Matrica: apibrėžimas, savybės ir panaudojimas matematikoje

Matricos horizontalios linijos vadinamos eilutėmis, o vertikalios - stulpeliais. Matrica, turinti m eilučių ir n stulpelių, vadinama m-by-n matrica (arba m×n matrica), o m ir n - jos matmenimis.

Matricos vietos, kuriose yra skaičiai, vadinamos įrašais. Matricos A įrašas, esantis eilutėje i ir stulpelyje j, vadinamas A įrašu i,j. Jis užrašomas kaip A[i,j] arba _ai,j.

Rašome A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, kad apibrėžtume m × n matricą A, kurios kiekvienas įrašas vadinamas _ai,j visiems 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n.

Pavyzdys

Matrica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}}

yra 4×3 matrica. Ši matrica turi m=4 eilutes ir n=3 stulpelius.

Elementas A[2,3] arba a2,₃ yra 7.

Papildymas

Dviejų matricų suma yra matrica, kurios (i,j)-asis įrašas yra lygus dviejų matricų (i,j)-ųjų įrašų sumai:

[ 1 3 2 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Abiejų matricų matmenys yra vienodi. Čia A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} yra tiesa.

Dviejų matricų daugyba

Dviejų matricų daugyba yra šiek tiek sudėtingesnė:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\{bmatrica}}={\begin{bmatrica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrica}}}

Taip ir su Skaičiais:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• dvi matricos gali būti dauginamos viena iš kitos, net jei jų matmenys skiriasi, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui.
• daugybos rezultatas, vadinamas sandauga, yra kita matrica, turinti tiek pat eilučių, kiek pirmoji matrica, ir tiek pat stulpelių, kiek antroji matrica.
• matricų daugyba nėra komutacinė, o tai reiškia, kad A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• matricų daugyba yra asociatyvi, o tai reiškia, kad ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Kai kurios matricos yra ypatingos.

Kvadratinė matrica

Kvadratinė matrica turi tiek pat eilučių ir stulpelių, taigi m=n.

Kvadratinės matricos pavyzdys

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}}}

Ši matrica turi 3 eilutes ir 3 stulpelius: m=n=3.

Tapatybė

Kiekviena kvadratinio matricos matmens aibė turi specialų atitikmenį, vadinamą "tapatybės matrica". Tapatybės matrica turi tik nulius, išskyrus pagrindinę įstrižainę, kurioje yra visi vienetai. Pavyzdžiui:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}

yra tapatybės matrica. Kiekvienai kvadratinių matmenų aibei yra lygiai viena tapatybės matrica. Tapatybės matrica ypatinga tuo, kad dauginant bet kurią matricą iš tapatybės matricos, rezultatas visada yra pirminė matrica be jokių pakeitimų.

Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica - tai matrica, kuri, padauginta iš kitos matricos, yra lygi tapatybės matricai. Pavyzdžiui:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\end{bmatrix}}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}}} yra atvirkštinė [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}} reikšmė.} .

2x2 matricos [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} atvirkštinės reikšmės formulė yra:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}}

Kur d e t {\displaystyle det} yra matricos determinantas. 2x2 matricos determinantas yra lygus:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Vieno stulpelio matrica

Matrica, turinti daug eilučių, bet tik vieną stulpelį, vadinama stulpeliniu vektoriumi.

Determinantui imama kvadratinė matrica ir apskaičiuojamas paprastas skaičius - skalaras. Kad suprastumėte, ką šis skaičius reiškia, paimkite kiekvieną matricos stulpelį ir nubraižykite jį kaip vektorių. Šiais vektoriais nubrėžtas lygiagretainis turi plotą, kuris yra determinantas. Visoms 2x2 matricoms formulė labai paprasta: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

3x3 matricų formulė yra sudėtingesnė: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Paprastų formulių didesnių matricų determinantams nustatyti nėra, todėl daugelis kompiuterių programuotojų tyrinėja, kaip priversti kompiuterius greitai rasti didelius determinantus.

Determinantų savybės

Yra trys taisyklės, kuriomis vadovaujasi visi determinantai. Jos yra šios:

• Tapačios matricos determinantas yra 1
• Jei sukeičiamos dvi matricos eilutės arba du stulpeliai, tuomet determinantas dauginamas iš -1. Matematikai tai vadina kaitaliojimu.
• Jei visi vienoje eilutėje arba stulpelyje esantys skaičiai dauginami iš kito skaičiaus n, tai determinantas dauginamas iš n. Be to, jei matrica M turi stulpelį v, kuris yra dviejų stulpelių matricų v 1 {\displaystyle v_{1}} ir v 2 {\displaystyle v_{2}} suma. tada M determinantas yra M determinantų suma, kai vietoj v yra v 1 {\displaystyle v_{1}} ir M, kai vietoj v yra v 2 {\displaystyle v_{2}}. Šios dvi sąlygos vadinamos daugialygmeniškumu.

• Tiesinė algebra
• Skaitinė tiesinė algebra