AlegsaOnline.com

Skaičiavimas: diferencialinis ir integralinis – apibrėžimas ir taikymai

Skaičiavimas: diferencialinis ir integralinis — aiškus apibrėžimas, praktiniai taikymai fizikoje, inžinerijoje ir ekonomikoje. Sužinokite, kaip keičiasi ir susumuojasi reiškiniai.

Autorius: Leandro Alegsa Sukūrimo data: 2022 m. sausio 18 d. Paskutinis atnaujinimas: 2026 m. sausio 9 d.

simple.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Skaičiavimas - tai matematikos šaka, padedanti suprasti funkcijų ryšiais susietų reikšmių pokyčius. Dažnai skaičiavimą galima mąstyti kaip laiko funkcijų nagrinėjimą: turite formulę, nurodančią, kiek pinigų gaunate kiekvieną dieną — skaičiavimas leidžia atsakyti į klausimus, kiek iš viso turite per tam tikrą laikotarpį, ar jūsų pajamos didėja ar mažėja, koks yra pokyčio greitis ir kt. Visos šios formulės gali būti vertinamos kaip laiko funkcijos, todėl skaičiavimas yra natūralus įrankis tokiems klausimams analizuoti.

Skaičiavimas skirstomas į dvi pagrindines dalis. Diferencialinis skaičiavimas nagrinėja, kaip greitai keičiasi funkcijos reikšmė — kitais žodžiais, jis skaido į mažas (infinitesimales) dalis ir apibrėžia pokyčio greitį. Integralinis skaičiavimas sujungia (integruoja) smulkius pokyčius ir nustato bendrą pokytį arba „kaupinį kiekį“ (pvz., bendras uždarbis per laikotarpį arba plotas po kreive). Abi šios dalys yra glaudžiai susijusios per skaičiavimo pagrindinį teoremą (Fundamental Theorem of Calculus) ir kartu sudaro instrumentų rinkinį, plačiai naudojamą fizikoje, astronomijoje, biologijoje, inžinerijoje, ekonomikoje, medicinoje ir sociologijoje.

Diferencialinis skaičiavimas — esmė ir pavyzdžiai

Diferencialinis skaičiavimas tiria momentinį pokytį. Matematiškai tai aprašoma kaip išvestinė f'(x) arba dy/dx — ribinė santykio Δy/Δx, kai Δx artėja prie nulio. Geometriškai išvestinė nurodo kreivės liemens („tangento“) nuolydį tam tikroje taško vietoje.

Praktinis pavyzdys: jei f(t) reiškia atstumą, kurį nuvažiuojate per laiką t, tai f'(t) yra greitis v(t).
Ekonomikoje išvestinė gali reikšti ribinę naudą arba ribinę sąnaudas — kiek pasikeis išlaidos padidinus gamybą vienetu.

Integralinis skaičiavimas — esmė ir pavyzdžiai

Integralas kaupina mazas dalis į bendrą dydį. Neapibrėžtasis integralas (antiderivacija) randa funkciją, kurios išvestinė yra duota funkcija. Apibrėžtasis integralas reikšia, pavyzdžiui, plotą po kreive tarp dviejų taškų arba bendrą per tam tikrą laiką sukauptą kiekį.

Ploto pavyzdys: apibrėžtasis integralas ∫_a^b f(x) dx duoda plotą tarp f(x) ir x ašies intervale [a, b].
Fizikoje darbas, atliktas jėgos veikimu per atstumą, skaičiuojamas kaip integralas ∫ F(x) dx.

Fundamentalioji skaičiavimo teorema

Ši teorema sujungia diferenciaciją ir integraciją: neapibrėžtasis integralas yra priešinga operacija išvestinei, o apibrėžtasis integralas gali būti apskaičiuojamas per antiderivaciją. Tai leidžia paprastai pereiti tarp momentinio pokyčio ir sukaupto pokyčio skaičiavimų.

