n-oji šaknis (radikalas) — apibrėžimas, pavyzdžiai ir savybės

Sužinokite n-ąją šaknį: aiškus apibrėžimas, pavyzdžiai, savybės ir formulės (kvadratinė, kubinė, radikalo taisyklės) – lengvai suprantamai.

Autorius: Leandro Alegsa

06-01-2026 22:30

Skaičiaus r n-oji šaknis - tai skaičius, kurį n kartų padauginus iš savęs, gaunamas skaičius r. Jis taip pat vadinamas radikalu arba radikalo išraiška. Galima sakyti, kad tai skaičius k, kuriam ši lygtis yra teisinga:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

(k n {\displaystyle k^{n}} $k^{n}$ reikšmę skaitykite straipsnyje Eksponentiškumas.)

Rašome taip: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Jei n yra 2, tai radikalo išraiška yra kvadratinė šaknis. Jei n yra 3, tai yra kubinė šaknis.

Pagrindinės sąvokos ir pastabos

Radicandas – skaičius po šaknies ženklo (pvz., skaičius r aukščiau). Originaliame pavyzdyje 8 vadinamas radicandu.
Indeksas – šaknis nurodantis skaičius (pvz., 3 kubinei šakninei).
Radikalo ženklo arba radikalo simbolio dalis – pats šaknies simbolis (√ arba su indeksu).
Pagrindinė (prinicipinė) realioji šaknis: kai kalbame apie realiąją šaknį (pvz., √), paprastai reiškiame neigiamų galimų reikšmių neimame: √(4)=2 (ne −2). Dėl to pvz., √(a^2)=|a|, o ne tiesiog a.

Pavyzdžiai

Pavyzdžiui, 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ nes 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ .

Kiti pavyzdžiai:

√(50) = 5√2 (išskiriame kvadratinę dalį: 50 = 25·2, √25 = 5).
√[3]{-8} = -2 (kubinė šaknis iš neigiamos reikšmės egzistuoja: (-2)^3 = -8).
√[4]{16} = 2 (nes 2^4 = 16; jei indėksas lygus 4, galimos ir kitos kompleksinės šaknys, bet pagrindinė realioji yra 2).
√(a^2) = |a| — svarbi formulė, įrodanti, kad kvadratinė šaknis grąžina neigiamą arba teigiamą vertę pagal a modulį.

Šaknies ir laipsnių ryšys

Radinius ir galias galima keisti taip, kaip parodyta x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Pastabos:

Formulė √[b]{x^a} = x^{a/b} leidžia paversti radikalą į laipsnį su trupmeniniu eksponentu. Vis dėlto, kai x yra neigiamas ir trupmeninis eksponentas turi nenatūralų vardiklį (pvz., netinkamas, kai b yra lyginis), gali kilti problemų su realiųjų reikšmių apibrėžtimi.
Jei n yra lyginis (pvz., 2, 4, ...), tai √[n]{x^n} = |x| (pagrindinė realioji šaknis). Jei n yra nelyginis, tada √[n]{x^n} = x (nereikia moduliu).

Radikalų savybės (su sąlygomis)

Radikaliosios išraiškos sandaugos savybė parodyta a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

Radikaliosios išraiškos kvantiento savybė parodyta taip: a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Šių savybių taikymo sąlygos (ypač, kai dirbama su pagrindinėmis realiosiomis šaknimis):

Formulės √(ab) = √a · √b ir √(a/b) = √a / √b galioja, kai a ≥ 0 ir b > 0 (t. y. kai imamės pagrindinių realiųjų šaknų ir radicandai yra neigiami nedalyvauja).
Jei vienas iš radicandų yra neigiamas ir indeksas yra lyginis, pagrindinė realioji šaknis neegzistuoja (reikėtų pereiti į kompleksinius skaičius arba panaudoti nelygines šaknis, jei tai leidžiama).

