Skaičiaus r n-oji šaknis - tai skaičius, kurį n kartų padauginus iš savęs, gaunamas skaičius r. Jis taip pat vadinamas radikalu arba radikalo išraiška. Galima sakyti, kad tai skaičius k, kuriam ši lygtis yra teisinga:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} {\displaystyle k^{n}=r}

(k n {\displaystyle k^{n}}{\displaystyle k^{n}} reikšmę skaitykite straipsnyje Eksponentiškumas.)

Rašome taip: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. Jei n yra 2, tai radikalo išraiška yra kvadratinė šaknis. Jei n yra 3, tai yra kubinė šaknis.

Pagrindinės sąvokos ir pastabos

  • Radicandas – skaičius po šaknies ženklo (pvz., skaičius r aukščiau). Originaliame pavyzdyje 8 vadinamas radicandu.
  • Indeksas – šaknis nurodantis skaičius (pvz., 3 kubinei šakninei).
  • Radikalo ženklo arba radikalo simbolio dalis – pats šaknies simbolis (√ arba su indeksu).
  • Pagrindinė (prinicipinė) realioji šaknis: kai kalbame apie realiąją šaknį (pvz., √), paprastai reiškiame neigiamų galimų reikšmių neimame: √(4)=2 (ne −2). Dėl to pvz., √(a^2)=|a|, o ne tiesiog a.

Pavyzdžiai

Pavyzdžiui, 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}nes 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}{\displaystyle 2^{3}=8}.

Kiti pavyzdžiai:

  • √(50) = 5√2 (išskiriame kvadratinę dalį: 50 = 25·2, √25 = 5).
  • √[3]{-8} = -2 (kubinė šaknis iš neigiamos reikšmės egzistuoja: (-2)^3 = -8).
  • √[4]{16} = 2 (nes 2^4 = 16; jei indėksas lygus 4, galimos ir kitos kompleksinės šaknys, bet pagrindinė realioji yra 2).
  • √(a^2) = |a| — svarbi formulė, įrodanti, kad kvadratinė šaknis grąžina neigiamą arba teigiamą vertę pagal a modulį.

Šaknies ir laipsnių ryšys

Radinius ir galias galima keisti taip, kaip parodyta x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

Pastabos:

  • Formulė √[b]{x^a} = x^{a/b} leidžia paversti radikalą į laipsnį su trupmeniniu eksponentu. Vis dėlto, kai x yra neigiamas ir trupmeninis eksponentas turi nenatūralų vardiklį (pvz., netinkamas, kai b yra lyginis), gali kilti problemų su realiųjų reikšmių apibrėžtimi.
  • Jei n yra lyginis (pvz., 2, 4, ...), tai √[n]{x^n} = |x| (pagrindinė realioji šaknis). Jei n yra nelyginis, tada √[n]{x^n} = x (nereikia moduliu).

Radikalų savybės (su sąlygomis)

Radikaliosios išraiškos sandaugos savybė parodyta a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}.

Radikaliosios išraiškos kvantiento savybė parodyta taip: a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.

Šių savybių taikymo sąlygos (ypač, kai dirbama su pagrindinėmis realiosiomis šaknimis):

  • Formulės √(ab) = √a · √b ir √(a/b) = √a / √b galioja, kai a ≥ 0 ir b > 0 (t. y. kai imamės pagrindinių realiųjų šaknų ir radicandai yra neigiami nedalyvauja).
  • Jei vienas iš radicandų yra neigiamas ir indeksas yra lyginis, pagrindinė realioji šaknis neegzistuoja (reikėtų pereiti į kompleksinius skaičius arba panaudoti nelygines šaknis, jei tai leidžiama).

Naudingi aiškinimai ir užuominos

  • Racionalių eksponentų taisyklės leidžia lengviau manipuliuoti: pvz., (x^{m})^{n} = x^{mn}, todėl ir (x^{a})^{1/b} = x^{a/b}.
  • Racionalizuoti vardiklį: norint atsikratyti šaknies vardiklyje, dauginame tiek iš tinkamos šaknies formos, tiek iš jos, kad gautume laipsnį be šaknies. Pavyzdžiui, 1/√2 = √2/2. Sudėtingesniais atvejais (pvz., ∛) reikia dauginti tokiu keliu, kad vardiklis taptų racionaliu laipsniu.
  • Kompleksinės šaknys: kiekvienam kompleksiniam skaičiui r yra n skirtingų n-tųjų šaknų kompleksiškai; realiojoje srityje neturime realių šaknų, jei radicandas yra neigiamas ir indeksas yra lyginis.

Kaip supaprastinti radikalus – keli patarimai

  • Išskirkite kvadratines (ar kitas laipsnines) dalis: raskite didžiausią laipsninę dalį, kurią galima iškelti iš radicando (pvz., √72 = √(36·2) = 6√2).
  • Naudokite laipsnių ir radikalų konvertavimą į trupmeninius eksponentus, jei reikia sudėtingesnių algebrai veiksmų.
  • Atkreipkite dėmesį į ženklus: kvadratinė šaknis grąžina neigiamą reikšmę tik per modulius (√(a^2)=|a|), o kubinė ar kita nelyginė šaknis iš neigiamo radicando gali būti neigiama.

Santrauka

n-oji šaknis (radikalas) yra nuolatinė dalis algebroje ir analizėje: ji susijusi su laipsniais, turi aiškius apibrėžimus, savybes ir taikymo sritis. Dirbant su šaknimis, svarbu atsiminti pagrindines sąlygas (kai radicandas ≥ 0 realiųjų šaknų atveju), skirtumą tarp pagrindinės realiosios šaknies ir kitų šaknų bei taisykles, kaip radikalus keičiame į trupmeninius eksponentus ir atvirkščiai.