Pagrindinės taisyklės ir metodai

Diferencialinis skaičiavimas: galios taisyklė, sandaugos taisyklė, dalmens taisyklė, grandinės (chain) taisyklė.
Integralinis skaičiavimas: pakaitos (substitucijos) metodas, dalinimo integravimas (integration by parts), skaitinės integracijos metodikos (trapezoidinė, Simpson'o taisyklė).
Daugiamatės funkcijos: dalinės išvestinės, gradientas, divergencija, rotoras, paviršiaus ir tūrio integralai.

Taikymai

Skaičiavimas taikomas labai plačiai:

Fizika: judėjimo lygtys, greitis ir pagreitis, elektrodinamika, bangų ir šilumos lygtys.
Astronomija: orbitų dinamika, gravitacijos lauko analizė.
Biologija ir medicina: augimo modeliai, vaistų koncentracijos kitimas organizme, biologinių sistemų dinamikos modeliai.
Inžinerija: konstrukcijų stiprumas, srauto analizė, signalų apdorojimas.
Ekonomika: optimizacija, pelno ir sąnaudų analizė, diferencialinės ir integralinės lygties modeliai prognozuoti augimą ar nuosmukį.
Sociologija ir statistika: tendencijų analizė, srautų modeliavimas.

Skaičiavimas daugiamatėse funkcijose

Kai funkcijos priklauso nuo kelių kintamųjų (pvz., f(x, y)), naudojamos dalinės išvestinės, gradientas (rodo didžiausio didėjimo kryptį) ir daugiaintegraliai skaičiavimai (dvigubas, trigubas integralas) erdvinių dydžių nustatymui.

Skaitiniai metodai ir diferencialinės lygties sprendimas

Daugelis realių problemų veda prie diferencialinių lygčių, kurias ne visada galima išspręsti analitiškai. Tokiais atvejais naudojami skaitiniai metodai — Eulerio metodas, Runge–Kutta metodai, implicit/explicit sprendimo schemos — leidžiančios aproksimuoti sprendimus kompiuteriu.

Apibendrinant: skaičiavimas (diferencialinis ir integralinis) yra universalus matematikos įrankis, leidžiantis modeliuoti, analizuoti ir prognozuoti pokyčius bei kaupinius daugelyje mokslo ir praktikos sričių. Net paprastas pinigų per dieną pavyzdys iš pirmo žvilgsnio iliustruoja dviejų dalių (pokytis ir suma) poreikį — tai ir yra skaičiavimo esmė.

Istorija

XVI a. septintajame ir aštuntajame dešimtmetyje seras Izaokas Niutonas Anglijoje ir Gotfrydas Leibnicas Vokietijoje tuo pačiu metu, dirbdami atskirai vienas nuo kito, sukūrė skaičiavimo sistemą. Niutonas norėjo turėti naują būdą, kaip numatyti, kur danguje galima pamatyti planetas, nes astronomija visada buvo populiari ir naudinga mokslo šaka, o žinoti daugiau apie naktinio dangaus objektų judėjimą buvo svarbu laivų navigacijai. Leibnicas norėjo išmatuoti erdvę (plotą) po kreive (linija, kuri nėra tiesi). Po daugelio metų abu vyrai ginčijosi, kuris pirmas atrado šią kreivę. Anglijos mokslininkai palaikė Niutoną, bet likusios Europos dalies mokslininkai palaikė Leibnicą. Dauguma matematikų šiandien sutinka, kad abiejų vyrų nuopelnai yra vienodi. Kai kurios šiuolaikinio skaičiavimo dalys, pavyzdžiui, jo panaudojimas fizikoje, atsirado iš Niutono. Kitos dalys, pavyzdžiui, simboliai, naudojami skaičiavimui užrašyti, yra Leibnico darbas.

