Matrica: apibrėžimas, savybės ir panaudojimas matematikoje

Atraskite, kas yra matrica: savybės, operacijos ir panaudojimas matematikoje bei informatikoje — aiškūs paaiškinimai, pavyzdžiai ir vizualizacijos.

Autorius: Leandro Alegsa

07-01-2026 14:15

Matematikoje matrica (daugiskaita: matricos) yra skaičių stačiakampis, išdėstytas eilutėmis ir stulpeliais. Kiekviena eilutė yra iš kairės į dešinę (horizontaliai), o stulpeliai eina iš viršaus į apačią (vertikaliai). Viršutinis kairysis langelis yra 1 eilutėje, 1 stulpelyje (žr. schemą dešinėje).

Yra taisyklės, kaip sudėti, atimti ir "padauginti" matricas, tačiau jos skiriasi nuo taisyklių, taikomų skaičiams. Pavyzdžiui, A ⋅ B {\displaystyle A\cdot B} $A\cdot B$ ne visada duoda tą patį rezultatą kaip B ⋅ A {\displaystyle B\cdot A}. $B\cdot A$ , kaip yra paprastųjų skaičių daugybos atveju. Matrica gali turėti daugiau nei 2 matmenis, pavyzdžiui, 3D matrica. Be to, matrica gali būti vienmatė, kaip viena eilutė arba stulpelis.

Daugelyje gamtos mokslų matricos naudojamos gana dažnai. Daugelyje universitetų matricų kursai (paprastai vadinami tiesine algebra) dėstomi labai anksti, kartais net pirmaisiais studijų metais. Matricos taip pat labai paplitusios informatikoje.

Kas yra matrica — pagrindiniai išraiškingi dalykai

Trumpai tariant, matrica yra skaičių arba kitų objektų lentelė, sugrupuota į m eilutes ir n stulpelius. Tokia matrica žymima kaip m × n. Elementą, esantį i-joje eilutėje ir j-ame stulpelyje, dažnai žymima a_ij. Pavyzdžiui, 2 × 3 matrica gali būti užrašyta kaip A = [a_ij] (i = 1,2; j = 1,2,3).

Tipai ir specialios matricos

Stačiakampė matrica — turi skirtingą eil. ir stulp. skaičių (m ≠ n).
Kvadratinė matrica — turi vienodą eil. ir stulp. skaičių (n × n). Daugelis svarbių sąvokų (determinantas, inversija, eigenverčiai) taikomi kvadratinėms matricoms.
Nulinė matrica — visi elementai lygūs nuliui.
Tapatybės (identiteto) matrica I_n — kvadratinė matrica, kurios pagrindinėje įstrižainėje yra vienetai, o likę elementai 0. Ji veikia kaip daugybos vienetas (A·I = I·A = A, kai matricos dimensijos tinkamos).
Diagonalė matrica — visi neįstrižaininiai elementai yra 0.
Viršutinė/apatinė trikampė matrica — visi elementai po / virš pagrindinės įstrižainės yra 0.
Simetrinė matrica — A = A^T (transponuota matrica sutampa su originalu).
Skew-simetrinė (anti-simetrinė) — A^T = −A.
Eilutės ir stulpelio vektoriai — vienmatės matricos: 1 × n arba n × 1.

Pagrindinės operacijos ir taisyklės

Sudetis ir atimtis — apibrėžtos tik tada, kai abi matricos yra tos pačios dimensijos; atliekama elementų po elemento.
Skaliarinė daugyba — visi matricos elementai padauginami iš skaičiaus (skalario).
Transponavimas — A^T gaunama apsikeitus eilutėmis ir stulpeliais (i ir j indeksai apsikeičia).
Daugyba — A (m × k) padauginta iš B (k × n) duoda C (m × n). C elemento c_ij reikšmė yra i-tos A eilutės ir j-to B stulpelio elementų skalėta suma. Daugyba nebūtinai yra komutatyvi: A·B ≠ B·A, kaip parodyta aukščiau pateiktoje ilustruotoje dalyje.
Determinantas — apibrėžtas tik kvadratinėms matricoms; nurodo, ar matrica invertuojama (det ≠ 0 → inversija egzistuoja).
Inversija — kvadratinė matrica A turi inversą A⁻¹, jei A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Inversija neegzistuoja singuliarinėms matricoms (det = 0).
Rango (eilė) — matricos didžiausias linijinių nepriklausomų eilutėms arba stulpeliams skaičius; svarbu sprendžiant vienalytę ar ne vienalytę lygčių sistemas.

