Sekvencija (seka) – apibrėžimas, rūšys ir pavyzdžiai matematikoje

Sekvencija – žodis, reiškiantis „einantis po to arba toliau, serija“. Tai išdėstytų objektų eilė, kur svarbi ne tik patys elementai, bet ir jų tvarka. Matematikos kontekste sekos dažnai nagrinėjamos tiek skaičių, tiek kitokių objektų pavidalu.

Terminas naudojamas matematikoje ir kitose disciplinose. Pavyzdžiui, (mėlyna, raudona, geltona) yra seka, o (geltona, mėlyna, raudona) yra kita seka – jos turi tuos pačius elementus, bet nėra vienodos dėl skirtingos tvarkos. Skaičių sekos dažnai vadinamos progresijomis.

Rūšys

Baigtinės sekos – turi galutinį elementą. Pavyzdžiui, (1, 2, 3, 4, 5) yra baigtinė seka. (baigtinės).
Begalinės sekos – neturi pabaigos, jos tęsiasi neribotai: (2, 4, 6, 8, ...). Tokias sekas taip pat žymi begalinės, t. y. jos tęsiasi ir nėra pabaigos. Begalinių sekų pavyzdys – visų lyginių skaičių seka: 2, 4, 6, 8, ...
Kitos klasifikacijos: monotoniškos (didėjančios/mažėjančios), periodinės, apribotos/neapribotos, konverguojančios/nekonverguojančios ir kt.

Kaip užrašyti seką

Baigtinę seką galima užrašyti išvardijant visus jos elementus. Begalinės sekos atveju dažniausiai taikomi šie būdai:

Explicit (išraiškos) formulė: n-ąjį sekos elementą išreiškiame tiesiogine formule, pavyzdžiui, a_n = 2n. Tai reiškia, kad n-oje vietoje esantis daiktas yra skaičius 2×n; pirmasis elementas 2×1 = 2, antrasis 2×2 = 4, 100-asis 2×100 = 200. Tokiu būdu aprašoma visa (begalinė) seka.
Rekursinė formulė: n-tasis elementas apibrėžiamas per ankstesnius elementus. Pvz., Fibonacci seka: F₁ = 1, F₂ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 3).
Taško (taisyklių) aprašymas: trumpas žodinis arba formulinis paaiškinimas, kaip gauti elementus (pvz., „visi teigiami lyginiai skaičiai“).

Jeigu pažįstate funkcija, seką galite laikyti funkcija a: N → S, kur N – natūrinių skaičių rinkinys (indeksai), o S – elementų aibė. Tuomet sekos elementas pažymimas a(n) arba a_n, o pati seka – (a_n)_n=1^∞ arba {a_n}.

Pavyzdžiai – progresijos

aritmetinė progresija: skirtumas tarp gretimų narių yra pastovus. Jei pradinis narys a₁ ir skirtumas d, tai a_n = a₁ + (n−1)d. Pavyzdys: 3, 6, 9, 12, ... (čia d = 3).
geometrinė progresija: santykis tarp gretimų narių yra pastovus. Jei pirmas narys a₁ ir santykis r, tai a_n = a₁·r^(n−1). Pavyzdys: 2, 4, 8, 16, ... (čia r = 2).

Savybės, kurias dažnai nagrinėja matematikoje

Monotonija – seka gali būti didėjanti, mažėjanti arba negriežtai didėjanti/mažėjanti.
Apribotumas – ar seka turi viršutinę arba apatinę ribą (pvz., visi seka elementai yra ≤ M).
Konvergencija – ar begalinė seka artėja prie tam tikros ribos (limito) kai n→∞. Jei taip, sakome, kad seka konverguoja; priešingu atveju – diverguoja.
Subseka (po-seka) – seka, sudaryta iš originalios sekos tam tikrų pasirinktų elementų (pvz., visi elementai, kurių indeksas yra pirminis skaičius).
Periodiškumas – seka periodinė, jei pasikartojantis modelis kartojasi kas k žingsnių: a_n+k = a_n visiems n.

