Matematikoje funkcija yra matematinis objektas, kuris duoda išvestį, kai jam suteikiama įvestis - tai gali būti skaičius, vektorius arba bet kas, kas gali egzistuoti daiktų rinkinyje.

Taigi funkcija yra tarsi mašina, kuri priima x reikšmes ir grąžina išvestį y. Visų reikšmių, kurias gali turėti x, aibė vadinama sritimi. Aibė, kurioje yra visos reikšmės, kurias gali turėti y, vadinama sritimi.

Jei taip atsitinka, sakome, kad y yra x funkcija, ir rašome y =f(x). f yra funkcijos pavadinimas ir rašome f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} (funkcija iš X į Y), norėdami išreikšti tris funkcijos dalis: sritį (x), kodinę sritį (y) ir suporavimo procesą (rodyklė).

Funkcijos pavyzdys yra f(x)=x+1. Įvestyje pateikiamas natūralusis skaičius x {\displaystyle x}x (0,1,2,3...) ir gaunamas natūralusis skaičius y {\displaystyle y} ykuris yra x {\displaystyle x}x +1 (1,2,3,4...) Funkcijos idėja buvo sukurta taip, kad apimtų įvairias galimybes. Funkcija nebūtinai turi būti lygtis. Pagrindinė idėja yra ta, kad įėjimai ir išėjimai kažkaip suporuojami, net jei procesas yra labai sudėtingas.

Apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos

Funkcija yra taisyklė arba ryšys, kuris kiekvienam elementui iš tam tikros aibės (vadinamos sritimi arba domenu) priskiria vieną ir tik vieną elementą kitoje aibėje.

  • Sritis (domenas) – aibė X, iš kurios imami įvestys (x).
  • Kodinė sritis (codomain) – aibė Y, iš kurios funkcinės reikšmės yra numatytos arba kurią apibrėžiame kaip galimų išvesčių aibę.
  • Vaizdas (image, range) – faktinė aibė reikšmių y, kurią funkcija užima; tai yra kiekvienos x formuojamų y rinkinys, dažnai paprastai reiškiamas f(X).

Notation: dažnai rašoma f: X → Y, reiškiančia, kad f yra funkcija iš X į Y; ir y = f(x) – reiškia, kad y yra x vaizdas pagal f.

Pavyzdžiai

  • Linijinė funkcija: f(x) = x + 1. Jei domenas X = N = {0,1,2,...}, tai f(0)=1, f(1)=2 ir pan. Faktinis vaizdas f(X) = {1,2,3,...} – tai N be 0.
  • Kvadratinė funkcija: g(x) = x^2 su X = R (visi realūs skaičiai). Tuomet g(X) = [0, ∞) – tik neigiami skaičiai nėra pasiekiami.
  • Diskretus suporavimas: h: {a,b,c} → {1,2} gali būti aprašyta taisykle h(a)=1, h(b)=2, h(c)=1. Tai pavyzdys funkcijos, kuri nėra injektyvi (dvi skirtingos įvestys turi tą pačią išvestį).

Funkcijų tipai

  • Injektyvi (vienetinis nustatymas) – skirtingi x duoda skirtingus y. Jei f(x1)=f(x2), tada x1=x2.
  • Surjektyvi (ant) – funkcijos vaizdas sutampa su kodinine sritimi Y; kiekvienas Y elementas yra kažkieno f atvaizdas.
  • Bijektyvi – tiek injektyvi, tiek surjektyvi; tokiu atveju egzistuoja apverčiamas žemėlapis (inversinė funkcija) f^{-1}: Y → X.

Sudėtis, inversija ir grafikas

  • Sudėtis: jei f: X → Y ir g: Y → Z, tai g ∘ f reiškia funkciją iš X į Z, aprašomą (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
  • Inversinė funkcija: jei f yra bijektyvi, tai egzistuoja f^{-1}: Y → X, tokia kad f^{-1}(f(x)) = x ir f(f^{-1}(y)) = y.
  • Grafikas: funkcijos f: X → Y grafikas (jei X ir Y yra skaičių aibės) yra taškų rinkinys {(x,f(x)) | x ∈ X} plokštumoje.

Kada funkcija nebūtinai yra lygtis

Svarbu pažymėti, kad funkcija nebūtinai turi būti išreikšta formule ar paprasta lygtimi. Funkcija gali būti aprašyta žodžiu, lentelės pavidalu, diagrama, algoritmu ar bet kokia taisykle, kuri kiekvienam domeno elementui priskiria vieną kodomaino elementą.

Trumpas santrauka

  • Funkcija priskiria kiekvienam x iš srities X vieną y iš aibės Y.
  • Domenu vadinama apibrėžties sritis; kodomainas – numatyta reikšmių aibė; vaizdas – faktinė reikšmių aibė, kurią funkcija užima.
  • Analizuojant funkcijas svarbu atsižvelgti į injektyvumą, surjektyvumą, bijektyvumą, sudėtį ir (jei taikoma) tęstinumą ar differentiabilumą.