Dažniausiai sutinkami panaudojimo būdai

Sprendžiant tiesines lygčių sistemas — sistema Ax = b sprendžiama naudojant inversą arba faktorizacijas (pvz., LU, QR). Matricos leidžia kompaktiškai užrašyti ir tvarkyti daugybę lygčių.
Linijiniai žemėlapiai ir transformacijos — kvadratinės matricos atitinka linijinius transformavimus erdvėse; tai ypač svarbu kompiuterinėje grafikoje (rotacijos, mastelio keitimas), geometrijoje, robotikoje.
Eigenverčiai ir eigenvektoriai — naudojami stabilumo analizei, svyravimams, kvantinei mechanikai, principal component analysis (PCA) duomenų mažinimui.
Duomenų moksle ir statistikoje — duomenys dažnai pateikiami matricų forma (stulpeliai — kintamieji, eilutės — stebėjimai); regresija, optimizacija ir mašininis mokymasis plačiai naudoja matricų operacijas.
Signalų apdorojimas ir tinklai — filtrai, transformacijos (pvz., Fourier), ryšių tinklų modeliai ir grafų matricos reprezentacijos.
Inžinerija ir fizika — mechanikos, elektros grandinių analizė, tvarkos ir valdymo sistemos remiasi matricomis ir jų savybėmis.
Skaičiavimai — didelės dimensijos matricos leidžia efektyviai apdoroti didelius duomenų kiekius programose (NumPy, MATLAB, R ir kt.).

Praktiški patarimai

Prieš atliekant daugybą, visada patikrinkite matmenis: A (m × k) × B (k × n) → rezultatas m × n.
Kai dirbate su didelėmis matricomis, naudokite optimizuotas bibliotekas (pvz., BLAS, LAPACK). Jos gerokai pagreitina skaičiavimus ir sumažina klaidų tikimybę.
Norint suprasti matricos prasmę, pabandykite ją interpretuoti kaip linijinį transformavimą arba duomenų lentelę — tai padeda susieti abstrakčias operacijas su realiais pavyzdžiais.

Šis tekstas apžvelgia pagrindines matricos sąvokas, savybes ir dažniausius panaudojimus. Jei norite, galiu pridėti: konkretų skaičių pavyzdį (pvz., 2×2 matricos daugyba žingsnis po žingsnio), paaiškinimą, kaip apskaičiuoti determinanto formulę tam tikroms dimensijoms, arba trumpą įvadą į eigen-savybes ir jų taikymus.

Konkretūs matricos įrašai dažnai nurodomi naudojant subskriptų poras, žyminčias kiekvienos eilutės ir stulpelio numerius.

Apibrėžimai ir užrašai

Matricos horizontalios linijos vadinamos eilutėmis, o vertikalios - stulpeliais. Matrica, turinti m eilučių ir n stulpelių, vadinama m-by-n matrica (arba m×n matrica), o m ir n - jos matmenimis.

Matricos vietos, kuriose yra skaičiai, vadinamos įrašais. Matricos A įrašas, esantis eilutėje i ir stulpelyje j, vadinamas A įrašu i,j. Jis užrašomas kaip A[i,j] arba _ai,j.

Rašome A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ , kad apibrėžtume m × n matricą A, kurios kiekvienas įrašas vadinamas _ai,j visiems 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n.

Pavyzdys

Matrica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

yra 4×3 matrica. Ši matrica turi m=4 eilutes ir n=3 stulpelius.

Elementas A[2,3] arba a2,₃ yra 7.

Operacijos

Papildymas

Dviejų matricų suma yra matrica, kurios (i,j)-asis įrašas yra lygus dviejų matricų (i,j)-ųjų įrašų sumai:

[ 1 3 2 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Abiejų matricų matmenys yra vienodi. Čia A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ yra tiesa.

Dviejų matricų daugyba

Dviejų matricų daugyba yra šiek tiek sudėtingesnė:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\{bmatrica}}={\begin{bmatrica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrica}}} ${\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}$

Taip ir su Skaičiais:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

dvi matricos gali būti dauginamos viena iš kitos, net jei jų matmenys skiriasi, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui.
daugybos rezultatas, vadinamas sandauga, yra kita matrica, turinti tiek pat eilučių, kiek pirmoji matrica, ir tiek pat stulpelių, kiek antroji matrica.
matricų daugyba nėra komutacinė, o tai reiškia, kad A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A} $A\cdot B\neq B\cdot A$
matricų daugyba yra asociatyvi, o tai reiškia, kad ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Specialiosios matricos

Kai kurios matricos yra ypatingos.

Kvadratinė matrica

Kvadratinė matrica turi tiek pat eilučių ir stulpelių, taigi m=n.

