Integralas

Skaičiuoklėje integralas - tai erdvė po lygties grafiku (kartais sakoma "plotas po kreive"). Integralas yra atvirkštinis išvestinei ir priešingas diferencialiniam skaičiavimui. Išvestinė yra kreivės statumas (arba "nuolydis"), kaip kitimo greitis. Žodis "integralas" taip pat gali būti vartojamas kaip būdvardis, reiškiantis "susijęs su sveikaisiais skaičiais".

Integravimo simbolis skaičiavimuose yra ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ kaip aukšta raidė "S". Šį simbolį pirmasis panaudojo Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (Gottfried Wilhelm Leibniz), kuris jį naudojo kaip stilizuotą "ſ". (lot. summa - suma), kad reikštų ploto, kurį apima lygtis, pavyzdžiui, y = f(x), sumą.

Integralai ir išvestinės yra matematikos šakos, vadinamos skaičiavimais, dalis. Ryšys tarp jų yra labai svarbus ir vadinamas pagrindine skaičiavimo teorema. Ši teorema teigia, kad integralą galima pakeisti išvestine, panašiai kaip sudėtį galima pakeisti atimtimi.

Integravimas padeda, kai bandoma padauginti vienetus sprendžiant problemą. Pavyzdžiui, jei sprendžiamas uždavinys su norma, ( atstumas laikas ) {\displaystyle \left({\frac {\text{atstumas}}{\text{laikas}}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , reikia atsakyti tik į klausimą apie atstumą, vienas iš sprendimų yra integruoti laiko atžvilgiu. Tai reiškia, kad dauginant iš laiko reikia panaikinti laiką ( atstumas laikas ) × laikas {\displaystyle \left({\frac {\frac {\text{atstumas}}{\text{laikas}}}}}\right)\times {\text{laikas}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Tai atliekama sudedant mažus greičio grafiko pjūvius. Šių pjūvių plotis yra artimas nuliui, tačiau juos sudėjus visam laikui, gaunama visuma. Tai vadinama Rymano suma.

Sudėjus šiuos pjūvius gaunama lygtis, kurios išvestinė yra pirmoji lygtis. Integralai yra tarsi būdas rankomis sudėti daugybę mažų dalykų. Tai panašu į sumavimą, kai sudedama 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Skirtumas nuo integravimo yra tas, kad taip pat turime sudėti visas tarpines dešimtąsias ir trupmenines dalis.

Dar kartą integracija naudinga, kai reikia nustatyti kietojo kūno tūrį. Jis gali sudėti dvimačius (be pločio) kietojo kūno pjūvius amžinai, kol bus plotis. Tai reiškia, kad dabar objektas turi tris matmenis: pradinius du ir plotį. Taip gaunamas aprašyto trimačio objekto tūris.

Kas yra integralas (animacija)

Integravimas yra susijęs su paviršiaus s radimu, kai yra a, b ir y = f(x). Aukščiau pavaizduoto integralo iš a į b formulė yra tokia:
formulė: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Integravimo metodai

Antiderivacija

Pagal pagrindinę skaičiavimo teoremą integralas yra antiderivacija.

Jei paimsime funkciją 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ ir ją antidiferencijuojame, galime sakyti, kad 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integralas yra x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Sakome integralas, o ne integralas, nes funkcijos antidiferencialas nėra unikalus. Pavyzdžiui, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ taip pat diferencijuojasi į 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Todėl imant antiderivaciją reikia pridėti konstantą C. Tai vadinama neapibrėžtuoju integralu. Taip yra todėl, kad, ieškant funkcijos išvestinės, konstantos lygios 0, kaip funkcijos

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Atkreipkite dėmesį į 0: negalime jo rasti, jei turime tik išvestinę, todėl integralas yra

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Paprastos lygtys

Tokią paprastą lygtį kaip y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ galima integruoti atsižvelgiant į x taikant šį metodą. Norint integruoti, prie galios, į kurią pakeltas x, pridedamas 1, o tada x dalijamas iš šios naujos galios vertės. Todėl normalinės lygties integravimas vyksta pagal šią taisyklę: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Pabaigoje esantis d x {\displaystyle dx} $dx$ rodo, kad integruojame x atžvilgiu, t. y. kai x kinta. Tai yra atvirkštinis diferencijavimo būdas. Tačiau integruojant pridedama konstanta C. Ji vadinama integravimo konstanta. Ji reikalinga, nes diferencijuojant sveikąjį skaičių gaunamas nulis, todėl integruojant nulį (kurį galima įterpti į bet kurio integralo galą) gaunamas sveikasis skaičius C. Šio sveikojo skaičiaus reikšmė būtų randama taikant duotas sąlygas.

