Realusis skaičius yra racionalusis arba iracionalusis skaičius. Paprastai sakydami "skaičius" žmonės turi omenyje "realųjį skaičių". Oficialus realiojo skaičiaus simbolis yra paryškintas R arba lentoje paryškintas R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} }. Realieji skaičiai apima visus sveikus, trupmeninius (racionalius) ir netrumpmeninius (iracionalius) skaičius, kuriuos galima užrašyti kaip dešimtainę eilutę (gal kartotinę arba neperiodinę).

Vizualizacija ir ženklai

Realiuosius skaičius patogu įsivaizduoti kaip be galo ilgą liniuotę (skaičių ašį). Nulis žymi centro tašką: jį kairėn nuo nulio eina neigiami skaičiai (pažymimi minuso ženklu), o dešinėn — teigiami skaičiai. Teigiamas skaičius yra "didesnis už nulį", o neigiamas — "mažesnis už nulį".

Pagrindinės savybės

  • Uždarytumas pagal sudėtį ir daugybą: sumos, skirtumai, sandaugos ir dalybos (išskyrus dalybą iš nulio) tarp realiųjų skaičių yra vėl realieji skaičiai.
  • Tvarka: realieji skaičiai yra tvarkinga aibė su palyginimo ryšiu "≤".
  • Tarpinis (tankumo) savybė: tarp bet kokių dviejų skirtingų realiųjų skaičių visada galima rasti kitą realųjį skaičių; konkrečiau, tarp bet kurių dviejų realiųjų skaičių yra racionalus ir yra ir irrationalus skaičius.
  • Archimedo savybė: bet kuriam realiajam skaičiui x egzistuoja natūralusis n toks, kad n > x.
  • Užbaigtumas (kompletnumas): kiekviena aukščiausio ribos (viršutinės ribos) apribota netuščia aibė realiųjų skaičių turi mažiausią viršutinę ribą (supremum). Ši savybė atskiria R nuo skaičių sistemų, pvz., racionaliųjų skaičių aibės.
  • Kardinalumas: realiųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojama — turi didesnį kiekį elementų nei sveikieji ar racionalieji skaičiai; tai dar vadinama kontinuumu.

Skaitmeninis atvaizdavimas ir dešimtainiai užrašai

Realiųjų skaičių dešimtainės išraiškos gali būti:

  • baigtinės arba periodiškos — tai racionalieji skaičiai (pvz., 1/2 = 0.5 arba 1/3 = 0.333...);
  • neperiodiškos, ne baigtinės — tai iracionalieji skaičiai (pvz., √2 = 1.4142135..., π = 3.14159..., e = 2.71828...).

Reikšmės pvz., 1 = 0.999... rodo, kad kai kurios dešimtainės išraiškos nėra unikalios: tam tikri skaičiai turi dvi skaitmenines reprezentacijas (baigtinę ir begalinę periodinę).

Operacijos ir tvarkos savybės

Veiksmai su realiaisiais skaičiais elgiasi taip, kaip įprasta: suma, skirtumas, sandauga ir dalyba (išskyrus dalybą iš nulio) atitinka algebraines savybes (asociatyvumą, komutatavimą, distributyvumą). Be to, absoliutus dydis |x| apibrėžia atstumą nuo nulio, o atstumas tarp dviejų realiųjų skaičių x ir y yra |x − y|.

Užbaigtumas ir matematinės konstrukcijos

Užbaigtumas (completeness) yra esminė realiųjų skaičių savybė: bet kuri apribota iš viršaus aibė turi viršutinę ribą (supremum). Šią savybę galima formalizuoti ir konstruktiškai apibrėžti realiuosius skaičius keliais būdais, dažniausiai pasitelkiant:

  • Dedekindo skaidinius (Dedekind cuts) — realusis skaičius yra racionaliųjų skaičių aibės padalijimas į dvi dalis be aukščiausio elemento kairėje dalyje;
  • Cauchy sekoes — realusis skaičius yra Cauchy tipo sekos racionaliųjų skaičių klasė, sujungta pagal arba sužymėta lygiaverčiams ribiniams rezultatams.

Skaičių klasės ir ryšiai

Kai kurios paprastesnės skaičių sistemos yra realiųjų skaičių viduje. Pavyzdžiui, racionalieji ir sveikieji skaičiai yra realiųjų skaičių dalys. Yra ir sudėtingesnių sistemų, pavyzdžiui, kompleksiniai skaičiai. Kiekvienas realusis skaičius yra kompleksinis skaičius (jo braižas turi nulį įsivaizduojamą dalį), bet ne kiekvienas kompleksinis skaičius yra realusis — kompleksinis skaičius su nenuline įsivaizduojamąja dalimi nėra realusis.

Kardinalumas ir skaičių skaičiavimo problema

Tikrieji skaičiai yra nesuskaičiuojami. Tai reiškia, kad nėra būdo visus realiuosius skaičius sudėti į seką taip, kad kiekvienas realusis skaičius būtų išvardintas vieną kartą. Bet kurioje realiųjų skaičių sekoje trūks realiojo skaičiaus, net jei seka yra begalinė. Dėl to realieji skaičiai yra ypatingi: nors ir sveikųjų skaičių, ir realiųjų skaičių aibės yra begalinės, realiųjų skaičių aibė yra "didesnė" — turi griežtai didesnį kardinalumą (kontinuumo kardinalumą) nei sveikųjų skaičių aibė.

Papildomos pastabos ir pavyzdžiai

Keletas konkrečių pavyzdžių:

  • Sveikieji: −3, 0, 7.
  • Racionalieji: 1/2 = 0.5, −4 = −4.0, 1/3 = 0.333....
  • Iracionalieji: √2 ≈ 1.41421356..., π ≈ 3.14159265..., e ≈ 2.71828182....

Dar keli svarbūs pastebėjimai:

  • Intervalai: realieji skaičiai leidžia apibrėžti intervalus, pvz., (a, b), [a, b], (a, b], kurie turi gaires dėl įtraukties ir uždarumo.
  • Supremum ir infimum: kiekvienai apribotai aibei realiųjų skaičių egzistuoja mažiausia viršutinė riba (sup) ir didžiausia apatinė riba (inf), o tai yra kertinė analizės sąvoka.
  • Tarp bet kurių dviejų skaičių randami tiek racionalūs, tiek ir irracionalūs skaičiai — realioji aibė yra tanki abejose pusėse.

Santrauka

Realieji skaičiai yra pagrindinė matematikos aibė, apimanti racionaliuosius ir irracionaliuosius skaičius, turinti tvarką, užbaigtumą bei tankumą. Jie sudaro skaičių ašį, kurioje galima matuoti atstumus, apibrėžti intervalus ir spręsti uždavinius tiek elementariose, tiek pažangesnėse analizės srities srityse.