Kvadratinės matricos pavyzdys

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Ši matrica turi 3 eilutes ir 3 stulpelius: m=n=3.

Tapatybė

Kiekviena kvadratinio matricos matmens aibė turi specialų atitikmenį, vadinamą "tapatybės matrica". Tapatybės matrica turi tik nulius, išskyrus pagrindinę įstrižainę, kurioje yra visi vienetai. Pavyzdžiui:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

yra tapatybės matrica. Kiekvienai kvadratinių matmenų aibei yra lygiai viena tapatybės matrica. Tapatybės matrica ypatinga tuo, kad dauginant bet kurią matricą iš tapatybės matricos, rezultatas visada yra pirminė matrica be jokių pakeitimų.

Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica - tai matrica, kuri, padauginta iš kitos matricos, yra lygi tapatybės matricai. Pavyzdžiui:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\end{bmatrix}}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}}} yra ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ atvirkštinė [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}} reikšmė.} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

2x2 matricos [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} atvirkštinės reikšmės formulė yra:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}} $\left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Kur d e t {\displaystyle det} $det$ yra matricos determinantas. 2x2 matricos determinantas yra lygus:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}} ${xv-yz}$

Vieno stulpelio matrica

Matrica, turinti daug eilučių, bet tik vieną stulpelį, vadinama stulpeliniu vektoriumi.

Determinantai

Determinantui imama kvadratinė matrica ir apskaičiuojamas paprastas skaičius - skalaras. Kad suprastumėte, ką šis skaičius reiškia, paimkite kiekvieną matricos stulpelį ir nubraižykite jį kaip vektorių. Šiais vektoriais nubrėžtas lygiagretainis turi plotą, kuris yra determinantas. Visoms 2x2 matricoms formulė labai paprasta: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

3x3 matricų formulė yra sudėtingesnė: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Paprastų formulių didesnių matricų determinantams nustatyti nėra, todėl daugelis kompiuterių programuotojų tyrinėja, kaip priversti kompiuterius greitai rasti didelius determinantus.

Determinantų savybės

Yra trys taisyklės, kuriomis vadovaujasi visi determinantai. Jos yra šios:

Tapačios matricos determinantas yra 1
Jei sukeičiamos dvi matricos eilutės arba du stulpeliai, tuomet determinantas dauginamas iš -1. Matematikai tai vadina kaitaliojimu.
Jei visi vienoje eilutėje arba stulpelyje esantys skaičiai dauginami iš kito skaičiaus n, tai determinantas dauginamas iš n. Be to, jei matrica M turi stulpelį v, kuris yra dviejų stulpelių matricų v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ ir v 2 {\displaystyle v_{2}} suma. $v_{2}$ tada M determinantas yra M determinantų suma, kai vietoj v yra v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ ir M, kai vietoj v yra v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ . Šios dvi sąlygos vadinamos daugialygmeniškumu.

Taip pat žr.

Tiesinė algebra
Skaitinė tiesinė algebra

Valdžios institucijų kontrolė

GND: 4037968-1
LCCN: sh85082210

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra matrica?

A: Matrica - tai skaičių stačiakampis, išdėstytas eilutėmis ir stulpeliais. Kiekviena eilutė yra linija iš kairės į dešinę (horizontali), o stulpeliai eina iš viršaus į apačią (vertikalūs).

K: Kaip vaizduojamos matricos?

A: Matricos dažnai vaizduojamos didžiosiomis romėniškomis raidėmis, pavyzdžiui, A, B ir C.

K: Kas atsitinka, kai padauginame dvi matricas?

A: Sandauga AB ne visada duoda tą patį rezultatą kaip BA, o tai skiriasi nuo paprastų skaičių dauginimo.

K: Ar matrica gali turėti daugiau nei du matmenis?

A: Taip, matrica gali turėti daugiau nei du matmenis, pavyzdžiui, 3D matrica. Ji taip pat gali būti vienmatė, kaip viena eilutė arba stulpelis.

K: Kur naudojamos matricos?

A: Matricos naudojamos daugelyje gamtos ir informatikos mokslų, inžinerijoje, fizikoje, ekonomikoje ir statistikoje.

K: Kada universitetuose dėstomi matricų kursai?

A: Paprastai universitetuose matricų kursai (paprastai vadinami tiesine algebra) dėstomi labai anksti - kartais net pirmaisiais studijų metais.

K: Ar galima sudėti arba atimti matricas?

A: Taip - yra matricų sudėties ir atimties taisyklės, tačiau jos skiriasi nuo paprastų skaičių taisyklių.

Ieškoti