Matrica (matematika)

Matematikoje matrica (daugiskaita: matricos) yra skaičių stačiakampis, išdėstytas eilutėmis ir stulpeliais. Kiekviena eilutė yra iš kairės į dešinę (horizontaliai), o stulpeliai eina iš viršaus į apačią (vertikaliai). Viršutinis kairysis langelis yra 1 eilutėje, 1 stulpelyje (žr. schemą dešinėje).

Yra taisyklės, kaip sudėti, atimti ir "padauginti" matricas, tačiau jos skiriasi nuo taisyklių, taikomų skaičiams. Pavyzdžiui, A B {\displaystyle A\cdot B}{\displaystyle A\cdot B} ne visada duoda tą patį rezultatą kaip B A {\displaystyle B\cdot A}. {\displaystyle B\cdot A}, kaip yra paprastųjų skaičių daugybos atveju. Matrica gali turėti daugiau nei 2 matmenis, pavyzdžiui, 3D matrica. Be to, matrica gali būti vienmatė, kaip viena eilutė arba stulpelis.

Daugelyje gamtos mokslų matricos naudojamos gana dažnai. Daugelyje universitetų matricų kursai (paprastai vadinami tiesine algebra) dėstomi labai anksti, kartais net pirmaisiais studijų metais. Matricos taip pat labai paplitusios informatikoje.

Konkretūs matricos įrašai dažnai nurodomi naudojant subskriptų poras, žyminčias kiekvienos eilutės ir stulpelio numerius.Zoom
Konkretūs matricos įrašai dažnai nurodomi naudojant subskriptų poras, žyminčias kiekvienos eilutės ir stulpelio numerius.

Apibrėžimai ir užrašai

Matricos horizontalios linijos vadinamos eilutėmis, o vertikalios - stulpeliais. Matrica, turinti m eilučių ir n stulpelių, vadinama m-by-n matrica (arba m×n matrica), o m ir n - jos matmenimis.

Matricos vietos, kuriose yra skaičiai, vadinamos įrašais. Matricos A įrašas, esantis eilutėje i ir stulpelyje j, vadinamas A įrašu i,j. Jis užrašomas kaip A[i,j] arba ai,j.

Rašome A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}{\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, kad apibrėžtume m × n matricą A, kurios kiekvienas įrašas vadinamas ai,j visiems 1 ≤ im ir 1 ≤ jn.

Pavyzdys

Matrica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}

yra 4×3 matrica. Ši matrica turi m=4 eilutes ir n=3 stulpelius.

Elementas A[2,3] arba a2,3 yra 7.

Operacijos

Papildymas

Dviejų matricų suma yra matrica, kurios (i,j)-asis įrašas yra lygus dviejų matricų (i,j)-ųjų įrašų sumai:

[ 1 3 2 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Abiejų matricų matmenys yra vienodi. Čia A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}{\displaystyle A+B=B+A} yra tiesa.

Dviejų matricų daugyba

Dviejų matricų daugyba yra šiek tiek sudėtingesnė:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 b 1 + a 2 b 3 ) ( a 1 b 2 + a 2 b 4 ) ( a 3 b 1 + a 4 b 3 ) ( a 3 b 2 + a 4 b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\{bmatrica}}={\begin{bmatrica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrica}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}

Taip ir su Skaičiais:

[ 3 5 1 4 ] [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 2 + 5 5 ) ( 3 3 + 5 0 ) ( 1 2 + 4 5 ) ( 1 3 + 4 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

  • dvi matricos gali būti dauginamos viena iš kitos, net jei jų matmenys skiriasi, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui.
  • daugybos rezultatas, vadinamas sandauga, yra kita matrica, turinti tiek pat eilučių, kiek pirmoji matrica, ir tiek pat stulpelių, kiek antroji matrica.
  • matricų daugyba nėra komutacinė, o tai reiškia, kad A B ≠ B A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A} {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
  • matricų daugyba yra asociatyvi, o tai reiškia, kad ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Specialiosios matricos

Kai kurios matricos yra ypatingos.

Kvadratinė matrica

Kvadratinė matrica turi tiek pat eilučių ir stulpelių, taigi m=n.

Kvadratinės matricos pavyzdys

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}}

Ši matrica turi 3 eilutes ir 3 stulpelius: m=n=3.

