Antidiferencijavimas – neapibrėžtasis integralas: apibrėžimas ir pavyzdžiai
Antidiferencijavimas (neapibrėžtasis integralas): aiškus apibrėžimas, taisyklės, formulės ir žingsnis po žingsnio pavyzdžiai pradedantiesiems ir pažengusiems.
Antidiferencijavimas (dar vadinamas neapibrėžtuoju integravimu) yra matematikos šaka, kurios tikslas — rasti funkciją, kurios išvestinė yra duota funkcija. Kitaip tariant, tai procesas, priešingas diferencijavimui.
Apibrėžimas
Jei f(x) yra funkcija, tai funkcija F(x) vadinama antiderivacija (arba neapibrėžtasis integralas) funkcijos f, jeigu F'(x) = f(x) visiems x tam tikrame intervale. Neapibrėžtasis integralas žymimas taip:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
kur C — konstanta, vadinama integracijos konstanta. Ji reikalinga todėl, kad išvestinė konstanta panaikina, tad visos antiderivacijos, besiskiriančios tik konstanta, turi tą pačią išvestinę.
Pagrindinės savybės
- Linijiškumas: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, kur a ir b — konstantos.
- Galiai taikomas taisyklė: jeigu n ≠ −1, tada ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
- Specialūs atvejai: ∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C; ∫ e^x dx = e^x + C.
- Tradiciniai trigonometriniai integralai: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C.
- Patikrinimas: rasti antiderivaciją galima patikrinti diferenciavimu — išvestinė rasto F(x) turi būti f(x).
Kaip tai susiję su diferencialinėmis lygtimis ir dydžiu
Išvestinės, taip pat antrinės išvestinės, padeda aprašyti funkcijų elgesį ir dydį. Antidiferencijavimas dažnai naudojamas sprendžiant lygtys, ypač paprastas diferencialines lygtis: radus antiderivaciją gauname bendrą sprendinį, kuriame yra integracijos konstanta. Antidiferencijavimas suteikia rezultatą, vadinamą antiderivacija — tai formali funkcijos „priešingos“ išvestinei forma. Antidiferencijavimas yra glaudžiai susijęs su integravimu su ribomis — neapibrėžtasis integralas pateikia šeimą funkcijų, o apibrėžtasis integralas iš jų gali apskaičiuoti plotus ar kitas reikšmes.
Antiderivacija taip pat reiškia, kad sprendžiamoji funkcija gali būti naudojama kaip pradinis žingsnis sprendžiant sudėtingesnes užduotis, pavyzdžiui, taikant pakeitimo metodą (substituciją) arba dalinių integralų taisyklę.
Pavyzdžiai
Antiderivacija užrašoma taip: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} 
- 1) ∫ x dx. Taikome galios taisyklę su n = 1:
∫ x dx = ∫ x^1 dx = x^(1+1)/(1+1) + C = x^2/2 + C.
Patikriname: d/dx (x^2/2 + C) = x, taigi gerai.
- 2) ∫ x^3 dx:
∫ x^3 dx = x^4/4 + C.
- 3) ∫ 1/x dx:
∫ 1/x dx = ln|x| + C.
- 4) ∫ e^x dx:
∫ e^x dx = e^x + C.
- 5) ∫ cos x dx:
∫ cos x dx = sin x + C.
- 6) Pakeitimo pavyzdys: ∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx. Pažymime u = x^2 + 1, tada du = 2x dx:
∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx = ∫ u^3 du = u^4/4 + C = (x^2 + 1)^4/4 + C.
- 7) Dalinių integralų pavyzdys: ∫ x e^x dx. Taikome dalinius integravimus:
u = x, dv = e^x dx → du = dx, v = e^x. Taigi ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.
Pastabos
- Neapibrėžtasis integralas visada turi +C — be jos rezultatas būtų nevisiškas.
- Yra daug metodų antiderivacijai rasti: tiesioginės taisyklės (galios, trigonometrinės, eksponentinės), pakeitimas (substitucija), daliniai integralai, trigonometrinės transformacijos ir kt.