Jie nebuvo pirmieji žmonės, kurie naudojo matematiką fiziniam pasauliui apibūdinti - Aristotelis ir Pitagoras tai darė anksčiau, taip pat ir Galileo Galilėjus, kuris teigė, kad matematika yra mokslo kalba. Tačiau ir Niutonas, ir Leibnicas pirmieji sukūrė sistemą, kuri aprašo, kaip daiktai keičiasi laikui bėgant, ir gali numatyti, kaip jie keisis ateityje.

Pavadinimas "calculus" lotyniškai reiškia mažą akmenėlį, kurį senovės romėnai naudojo skaičiuodami ir lošdami. Anglų kalbos žodis "calculate" kilęs iš to paties lotyniško žodžio.

Diferencialinis skaičiavimas

Diferencialinis skaičiavimas naudojamas kintamojo kitimo greičiui, palyginti su kitu kintamuoju, nustatyti.

Realiame pasaulyje jį galima naudoti norint nustatyti judančio objekto greitį arba suprasti, kaip veikia elektra ir magnetizmas. Tai labai svarbu norint suprasti fiziką ir daugelį kitų mokslo sričių.

Diferencialinis skaičiavimas taip pat naudingas grafiškai skaičiuojant. Juo galima rasti kreivės nuolydį ir aukščiausią bei žemiausią kreivės taškus (jie vadinami maksimumu ir minimumu).

Kintamieji gali keisti savo vertę. Tai skiriasi nuo skaičių, nes skaičiai visada yra vienodi. Pavyzdžiui, skaičius 1 visada lygus 1, o skaičius 200 visada lygus 200. Kintamuosius dažnai rašote raidėmis, pavyzdžiui, raide x. "X" viename taške gali būti lygus 1, o kitame - 200.

Keletas kintamųjų pavyzdžių yra atstumas ir laikas, nes jie gali kisti. Objekto greitis yra tai, kokį atstumą jis nuvažiuoja per tam tikrą laiką. Taigi, jei miestas yra už 80 kilometrų (50 mylių) ir žmogus automobiliu jį pasiekia per vieną valandą, jis nuvažiavo vidutiniu 80 kilometrų (50 mylių) per valandą greičiu. Tačiau tai tik vidurkis - galbūt vienu metu (greitkelyje) jie važiavo greičiau, o kitu metu (prie šviesoforo ar mažoje gatvėje, kurioje gyvena žmonės) - lėčiau. Įsivaizduokite vairuotoją, kuris bando nustatyti automobilio greitį naudodamasis tik jo odometru (atstumo matuokliu) ir laikrodžiu, be spidometro!

Kol nebuvo išrastas skaičiavimas, vienintelis būdas tai išsiaiškinti buvo supjaustyti laiką vis mažesnėmis dalimis, kad vidutinis greitis per mažesnį laiką vis labiau priartėtų prie tikrojo greičio tam tikru laiko momentu. Tai buvo labai ilgas ir sunkus procesas, kurį reikėjo atlikti kiekvieną kartą, kai žmonės norėjo ką nors išsiaiškinti.

Labai panašus uždavinys - rasti kreivės nuolydį (jos statumą) bet kuriame kreivės taške. Tiesiosios nuolydį lengva nustatyti - tai paprasčiausiai jos pakilimo (y arba vertikalės) ir skersinio (x arba horizontalės) santykis. Tačiau kreivės nuolydis yra kintamasis (skirtinguose taškuose turi skirtingas reikšmes), nes linija yra išlinkusi. Tačiau jei kreivę supjaustytume į labai, labai mažus gabalėlius, kreivė taške atrodytų beveik kaip labai trumpa tiesė. Taigi norint nustatyti jos nuolydį, per tašką galima nubrėžti tiesę, kurios nuolydis toks pat kaip kreivės tame taške. Jei tai padaryta tiksliai, tiesė bus tokio pat nuolydžio kaip kreivė ir vadinama liestine. Tačiau nėra jokio būdo sužinoti (be labai sudėtingų matematinių skaičiavimų), ar liestinė yra tiksliai teisinga, o mūsų akys nėra pakankamai tikslios, kad įsitikintume, ar ji tiksli, ar tiesiog labai artima.