Naudingi aiškinimai ir užuominos

Racionalių eksponentų taisyklės leidžia lengviau manipuliuoti: pvz., (x^{m})^{n} = x^{mn}, todėl ir (x^{a})^{1/b} = x^{a/b}.
Racionalizuoti vardiklį: norint atsikratyti šaknies vardiklyje, dauginame tiek iš tinkamos šaknies formos, tiek iš jos, kad gautume laipsnį be šaknies. Pavyzdžiui, 1/√2 = √2/2. Sudėtingesniais atvejais (pvz., ∛) reikia dauginti tokiu keliu, kad vardiklis taptų racionaliu laipsniu.
Kompleksinės šaknys: kiekvienam kompleksiniam skaičiui r yra n skirtingų n-tųjų šaknų kompleksiškai; realiojoje srityje neturime realių šaknų, jei radicandas yra neigiamas ir indeksas yra lyginis.

Kaip supaprastinti radikalus – keli patarimai

Išskirkite kvadratines (ar kitas laipsnines) dalis: raskite didžiausią laipsninę dalį, kurią galima iškelti iš radicando (pvz., √72 = √(36·2) = 6√2).
Naudokite laipsnių ir radikalų konvertavimą į trupmeninius eksponentus, jei reikia sudėtingesnių algebrai veiksmų.
Atkreipkite dėmesį į ženklus: kvadratinė šaknis grąžina neigiamą reikšmę tik per modulius (√(a^2)=|a|), o kubinė ar kita nelyginė šaknis iš neigiamo radicando gali būti neigiama.

Santrauka

n-oji šaknis (radikalas) yra nuolatinė dalis algebroje ir analizėje: ji susijusi su laipsniais, turi aiškius apibrėžimus, savybes ir taikymo sritis. Dirbant su šaknimis, svarbu atsiminti pagrindines sąlygas (kai radicandas ≥ 0 realiųjų šaknų atveju), skirtumą tarp pagrindinės realiosios šaknies ir kitų šaknų bei taisykles, kaip radikalus keičiame į trupmeninius eksponentus ir atvirkščiai.

Tai yra y = x 3 {\displaystyle y={{\sqrt[{3}]{x}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Tai kubo šaknis.

Tai y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} grafikas $y={\sqrt {x}}$ . Tai kvadratinė šaknis.

Supaprastinimas

Tai pavyzdys, kaip supaprastinti radikalą.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Jei du radikalai yra vienodi, juos galima sujungti. Taip yra tada, kai abu indeksai ir radikandai yra vienodi.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Taip rasite tobuląjį kvadratą ir racionalizuosite vardiklį.

8 x x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x x {\displaystyle {\frac {8x}{{{\sqrt {x}}^{3}}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={{\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}} kartus {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{{\sqrt {x}}}^{2}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}}{x}}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Susiję puslapiai

Racionalizacija (matematika)

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra n-toji šaknis?

A: Skaičiaus r n-oji šaknis yra skaičius, kurį padauginus iš savęs n kartų, gaunamas skaičius r.

K: Kaip užrašoma n-toji šaknis?

A: Skaičiaus r n-oji šaknis užrašoma kaip r^(1/n).

K: Kokie yra šaknų pavyzdžiai?

A: Jei indeksas (n) yra 2, tai radikalo išraiška yra kvadratinė šaknis. Jei jis lygus 3, tai yra kubinė šaknis. Kitos n reikšmės nurodomos naudojant eilės numerius, pavyzdžiui, ketvirtoji šaknis ir dešimtoji šaknis.

Klausimas: Ką nurodo radikaliosios išraiškos sandaugos savybė?

A: Radikaliosios išraiškos sandaugos savybė teigia, kad sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

Klausimas: Ką teigia radikaliosios išraiškos kotiruojamoji savybė?

A: Radikaliosios išraiškos koeficientinė savybė teigia, kad sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), kur b != 0.

K: Kokie dar terminai gali būti vartojami n-ajai šakniai įvardyti?

A: N-oji šaknis taip pat gali būti vadinama radikale arba radikalia išraiška.

Ieškoti