Antidiferencijavimas (dar vadinamas neapibrėžtuoju integravimu) yra matematikos šaka, kurios tikslas — rasti funkciją, kurios išvestinė yra duota funkcija. Kitaip tariant, tai procesas, priešingas diferencijavimui.
Apibrėžimas
Jei f(x) yra funkcija, tai funkcija F(x) vadinama antiderivacija (arba neapibrėžtasis integralas) funkcijos f, jeigu F'(x) = f(x) visiems x tam tikrame intervale. Neapibrėžtasis integralas žymimas taip:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
kur C — konstanta, vadinama integracijos konstanta. Ji reikalinga todėl, kad išvestinė konstanta panaikina, tad visos antiderivacijos, besiskiriančios tik konstanta, turi tą pačią išvestinę.
Pagrindinės savybės
- Linijiškumas: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, kur a ir b — konstantos.
- Galiai taikomas taisyklė: jeigu n ≠ −1, tada ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
- Specialūs atvejai: ∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C; ∫ e^x dx = e^x + C.
- Tradiciniai trigonometriniai integralai: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C.
- Patikrinimas: rasti antiderivaciją galima patikrinti diferenciavimu — išvestinė rasto F(x) turi būti f(x).
Kaip tai susiję su diferencialinėmis lygtimis ir dydžiu
Išvestinės, taip pat antrinės išvestinės, padeda aprašyti funkcijų elgesį ir dydį. Antidiferencijavimas dažnai naudojamas sprendžiant lygtys, ypač paprastas diferencialines lygtis: radus antiderivaciją gauname bendrą sprendinį, kuriame yra integracijos konstanta. Antidiferencijavimas suteikia rezultatą, vadinamą antiderivacija — tai formali funkcijos „priešingos“ išvestinei forma. Antidiferencijavimas yra glaudžiai susijęs su integravimu su ribomis — neapibrėžtasis integralas pateikia šeimą funkcijų, o apibrėžtasis integralas iš jų gali apskaičiuoti plotus ar kitas reikšmes.
Antiderivacija taip pat reiškia, kad sprendžiamoji funkcija gali būti naudojama kaip pradinis žingsnis sprendžiant sudėtingesnes užduotis, pavyzdžiui, taikant pakeitimo metodą (substituciją) arba dalinių integralų taisyklę.
Pavyzdžiai
Antiderivacija užrašoma taip: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} 
- 1) ∫ x dx. Taikome galios taisyklę su n = 1:
∫ x dx = ∫ x^1 dx = x^(1+1)/(1+1) + C = x^2/2 + C.
Patikriname: d/dx (x^2/2 + C) = x, taigi gerai.
- 2) ∫ x^3 dx:
∫ x^3 dx = x^4/4 + C.
- 3) ∫ 1/x dx:
∫ 1/x dx = ln|x| + C.
- 4) ∫ e^x dx:
∫ e^x dx = e^x + C.
- 5) ∫ cos x dx:
∫ cos x dx = sin x + C.
- 6) Pakeitimo pavyzdys: ∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx. Pažymime u = x^2 + 1, tada du = 2x dx:
∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx = ∫ u^3 du = u^4/4 + C = (x^2 + 1)^4/4 + C.
- 7) Dalinių integralų pavyzdys: ∫ x e^x dx. Taikome dalinius integravimus:
u = x, dv = e^x dx → du = dx, v = e^x. Taigi ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.
Pastabos
- Neapibrėžtasis integralas visada turi +C — be jos rezultatas būtų nevisiškas.
- Yra daug metodų antiderivacijai rasti: tiesioginės taisyklės (galios, trigonometrinės, eksponentinės), pakeitimas (substitucija), daliniai integralai, trigonometrinės transformacijos ir kt.
- Praktikoje svarbu atkreipti dėmesį į funkcijos sritį ir taškus, kuriuose funkcija nėra apibrėžta (pvz., x = 0 funkcijai 1/x), nes tai lemia logaritminius išraiškos sritis ir modulius.