Niutonas ir Leibnicas rado būdą, kaip tiksliai apskaičiuoti nuolydį (arba greitį atstumo atveju), taikant paprastas ir logiškas taisykles. Jie padalijo kreivę į begalinį skaičių labai mažų dalių. Tada jie pasirinko taškus abiejose juos dominančio intervalo pusėse ir kiekviename iš jų nustatė liestines. Taškams artėjant vienas prie kito link juos dominančio taško, nuolydis artėjo prie tam tikros vertės, nes liestinės artėjo prie tikrojo kreivės nuolydžio. Konkreti reikšmė, prie kurios ji priartėjo, ir buvo tikrasis nuolydis.

Tarkime, turime funkciją y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ . f yra trumpinys, reiškiantis funkciją, todėl ši lygtis reiškia "y yra x funkcija". Tai mums sako, kad y aukštis vertikalioje ašyje priklauso nuo to, koks tuo metu yra x (horizontalioje ašyje). Pavyzdžiui, pagal lygtį y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} $y=x^{2}$ žinome, kad jei x {\displaystyle x} yra 1, tai y {\displaystyle y} bus 1; jei x {\displaystyle x} yra 3, tai y {\displaystyle y} bus 9; jei x {\displaystyle x} yra 20, tai y {\displaystyle y} bus 400. Šiuo metodu gauta išvestinė yra x 2{\displaystyle 2x} $2x$ arba 2 padauginta iš x {\displaystyle x} . Taigi, nenubrėžę jokių liestinių, žinome, kad bet kuriame kreivės f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} taške $f(x)=x^{2}$ , išvestinė f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} f'(x) (pažymėta pirminiu simboliu), bet kuriame taške bus x 2{\displaystyle 2x} $2x$ . Šis nuolydžio nustatymo procesas naudojant ribas vadinamas diferencijavimu arba išvestinės radimu.

Matematiškai išvestinę galima užrašyti taip: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. } $f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Leibnicas priėjo prie to paties rezultato, bet pavadino h " d x {\displaystyle dx} $dx$ ", o tai reiškia "x atžvilgiu". Gautą f ( x ) pokytį jis pavadino {\displaystyle f(x)} f(x) " d y {\displaystyle dy} $dy$ ", t. y. "nedidelė y dalis". Leibnico užrašas naudojamas daugiau knygų, nes jį lengva suprasti, kai lygtys tampa sudėtingesnės. Leibnico užrašas: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)} ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Matematikai šią pagrindinę teoriją išplėtojo ir sukūrė paprastas algebros taisykles, kurias galima naudoti beveik bet kurios funkcijos išvestinei rasti.

Du skirtingi kreivės taškai turi skirtingus nuolydžius. Raudona ir mėlyna linijos yra kreivės liestinės.

Paveikslas, kuriame parodyta, ką kreivėje reiškia x ir x + h.

Integralinis skaičiavimas

Integralinis skaičiavimas - tai procesas, kurio metu apskaičiuojamas plotas po funkcijos grafiku. Pavyzdys - automobilio nuvažiuoto atstumo skaičiavimas: jei žinote automobilio greitį skirtingais laiko momentais ir nubraižėte šio greičio grafiką, tai automobilio nuvažiuotas atstumas bus plotas po grafiku.

Tai galima padaryti padalijus grafiką į daugybę labai mažų dalių ir po kiekviena dalimi nubrėžus labai plonus stačiakampius. Kai stačiakampiai tampa vis plonesni ir plonesni, stačiakampiai vis geriau uždengia plotą po grafiku. Stačiakampio plotą lengva apskaičiuoti, todėl galime apskaičiuoti bendrą visų stačiakampių plotą. Jei stačiakampiai plonesni, šio bendro ploto vertė artėja prie ploto po grafiku. Galutinė ploto reikšmė vadinama funkcijos integralu.