Lygtys, kuriose yra daugiau nei vienas narys, paprasčiausiai integruojamos integruojant kiekvieną atskirą narį:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integravimas, apimantis e ir ln

Egzistuoja tam tikros integravimo naudojant e ir natūralųjį logaritmą taisyklės. Svarbiausia, e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ yra savęs paties integralas (pridėjus integravimo konstantą): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{x,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Natūralusis logaritmas, ln, naudingas integruojant lygtis su 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Tokių lygčių negalima integruoti pagal aukščiau pateiktą formulę (pridėti vienetą prie galybės, padalyti iš galybės), nes pridėjus vienetą prie galybės gaunamas 0, o dalyti iš 0 neįmanoma. Vietoj to 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ integralas yra ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Bendresne forma: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dvi vertikalios juostos rodo absoliučiąją vertę; į f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) ženklą (teigiamą arba neigiamą) neatsižvelgiama. Taip yra todėl, kad nėra neigiamų skaičių natūraliojo logaritmo reikšmės.

Savybės

Funkcijų suma

Funkcijų sumos integralas yra kiekvienos funkcijos integralų suma, t. y,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Tai įrodyti nesunku: Integralo apibrėžimas yra sumų riba. Taigi

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų integralų ribos yra vienodos.

Integravimo konstantos

Kai konstanta yra integrale su funkcija, konstantą galima išimti. Be to, kai konstanta c nėra kartu su funkcija, jos reikšmė yra c * x. Tai yra,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ ir

Tai galima padaryti tik naudojant konstantą.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Įrodymas vėlgi atliekamas remiantis integralo apibrėžimu.

Kita

Jei a, b ir c yra eilės tvarka (t. y. vienas po kito ant x ašies), f(x) integralas iš taško a į tašką b plius f(x) integralas iš taško b į c yra lygus f(x) integralui iš taško a į c. Tai yra,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ jei jie yra eilės tvarka. (Tai galioja ir tada, kai a, b, c nėra eilės tvarka, jei apibrėžiame ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Tai išplaukia iš pagrindinės skaičiavimo teoremos (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Vėlgi, vadovaujantis FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra integralas?

A: Integralas - tai erdvė po lygties grafiku, dar vadinama "plotu po kreive". Tai atvirkštinė išvestinei ir matematikos šakos, vadinamos skaičiavimais, dalis.

K: Kaip atrodo integravimo simbolis?

A: Integravimo simbolis skaičiuotėje atrodo kaip didelė raidė "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

K: Kaip integralai susiję su išvestinėmis?

A: Integralus ir išvestines sieja pagrindinė skaičiavimo teorema, kuri teigia, kad integralą galima pakeisti išvestine, panašiai kaip sudėtį galima pakeisti atimtimi.

K: Kada galima naudoti integravimą?

A: Integravimą galima naudoti, kai bandoma padauginti vienetus sprendžiant uždavinį arba ieškant kietojo kūno tūrio. Ji padeda sudėti dvimačius pjūvius, kol susidaro plotis, taip suteikiant objektui tris matmenis ir jo tūrį.

K: Kuo integravimas panašus į sumavimą?

A: Integravimas panašus į sumavimą tuo, kad jis sudeda daugybę smulkių dalykų, tačiau integruojant turime sudėti ir visus tarpinius dešimtukus bei trupmenas.

K: Ką reiškia Riemanno suma?

A: Riemanno suma reiškia, kad reikia sudėti mažus tempo grafiko gabalėlius, kol jie susumuojami ir sudaro vieną visą lygtį.