau nei sveikųjų.
Klausimas: Ar visi kompleksiniai skaičiai taip pat yra realieji skaičiai?
Atsakymas: Ne, kiekvienas realusis skaičius yra kompleksinis skaičius, bet ne kiekvienas kompleksinis skaičius yra realusis skaičius. Panašiai ir 3/7 yra racionalusis skaičius, bet ne sveikasis skaičius.
Klausimas: Ar įmanoma visus realiuosius skaičius sudėlioti į eilę?
Atsakymas: Ne, nes visų realiųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojama, o tai reiškia, kad kad ir kokia ilga būtų seka, joje visada bus praleistas bent vienas iš jų.
Ieškoti