Praktinė reikšmė

Sekos pasitaiko daugelyje sričių: skaičių teorijoje, analizėje (sekų ribos), skaičiavimuose, duomenų tvarkyme, biologijoje (genetinės sekos), kompiuterijos algoritmuose (iteracijos) ir kt. Supratimas, kaip užrašyti ir analizuoti seką, leidžia spręsti uždavinius apie jų elgseną ilgame laikotarpyje.

Jei reikia, galiu pateikti daugiau konkrečių pavyzdžių (aritmetinė ir geometrinė progresijos su skaičiavimais), iliustruoti konvergencijos sąvoką grafiškai arba parodyti, kaip patikrinti monotoniją ir apribotumą.

Pavyzdžiui: seką galima užrašyti taisykle taisyklę, kaip rasti n-ąjį elementą – pavyzdžiui, n-oje vietoje esantis daiktas yra 2×n (čia naudojamas žodis kartus): 2, 4, 6, 8, ... . Šita taisyklė leidžia sužinoti bet kurį sekos elementą. Sekos aprašymas taip pat gali būti rekursinis, kaip Fibonacci arba kitos priklausomos sekos.

Sekų tipai

Aritmetinės progresijos (AP)

Skirtumas tarp termino ir prieš jį esančio termino visada yra konstanta.

Pavyzdys: 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 ir t. t.

Taigi, jei pirmąjį narį laikysite A, o pastovųjį skirtumą - D, bendroji aritmetinės sekos formulė bus T=a+(n-1)D, kur n yra nario skaičius.

Geometrinės progresijos (GP)

Termino ir prieš jį esančio termino santykis visada yra pastovus.

Pavyzdys: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6 : 3 = 2, 12 : 6 = 2, 24 : 12 = 2, 48 : 24 = 2 ir t. t.

Bendroji formulė yra T=ar^(n-1), kur a - pirmasis narys, r - santykis, o n - narių skaičius.

Harmoninės progresijos (HP)

Skirtumas tarp termino ir prieš jį esančio termino atvirkštinės reikšmės yra konstanta.

Pavyzdys: 3 , 1,5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1,5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

( 1 : 1.5 ) - ( 1 : 3 ) = 1 3 , ( 1 : 1 ) - ( 1 : 1.5 ) = 1 3 , ( 1 : 3 4 ) - ( 1 : 1 ) = 1 3 , {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},} $(1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3}},$ ir t. t.

Serija

Eilė yra visų sekos narių suma.

bendroji aritmetinės sekos sumos apskaičiavimo formulė

S=n/2 [2a=(n-1)d]

geometrinės sekos yra

S= a/(1-r), jei seka yra begalinė, ir S= [a(1-r^n)]/(1-r), jei ji yra baigtinė

čia a - pirmasis narys, d - aritmetinės sekos bendrasis skirtumas, r - santykis n geometrinėje sekoje, o n - narių skaičius.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra seka?

A: Sekos - tai susijusių įvykių, judesių ar daiktų, einančių vienas po kito tam tikra tvarka, rinkinys.

K: Kaip ji naudojama?

A: Ji naudojama matematikoje ir kitose disciplinose. Įprastinėje vartosenoje jis reiškia įvykių seką, einančią vienas po kito.

K: Kokios yra dvi sekų rūšys?

Atsakymas: Dvi sekų rūšys yra baigtinės sekos, kurios turi pabaigą, ir begalinės sekos, kurios niekada nesibaigia.

K: Ar galite pateikti begalinės sekos pavyzdį?

Atsakymas: Begalinės sekos pavyzdys yra visų lyginių skaičių, didesnių už 0, seka. Ši seka niekada nesibaigia; ji prasideda nuo 2, 4, 6 ir t. t.

K: Kaip galime užrašyti begalinę seką?

Atsakymas: Begalinę seką galime užrašyti užrašydami taisyklę, kaip rasti daiktą bet kurioje norimoje vietoje. Taisyklė turėtų nurodyti, kaip rasti daiktą n-oje vietoje, kur n gali būti bet kuris natūralusis skaičius.

Klausimas: Ką reiškia (a_n) užrašant seką?

A: (a_n) reiškia n-ąjį sekos narį.