Dvejetainė aibės operacija: apibrėžimas, pavyzdžiai ir savybės

Sužinokite, kas yra dvejetainė aibės operacija: aiškus apibrėžimas, pavyzdžiai (suma, daugyba, matricos, sąjunga) ir pagrindinės savybės suprantamai bei praktiškai.

Matematikoje dvejetainė aibės operacija, dažnai žymima *, yra taisyklė, kuri kiekvienai aibės elementų porai priskiria vieną aibės elementą. Formaliai tai yra žemėlapis *: S × S → S, kur S yra aibė, o S × S — visų porų (a, b) rinkinys. Pavyzdžiui, jei paimsime natūraliųjų skaičių porą ir operacija * bus sudėtis, tai jų suma taip pat bus natūralusis skaičius — tai parodo, kad sudėtis yra dvejetainė operacija nurodytoje aibėje. Kitas paprastas pavyzdys — daugyba natūraliaisiais skaičiais: paėmus 2 ir 3 bei pritaikius daugybą, gauname 6, kuris vėl priklauso tų pačių natūraliųjų skaičių aibe.

Kiti gerai žinomi pavyzdžiai yra suma tarp matricų (vienodo dydžio matricų aibėje), funkcijų sudėtis (konkrečiai: funkcijų iš X į X aibėje), o aibių sąjunga ir sankirta — tai dvi skirtingos dvejetainės operacijos, veikiančios galios aibę P(A) (poaibius) arba visų aibių aibę.

Formali sąvoka ir sąlygos

Esminė dvejetainės operacijos savybė — uždarumas: kiekvienai aibės S porai (a, b) taikant operaciją *, rezultatas privalo priklausyti S. Jei operacija duotai porai kartais neduoda reikšmės aibėje (pvz., dalyba iš nulio), tai tai nėra pilna dvejetainė operacija ant tos aibės, o greičiau dalinė operacija.

Žymėjimas ir supratimas:

• Notacija: a * b reiškia operacijos * taikymą elementams a ir b.
• Formaliai: *: S × S → S.
• Uždavinių pavyzdys: operacija gali būti skaitinė (+, ×), loginė (AND, OR), kombinacinė (sąjunga, sankirta) arba sudėtingesnė (funkcijų kompozicija, matricos daugyba).

Savybės

Dažnai tirsiamos dvejetainės operacijos savybės:

• Komutatyvumas: a * b = b * a visiems a, b. Pvz., skaičių sudėtis ir daugyba yra komutatyvios; matricų daugyba — paprastai nėra.
• Asociatyvumas: (a * b) * c = a * (b * c) visiems a, b, c. Pvz., sudėtis ir daugyba skaičiams yra asocijuojančios; atvirkščiai, atimtys ir potegai nėra asocijuojančios.
• Tapatumo (neutralus) elementas: egzistuoja e tokia, kad e * a = a * e = a visiems a. Pvz., 0 yra neutralus elementas sudėčiai, 1 — daugybai.
• Atvirkštinis elementas: esant e neutraliam, elementas a turi atvirkštinį b, kai a * b = b * a = e. Tai svarbu grupių teorijoje (pvz., sveikieji skaičiai su sudėtimi turi atvirkštinį: −a).
• Idempotentiškumas: a * a = a (pvz., sąjunga ir sankirta ant poaibių yra idempotentinės).
• Distribucija: viena operacija gali distribiuoti per kitą, pvz., daugyba distribuuoja per sudėtį (a(b + c) = ab + ac).

Pavyzdžiai ir kontrpavyzdžiai

Pavyzdžiai:

• Skaičiai: (N, +) — natūraliųjų skaičių aibė su sudėtimi (uždaryta, asocijuojanti, komutatyvi, turi neutralią reikšmę 0, bet neturi visų elementų atvirkštinių natūraliųjų skaičių aibėje, todėl tai nėra grupė).
• Z su sudėtimi (Z, +) — tai grupė; su daugyba (Z, ×) tai monoidas (ne visi elementai turi atvirkštines reikšmes).
• Matricų suma: visų n×m matricų aibėje suma yra dvejetainė operacija; matricų daugyba — dvejetainė operacija kvadratinių matricų aibėje (n×n), bet ji nėra komutatyvi.
• Funkcijų kompozicija: visų funkcijų X → X aibėje kompozicija yra dvejetainė operacija (associatyvi, su neutraliąja identiteto funkcija id_X).
• Poabiai P(A): sąjunga ir sankirta yra dvejetainės operacijos ant P(A); jos yra asocijuojančios, komutatyvios ir idempotentinės.
• Loginės operacijos AND, OR ant B = {true, false} — dvejetainės operacijos su aiškiomis savybėmis.

Kontrpavyzdžiai / trūkumai:

• Atimtis ant sveikųjų ar natūraliųjų skaičių yra uždaryta, bet nėra komutatyvi ir nėra dvikrypčio neutralaus elemento, taip pat nėra asociatyvi — todėl turi mažiau struktūros.
• Dalyba už realių skaičių (R) nėra dvejetainė operacija, jei skaičių 0 įtraukta į antrą argumentą, nes dalyba iš nulio nėra apibrėžta (tai yra dalinė operacija).
• Operacija, kuri kartais grąžina reikšmes už pradinės aibės ribų, nėra dvejetainė operacija toje aibėje (pvz., kelios funkcijos iš X į Y, jei kompozicija neatitinka tipų).

Algebrinės struktūros ir pritaikymas

Įvairios dvejetainės operacijos kartu su tam tikromis savybėmis lemia algebrines sistemas:

• Semi-grupė — aibė su asociatyvia dvejetainė operacija.
• Monoid — semi-grupė turinti neutralią reikšmę.
• Grupė — monoidas, kur kiekvienas elementas turi atvirkštinį.
• Žiedas, laukas — sudėtingesnės struktūros, turinčios dvi operacijas (pvz., + ir ×) su tam tikromis tarpusavio savybėmis (distribucija ir kt.).

Pastabos

Praktikoje svarbu atkreipti dėmesį į operacijos apibrėžimą ir aibės pasirinkimą — net jei taisyklė logiškai apibrėžta, ji nėra dvejetainė operacija ant konkrečios aibės, jei nėra uždarumo. Taip pat, analizuojant savybes, dažnai tikrinama, ar operacija taikoma visiems elementams, ar sudaro pageidaujamą algebrinę struktūrą (grupę, žiedą ir pan.).

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra dvejetainė operacija?

K: Kaip matematikoje žymima dvejetainė operacija?

K: Koks yra dvejetainės operacijos su natūraliaisiais skaičiais pavyzdys?

K: Koks yra dvejetainio veiksmo taikymo natūraliųjų skaičių porai rezultatas?

Klausimas: Ar dvejetainiai veiksmai gali būti taikomi ne tik skaičiams, bet ir kitiems matematiniams objektams?

K: Kokie yra dvejetainių operacijų su aibėmis pavyzdžiai?

K: Kokioje aibėje galima atlikti dvi skirtingas dvejetaines operacijas?

Paieška pagal raidę