Pirmykštė funkcija

Antidiferencijavimas (dar vadinamas neapibrėžtuoju integravimu) yra matematikos dalykas. Jis yra priešingas diferencijavimui.

Antrinės išvestinės išvestinės gali bendrais bruožais pasakyti apie dydį. Antidiferencialai atliekami su tokiais dalykais kaip lygtys. Antidiferencijavimas suteikia jums dalyką, vadinamą antiderivacija. Antiderivacija yra dar viena lygties rūšis. Antidiferencijavimas yra kaip integravimas su ribomis, bet be ribų. Todėl jis vadinamas neapibrėžtuoju.

Antiderivacija užrašoma taip: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Paprasta integracija

Integruoti a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Pridėkite 1 prie galybės n {\displaystyle n} nTaigi a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}dabar yra a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Padalykite visa tai iš naujos galios, taigi dabar tai yra a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Pridėkite konstantą c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , todėl dabar tai yra a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Tai galima parodyti taip:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Kai yra daug x {\displaystyle x} xnarių, kiekvieną dalį integruokite atskirai:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Tai veikia tik tuo atveju, jei dalys pridedamos arba atimamos.)

Pavyzdžiai

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|kartai 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Pakeitus trupmenas ir šaknis į galias, tai padaryti lengviau:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}}\x=\int x^{-3}}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{{\frac {3}{2}} dx={{\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}+c={{\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Skliaustų integravimas ("grandininė taisyklė")

Jei norite integruoti tokį skliaustą kaip ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}, tai reikia daryti kitaip. Jis vadinamas grandinine taisykle. Ji panaši į paprastąjį integravimą. Ji veikia tik tada, kai x {\displaystyle x} xskliausteliuose turi 1 galybę (yra tiesinis), pavyzdžiui, x {\displaystyle x} xarba 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(ne x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}arba x - 7 {\displaystyle x^{-7}} {\displaystyle x^{-7}}).

Atlikti ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Pridėkite 1 prie galybės 3 {\displaystyle 3} {\displaystyle 3}, kad dabar būtų ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}. {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Visa tai padalykite iš naujos galios ir gausite ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Visa tai padalykite iš skliaustų išvestinės ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}kad gautume ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Pridėkite pastoviąją c {\displaystyle c}{\displaystyle c}, kad gautumėte 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Pavyzdžiai

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={{\frac {(x+1)^{6}}{6 kartų 1}}}+c={{\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(nes {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} } {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} } {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Susiję puslapiai

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra antidiferenciacija?


A: Antidiferencijavimas (dar vadinamas neapibrėžtuoju integravimu) - tai tam tikros funkcijos radimo procesas skaičiavimuose. Jis yra priešingas diferencijavimui ir apima funkcijos apdorojimą, kad gautume kitą funkciją (arba funkcijų klasę), vadinamą antidiferencialu.

Klausimas: Kaip ji vaizduojama?


A: Kai antiderivatyvos vaizduojamos atskiromis raidėmis, jos dažnai turi didžiųjų romėniškų raidžių pavidalą, pavyzdžiui, F ir G. Apskritai antiderivatyva užrašoma pavidalu ∫f(x) dx.

Klausimas: Ką apima antidiferencijavimas?


A: Antidiferencijavimas apima funkcijos apdorojimą, kai gaunama kita funkcija (arba funkcijų klasė), vadinama antiderivacija.

K: Kuo ji skiriasi nuo integravimo?


A: Antidiferencijavimas skiriasi nuo integravimo tuo, kad jis neapima ribų, todėl jis vadinamas neapibrėžtuoju integravimu.

K: Kokie yra keli pavyzdžiai, kaip galima išreikšti antidiferencijavimą?


A: Antidiferencijavimo išraiškos pavyzdžiai yra tokie: F ir G, kai jie vaizduojami atskiromis raidėmis, arba ∫f(x) dx, kai užrašomi bendrąja forma.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3