AlegsaOnline.com

Kvadratinis skaičius: apibrėžimas, pavyzdžiai ir savybės

Sužinokite, kas yra kvadratinis skaičius: aiškus apibrėžimas, pavyzdžiai (1, 4, 9...) ir svarbiausios savybės bei taikymai matematikoje.

Autorius: Leandro Alegsa

29-01-2026

Kvadratinis skaičius, kartais dar vadinamas tobuluoju kvadratu, yra sveikojo skaičiaus, padauginto iš savęs paties, rezultatas. Pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16 ir 25 yra pirmieji penki kvadratiniai skaičiai. Formulėje skaičiaus n kvadratas žymimas $n 2$ (eksponentas), paprastai tariamas kaip "n kvadratas". Pavadinimas kilo iš geometrijos: tokio skaičiaus vienetai gali būti išdėstyti kaip kvadratas (vienodo ilgio kraštai).

Kvadratiniai skaičiai yra neneigiami: 0, 1, 4, 9, ... (0 taip pat yra kvadratas, nes 0 = 0·0). Negyvi sveikieji skaičiai, pavyzdžiui −3, taip pat duoda kvadratinį skaičių, nes (−3)·(−3) = 9. Kitas būdas pasakyti, kad skaičius yra kvadratinis — jo kvadratinė šaknis yra sveikasis skaičius (pvz., √9 = 3, todėl 9 yra kvadratinis skaičius).

Pavyzdžiai

Pirmieji kvadratiniai skaičiai: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Keletas didesnių: 121 (11²), 144 (12²), 169 (13²), 400 (20²), 1024 (32²).
Kiekvienas kvadratinis skaičius gaunamas iš sveikojo n pagal taisyklę $n 2$ (pvz., 7² = 49).

Savybės ir formulės

Skaičių skirtumai: skirtumas tarp dviejų gretimų kvadratų visada yra nelyginis skaičius: (n+1)² − n² = 2n + 1. Todėl seka skirtumų duoda visus nelyginius skaičius iš eilės.
Suma iš pirmųjų n kvadratų: 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Pavyzdžiui, 1²+2²+3²+4²+5² = 55.
Pirminės faktorizacijos pavyzdys: teigiamas sveikasis skaičius yra kvadratas tada ir tik tada, kai jo pirminių dauginamųjų vardiklio laipsniai yra visi lyginiai. Pvz., 36 = 2²·3² — abu eksponentai lyginiai.
Paskutiniai skaitmenys (dešimtainėje sistemoje): kvadratai gali baigtis tik skaitmenimis 0, 1, 4, 5, 6 arba 9. Tai naudinga greitai atmesti, kad skaičius negali būti kvadratas.
Modulinės savybės: bet kuris sveikasis kvadratas mod 4 yra 0 arba 1; mod 3 — 0 arba 1. Tokie moduliniai apribojimai padeda spręsti uždavinius ar įrodyti, kad tam tikri lygties sprendiniai neegzistuoja.
Geometrinė reikšmė: kvadratinis skaičius atspindi kvadrato ploto idėją: n² yra kvadrato, turinčio kraštinę n (vienetais), plotas. Dėl to figūrinės reprezentacijos (pvz., taškų lentelėje) aišku, kodėl šie skaičiai vadinami kvadratiniais.

Kaip atpažinti ir naudoti kvadratinius skaičius

Greitas patikrinimas: jei skaičiaus dešimtainis galas nėra 0,1,4,5,6 arba 9 — jis negali būti kvadratas.
Pilnas patikrinimas: išskaidžius skaičių į pirminius daugiklius, patikrinkite, ar visi eksponentai yra lyginiai.
Taikymai: kvadratiniai skaičiai ir kvadratinės šaknys dažnai naudojami geometrijoje (plotai), Pitagoro teoremoje (Pitagoro trejetai), algoritmuose, kriptografijoje ir kombinatorikoje (pvz., kvadratiniai tinklai, mozaikos, žaidimų lentos formatai).

Įdomybės

Sumos nuo 1 iki n imituoja kvadratą: n² yra lygi 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) (t. y. n kvadratą sudaro n pirmųjų nelyginių skaičių suma).
Kvadratiniai skaičiai turi simetriją: (−n)² = n², todėl kvadratai priklauso tiek teigiamoms, tiek neigiamoms šaknims, bet pats kvadratas lieka neneigiamas.