Tapatybė

Kiekviena kvadratinio matricos matmens aibė turi specialų atitikmenį, vadinamą "tapatybės matrica". Tapatybės matrica turi tik nulius, išskyrus pagrindinę įstrižainę, kurioje yra visi vienetai. Pavyzdžiui:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

yra tapatybės matrica. Kiekvienai kvadratinių matmenų aibei yra lygiai viena tapatybės matrica. Tapatybės matrica ypatinga tuo, kad dauginant bet kurią matricą iš tapatybės matricos, rezultatas visada yra pirminė matrica be jokių pakeitimų.

Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica - tai matrica, kuri, padauginta iš kitos matricos, yra lygi tapatybės matricai. Pavyzdžiui:

[ 7 8 6 7 ] [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\end{bmatrix}}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}}} yra {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}}atvirkštinė [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}} reikšmė.} {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}}.

2x2 matricos [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} atvirkštinės reikšmės formulė yra:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}} {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}


Kur d e t {\displaystyle det}{\displaystyle det} yra matricos determinantas. 2x2 matricos determinantas yra lygus:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}} {\displaystyle {xv-yz}}

Vieno stulpelio matrica

Matrica, turinti daug eilučių, bet tik vieną stulpelį, vadinama stulpeliniu vektoriumi.

Determinantai

Determinantui imama kvadratinė matrica ir apskaičiuojamas paprastas skaičius - skalaras. Kad suprastumėte, ką šis skaičius reiškia, paimkite kiekvieną matricos stulpelį ir nubraižykite jį kaip vektorių. Šiais vektoriais nubrėžtas lygiagretainis turi plotą, kuris yra determinantas. Visoms 2x2 matricoms formulė labai paprasta: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc} {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

3x3 matricų formulė yra sudėtingesnė: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Paprastų formulių didesnių matricų determinantams nustatyti nėra, todėl daugelis kompiuterių programuotojų tyrinėja, kaip priversti kompiuterius greitai rasti didelius determinantus.

Determinantų savybės

Yra trys taisyklės, kuriomis vadovaujasi visi determinantai. Jos yra šios:

  • Tapačios matricos determinantas yra 1
  • Jei sukeičiamos dvi matricos eilutės arba du stulpeliai, tuomet determinantas dauginamas iš -1. Matematikai tai vadina kaitaliojimu.
  • Jei visi vienoje eilutėje arba stulpelyje esantys skaičiai dauginami iš kito skaičiaus n, tai determinantas dauginamas iš n. Be to, jei matrica M turi stulpelį v, kuris yra dviejų stulpelių matricų v 1 {\displaystyle v_{1}}{\displaystyle v_{1}} ir v 2 {\displaystyle v_{2}} suma. {\displaystyle v_{2}}tada M determinantas yra M determinantų suma, kai vietoj v yra v 1 {\displaystyle v_{1}}{\displaystyle v_{1}} ir M, kai vietoj v yra v 2 {\displaystyle v_{2}}{\displaystyle v_{2}}. Šios dvi sąlygos vadinamos daugialygmeniškumu.

Taip pat žr.

  • Tiesinė algebra
  • Skaitinė tiesinė algebra

Valdžios institucijų kontrolė Edit this at Wikidata

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra matrica?


A: Matrica - tai skaičių stačiakampis, išdėstytas eilutėmis ir stulpeliais. Kiekviena eilutė yra linija iš kairės į dešinę (horizontali), o stulpeliai eina iš viršaus į apačią (vertikalūs).

K: Kaip vaizduojamos matricos?


A: Matricos dažnai vaizduojamos didžiosiomis romėniškomis raidėmis, pavyzdžiui, A, B ir C.

K: Kas atsitinka, kai padauginame dvi matricas?


A: Sandauga AB ne visada duoda tą patį rezultatą kaip BA, o tai skiriasi nuo paprastų skaičių dauginimo.

K: Ar matrica gali turėti daugiau nei du matmenis?


A: Taip, matrica gali turėti daugiau nei du matmenis, pavyzdžiui, 3D matrica. Ji taip pat gali būti vienmatė, kaip viena eilutė arba stulpelis.

K: Kur naudojamos matricos?


A: Matricos naudojamos daugelyje gamtos ir informatikos mokslų, inžinerijoje, fizikoje, ekonomikoje ir statistikoje.

K: Kada universitetuose dėstomi matricų kursai?


A: Paprastai universitetuose matricų kursai (paprastai vadinami tiesine algebra) dėstomi labai anksti - kartais net pirmaisiais studijų metais.

K: Ar galima sudėti arba atimti matricas?


A: Taip - yra matricų sudėties ir atimties taisyklės, tačiau jos skiriasi nuo paprastų skaičių taisyklių.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3