Matematikoje funkcijos f(x) integralas nuo a iki b užrašomas kaip ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ .

Integravimas - tai plotų radimas, kai duoti a, b ir y = f(x).

Plotą po kreive galime apytiksliai apskaičiuoti sudėdami daugelio stačiakampių, esančių po kreive, plotus. Kuo daugiau stačiakampių naudosime, tuo geriau aproksimuosime.

Pagrindinė skaičiavimo idėja

Pagrindinė skaičiavimo idėja vadinama pagrindine skaičiavimo teorema. Ši pagrindinė idėja teigia, kad du skaičiavimo procesai - diferencialinis ir integralinis skaičiavimas - yra priešingi. Tai reiškia, kad žmogus gali naudoti diferencialinį skaičiavimą, kad panaikintų integralinį skaičiavimo procesą. Be to, žmogus gali naudoti integralinį skaičiavimą, kad panaikintų diferencialinio skaičiavimo metodą. Tai lygiai taip pat, kaip ir dalybą naudojant daugybai "atšaukti" arba sudėties metodą atimčiai "atšaukti".

Pagrindinė teorema vienu sakiniu skamba maždaug taip: "Funkcijos f integralo išvestinė yra pati funkcija".

Kiti skaičiavimo būdai

Skaičiuotė naudojama kintantiems dalykams, pavyzdžiui, gamtoje, apibūdinti. Ji gali būti naudojama visiems šiems dalykams parodyti ir mokytis:

Kaip juda bangos. Bangos yra labai svarbios gamtos pasaulyje. Pavyzdžiui, garsą ir šviesą galima laikyti bangomis.
Ten, kur juda šiluma, pavyzdžiui, namuose. Tai naudinga architektūroje (statant namus), kad namo šildymas būtų kuo pigesnis.
Kaip veikia labai maži dalykai, pavyzdžiui, atomai.
Kaip greitai daiktas krenta, taip pat žinoma kaip gravitacija.
Kaip veikia mašinos, dar vadinama mechanika.
Mėnulio judėjimo aplink Žemę kelias. Taip pat Žemės judėjimo aplink Saulę ir bet kurios planetos ar mėnulio judėjimo aplink bet ką kosmose kelias.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra skaičiuotė?

A: Skaičiuotė yra matematikos šaka, kurioje aprašomi tolydūs pokyčiai.

K: Kiek yra skaičiuotės rūšių?

A: Yra dvi skirtingos skaičiuotės rūšys.

K: Ką daro diferencialinis skaičiavimas?

A: Diferencialinis skaičiavimas padalina daiktus į mažas dalis ir pasako, kaip jie keičiasi nuo vieno momento iki kito.

K: Ką daro integralinis skaičiavimas?

A: Integralinis skaičiavimas sujungia mažus gabalėlius ir parodo, kiek kas nors apskritai pasikeičia dėl tam tikrų pokyčių.

K: Kuriuose moksluose naudojama skaičiuotė?

A: Skaičiuoklė naudojama daugelyje įvairių mokslų, pavyzdžiui, fizikoje, astronomijoje, biologijoje, inžinerijoje, ekonomikoje, medicinoje ir sociologijoje.

K: Kuo diferencialinis skaičiavimas skiriasi nuo integralinio skaičiavimo?

A: Diferencialinis skaičiavimas diferencijuoja dalykus į mažas dalis ir pasako, kaip jie keičiasi, o integralinis skaičiavimas sujungia mažas dalis į visumą ir pasako, kiek ko nors iš viso yra padaryta.

K: Kodėl skaičiuotė svarbi daugelyje skirtingų mokslų?

A: Skaičiuotė svarbi daugelyje įvairių mokslų, nes padeda suprasti ir numatyti nuolatinį kitimą, kuris yra esminis daugelio gamtos reiškinių aspektas.