Kėlimas laipsniu

Eksponentizacija (galia) yra aritmetinis veiksmas su skaičiais. Tai kartotinė daugyba, kaip ir daugyba yra kartotinė sudėtis. Eksponentavimą žmonės rašo su viršutine rodykle. Tai atrodo taip: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Anksčiau buvo naudojami ir kiti matematinio užrašymo būdai. Kai rašoma su įranga, kurioje negalima naudoti viršutinės rodyklės, žmonės rašė galias naudodami ^ arba ** ženklus, todėl 2^3 arba 2**3 reiškia 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Skaičius x {\displaystyle x} vadinamas pagrindu, o skaičius y {\displaystyle y} - eksponentu. Pavyzdžiui, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ 2 yra pagrindas, o 3 - eksponentė.

Norint apskaičiuoti 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ , reikia skaičių 2 padauginti iš savęs 3 kartus. Taigi 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Rezultatas yra 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Lygtį galima garsiai perskaityti taip: 2, padidintas iki 3 galybės, yra lygus 8.

Pavyzdžiai:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ kiekvienam skaičiui x

Jei eksponentas lygus 2, tuomet galia vadinama kvadratu, nes kvadrato plotas apskaičiuojamas naudojant 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Taigi

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ yra x kvadratas {\displaystyle x}

Jei eksponentas lygus 3, tuomet galia vadinama kubu, nes kubo tūris apskaičiuojamas naudojant 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Taigi

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ yra x kubas {\displaystyle x}

Jei eksponentas lygus -1, asmuo turi apskaičiuoti bazės atvirkštinę reikšmę. Taigi

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Jei eksponentas yra sveikasis skaičius ir yra mažesnis už 0, asmuo turi invertuoti skaičių ir apskaičiuoti galingumą. Pavyzdžiui:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Jei eksponentas lygus 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , tuomet eksponentavimo rezultatas yra kvadratinė šaknis iš bazės. Taigi x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Pavyzdys:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Panašiai, jei eksponentas yra 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , rezultatas yra n-toji šaknis, taigi:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jei eksponentas yra racionalusis skaičius p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ tada rezultatas yra bazės q-oji šaknis, pakelta iki p galybės, taigi:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponentas gali būti net ne racionalus. Norint pakelti pagrindą a iki iracionaliosios x-osios galybės, naudojama begalinė racionaliųjų skaičių seka (xi), kurios riba yra x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

panašiai:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Yra keletas taisyklių, padedančių apskaičiuoti galias:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Galima apskaičiuoti matricų eksponentavimą. Matrica turi būti kvadratinė. Pavyzdžiui: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutatyvumas

Ir sudėtis, ir daugyba yra komutatyvinės. Pavyzdžiui, 2+3 yra tas pats, kas 3+2, o 2 - 3 yra tas pats, kas 3 - 2. Nors daugyba yra kartotinė daugyba, ji nėra komutacinė. Pavyzdžiui, 2³=8, bet 3²=9.

Atvirkštinės operacijos

Sudėtis turi vieną atvirkštinį veiksmą - atimtį. Daugyba taip pat turi vieną atvirkštinį veiksmą - dalybą.

Tačiau eksponentavimas turi dvi atvirkštines operacijas: šaknis ir logaritmas. Taip yra todėl, kad eksponentavimas nėra komutatyvus. Tuo galite įsitikinti šiame pavyzdyje:

Jei x+2=3, atimties metodu galite sužinoti, kad x=3-2. Tas pats pasakytina ir apie 2+x=3: taip pat gausite x=3-2. Taip yra todėl, kad x+2 yra tas pats, kas 2+x.
Jei turite x - 2=3, tai dalybos metodu galite sužinoti, kad x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Tas pats yra, jei 2 - x=3: taip pat gausite x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Taip yra todėl, kad x - 2 yra tas pats, kas 2 - x
Jei turite x²=3, tada, norėdami sužinoti x, naudokite (kvadratinę) šaknį: Gausite rezultatą x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Tačiau jei ^2x=3, tada šaknies šaknies naudoti negalite, kad sužinotumėte x. Veikiau turite naudoti (dvejetainį) logaritmą, kad sužinotumėte x: Gaunamas rezultatas x=log2(3).

Susiję puslapiai

Komponentas

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra eksponentavimas?

A: Eksponentizacija yra aritmetinis veiksmas su skaičiais, kurį galima suprasti kaip kartotinę daugybą.

K: Kaip užrašomas eksponentavimas?

A: Paprastai eksponentavimas užrašomas kaip x^y, kur x yra pagrindas, o y - eksponentas. Jį taip pat galima užrašyti naudojant ^ arba ** ženklus, pavyzdžiui, 2^4 arba 2**4.

K: Kokie yra eksponentavimo pavyzdžiai?

Atsakymas: Eksponentiškumo pavyzdžiai: 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 kiekvienam skaičiui x; ir 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

K: Ką reiškia, kai eksponentas lygus -1?

Atsakymas: Kai eksponentas lygus -1, tuomet galingumas yra tiesiog bazės atvirkštinis dydis (x^(-1) = 1/x).

K: Kaip apskaičiuoti iracionalią bazės galybę?

Atsakymas: Norint pakelti pagrindą a iki iracionaliosios x-osios galybės, naudojame begalinę racionaliųjų skaičių seką (xn), kurios riba yra x (a^x = lim n-> begalybė a^(x_n)).

Klausimas: Ar yra taisyklių, kurios palengvina eksponentų skaičiavimą?

A: Taip, yra keletas taisyklių, kurios palengvina eksponentų skaičiavimą. Tai (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); ir t. t.