Kvadratiniai skaičiai — tai paprasta, bet labai naudinga skaičių klasė, turinti daug geometrinių ir aritmetinių savybių. Jie yra pagrindas daugeliui teorinių rezultatų ir praktinių pritaikymų matematikos bei inžinerijos srityse.

Pavyzdžiai

Kvadratai (seka A000290 OEIS), mažesni nei 70² , yra šie:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Kvadratinių skaičių yra be galo daug, kaip ir be galo daug natūraliųjų skaičių.

Savybės

Skaičius m yra kvadratinis skaičius tada ir tik tada, kai galima sudaryti kvadratą iš m vienodų (mažesnių) kvadratų:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Pastaba: balti tarpai tarp kvadratų skirti tik vizualiniam suvokimui pagerinti. Tarp tikrųjų kvadratų neturi būti jokių tarpų.

Kvadrato, kurio kraštinės ilgis n, plotas $n 2$ .

N-tojo kvadratinio skaičiaus išraiška yra n² . Jis taip pat lygus pirmųjų n n nelyginių skaičių sumai, kaip matyti iš pirmiau pateiktų paveikslėlių, kuriuose kvadratas gaunamas iš ankstesnio kvadrato sudėjus nelyginį taškų skaičių (pažymėta purpurine spalva). Toliau pateikiama formulė:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

$Pavyzdžiui, 5 2 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Kvadratinis skaičius gali baigtis tik skaitmenimis 0, 1, 4, 6, 9 arba 25 (pagrindas 10), kaip nurodyta toliau:

Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 0, jo kvadratas baigiasi lyginiu skaičiumi 0 (t. y. bent 00), o skaitmenys, esantys prieš 0, taip pat turi sudaryti kvadratą.
Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 1 arba 9, jo kvadratas baigiasi skaičiumi 1, o skaičius, sudarytas iš ankstesnių skaitmenų, turi dalytis iš keturių.
Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 2 arba 8, jo kvadratas baigiasi skaičiumi 4, o prieš tai esantis skaitmuo turi būti lyginis.
Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 3 arba 7, jo kvadratas baigiasi skaičiumi 9, o skaičius, sudarytas iš ankstesnių skaitmenų, turi dalytis iš keturių.
Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 4 arba 6, jo kvadratas baigiasi skaičiumi 6, o prieš tai esantis skaitmuo turi būti nelyginis.
Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 5, jo kvadratas baigiasi skaičiumi 25, o prieš tai esantys skaitmenys turi būti 0, 2, 06 arba 56.

Kvadratinis skaičius negali būti tobulas skaičius.

Visos ketvirtosios, šeštosios, aštuntosios ir t. t. galios yra tobulieji kvadratai.

Specialūs atvejai

Jei skaičius yra m5 formos, kur m reiškia prieš tai esančius skaitmenis, jo kvadratas yra n25, kur $n = m \times (m + 1)$ ir reiškia prieš 25 esančius skaitmenis. Pavyzdžiui, 65 kvadratą galima apskaičiuoti taip: $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ todėl kvadratas lygus 4225.
Jei skaičius yra m0 pavidalo, kur m reiškia prieš tai esančius skaitmenis, jo kvadratas yra n00, kur $n = m 2$ . Pavyzdžiui, 70 kvadratas yra 4900.
Jei skaičius turi du skaitmenis ir yra formos 5m, kur m yra vieneto skaitmuo, jo kvadratas yra AABB, kur $AA = 25 + m,$ o $BB = m 2$ . Pavyzdys: Apskaičiuojant 57 kvadratą, 25 + 7 = 32 ir 7² = 49, vadinasi, 57² = 3249.

Nelyginiai ir lyginiai kvadratiniai skaičiai

Lyginių skaičių kvadratai yra lyginiai (ir iš tikrųjų dalijasi iš 4), nes $(2n) 2 = 4n 2$ .

Nelyginių skaičių kvadratai yra nelyginiai, nes $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Vadinasi, lyginių kvadratinių skaičių kvadratinės šaknys yra lyginės, o nelyginių kvadratinių skaičių kvadratinės šaknys yra nelyginės.

Kadangi visi lyginiai kvadratiniai skaičiai dalijasi iš 4, lyginiai skaičiai, kurių forma yra $4n + 2,$ nėra kvadratiniai skaičiai.

Kadangi visi nelyginiai kvadratiniai skaičiai yra $4n + 1$ formos, nelyginiai skaičiai $4n + 3$ formos nėra kvadratiniai skaičiai.

Nelyginių skaičių kvadratai yra formos $8n + 1,$ nes $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1,$ o $n (n + 1)$ yra lyginis skaičius.