- Praktikoje svarbu atkreipti dėmesį į funkcijos sritį ir taškus, kuriuose funkcija nėra apibrėžta (pvz., x = 0 funkcijai 1/x), nes tai lemia logaritminius išraiškos sritis ir modulius.
Paprasta integracija
Integruoti a x n {\displaystyle ax^{n}} 
- Pridėkite 1 prie galybės n {\displaystyle n}
Taigi a x n {\displaystyle ax^{n}} dabar yra a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} 
- Padalykite visa tai iš naujos galios, taigi dabar tai yra a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}}
- Pridėkite konstantą c {\displaystyle c}
, todėl dabar tai yra a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} 
Tai galima parodyti taip:
∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}+c} 
Kai yra daug x {\displaystyle x} 
narių, kiekvieną dalį integruokite atskirai:
∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} 
(Tai veikia tik tuo atveju, jei dalys pridedamos arba atimamos.)
Pavyzdžiai
∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} 
∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} 
∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|kartai 1+c=\ln |x+4|+c} 
Pakeitus trupmenas ir šaknis į galias, tai padaryti lengviau:
∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}}\x=\int x^{-3}}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}+c} 
∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{{\frac {3}{2}} dx={{\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={{\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}}+c} 
Skliaustų integravimas ("grandininė taisyklė")
Jei norite integruoti tokį skliaustą kaip ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} 
, tai reikia daryti kitaip. Jis vadinamas grandinine taisykle. Ji panaši į paprastąjį integravimą. Ji veikia tik tada, kai x {\displaystyle x} skliausteliuose turi 1 galybę (yra tiesinis), pavyzdžiui, x {\displaystyle x} arba 5 x {\displaystyle 5x}. 
(ne x 5 {\displaystyle x^{5}} 
arba x - 7 {\displaystyle x^{-7}} 
).
Atlikti ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} 
- Pridėkite 1 prie galybės 3 {\displaystyle 3}
, kad dabar būtų ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}. 
- Visa tai padalykite iš naujos galios ir gausite ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}
- Visa tai padalykite iš skliaustų išvestinės ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}
kad gautume ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}} 
- Pridėkite pastoviąją c {\displaystyle c}, kad gautumėte 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}
Pavyzdžiai
∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={{\frac {(x+1)^{6}}{6 kartų 1}}}+c={{\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(nes {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} } 
∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} } 
Susiję puslapiai
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra antidiferenciacija?
A: Antidiferencijavimas (dar vadinamas neapibrėžtuoju integravimu) - tai tam tikros funkcijos radimo procesas skaičiavimuose. Jis yra priešingas diferencijavimui ir apima funkcijos apdorojimą, kad gautume kitą funkciją (arba funkcijų klasę), vadinamą antidiferencialu.
Klausimas: Kaip ji vaizduojama?
A: Kai antiderivatyvos vaizduojamos atskiromis raidėmis, jos dažnai turi didžiųjų romėniškų raidžių pavidalą, pavyzdžiui, F ir G. Apskritai antiderivatyva užrašoma pavidalu ∫f(x) dx.
Klausimas: Ką apima antidiferencijavimas?
A: Antidiferencijavimas apima funkcijos apdorojimą, kai gaunama kita funkcija (arba funkcijų klasė), vadinama antiderivacija.
K: Kuo ji skiriasi nuo integravimo?
A: Antidiferencijavimas skiriasi nuo integravimo tuo, kad jis neapima ribų, todėl jis vadinamas neapibrėžtuoju integravimu.
K: Kokie yra keli pavyzdžiai, kaip galima išreikšti antidiferencijavimą?
A: Antidiferencijavimo išraiškos pavyzdžiai yra tokie: F ir G, kai jie vaizduojami atskiromis raidėmis, arba ∫f(x) dx, kai užrašomi bendrąja forma.
Ieškoti