Įsivaizduojamieji skaičiai
Įsivaizduojamieji skaičiai - tai skaičiai, kurie gaunami sujungus realųjį skaičių su įsivaizduojamuoju vienetu, vadinamu i, kur i apibrėžiamas kaip i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
. Jie apibrėžiami atskirai nuo neigiamų realiųjų skaičių, nes yra ne teigiamo, o neigiamo realiojo skaičiaus kvadratinė šaknis. Tai neįmanoma su realiaisiais skaičiais, nes nėra tokio realiojo skaičiaus, kurį padauginus iš savęs gautume neigiamą skaičių (pvz., 3*3 = 9 ir -3*-3 = 9).
Vienas iš būdų apie juos mąstyti yra sakyti, kad įsivaizduojamieji skaičiai neigiamiems skaičiams yra tas pats, kas neigiami skaičiai teigiamiems skaičiams. Jei pasakysiu "eikite į rytus -1 mylią", tai bus tas pats, kas jei pasakyčiau "eikite į vakarus 1 mylią". Jei pasakysiu "eikite į rytus i mylias", tai reiškia tą patį, kaip jei pasakyčiau "eikite į šiaurę 1 mylią". Jei pasakysiu "eiti į rytus už -i mylios", tai reiškia tą patį, tarsi būčiau pasakęs "eiti į pietus už 1 mylios".
Pridėti taip pat lengva. Jei pasakysiu "eikite į rytus 1 + i mylios", tai reikš tą patį, kaip ir jei pasakyčiau "eikite į rytus vieną mylią ir į šiaurę vieną mylią".
Dviejų įsivaizduojamų skaičių daugyba labai panaši į teigiamo skaičiaus daugybą iš neigiamo skaičiaus. Jei sakau "eikite į rytus 2*3 mylias", tai reiškia "apsisukite iki galo (taip, kad dabar stovėtumėte veidu į vakarus) ir nueikite 2*3 = 6 mylias". Įsivaizduojami skaičiai veikia taip pat, tik galite pasukti dalį kelio. Jei pasakysiu "į rytus 2*3i mylios", tai reikš tą patį, kaip ir jei pasakyčiau "sukitės, kol atsigręšite į šiaurę, ir nueikite 2*3 = 6 mylios".
Atimti 5-9 buvo neįmanoma, kol nebuvo išrasti neigiami skaičiai. Po to, kai jie buvo išrasti, neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis buvo neįmanoma, kol nebuvo išrasti įsivaizduojami skaičiai. Kvadratinė šaknis iš 9 yra 3, bet kvadratinė šaknis iš -9 nėra -3. Taip yra todėl, kad -3 x -3 = +9, o ne -9. Ilgą laiką atrodė, kad nėra atsakymo į kvadratinės šaknies iš -9 klausimą.
Todėl matematikai išrado įsivaizduojamąjį skaičių i ir pasakė, kad jis yra kvadratinė šaknis iš -1. Kvadratinė šaknis iš -1 nėra realusis skaičius, todėl šis apibrėžimas sukuria naują skaičių rūšį, panašiai kaip trupmenos sukuria tokius skaičius kaip 2/3, kurie nėra skaičiuotiniai skaičiai, pavyzdžiui, 4 ar 10, o neigiami skaičiai leidžia turėti skaičius, mažesnius už 0. Kartais atrodo, kad matematikams gana patogu vartoti tokį neįprastą skaičių, tačiau įsivaizduojamo skaičiaus pavadinimas neturėtų jūsų klaidinti, nes i yra toks pat teisingas skaičius kaip 3 ar 145 379.
Šį skaičių galima panaudoti daugelyje mokslo ir inžinerijos sričių. Kartais elektrotechnikos inžinieriams reikia i, kad suprastų, kaip veiks elektros grandinė, kai ją projektuoja (elektrotechnikos inžinieriai vietoj i naudoja j, kad nesupainiotų su srovės simboliu). Kai kuriose fizikos šakose, pavyzdžiui, kvantinėje fizikoje ir didelės energijos fizikoje, i naudojamas taip pat dažnai, kaip ir bet kuris kitas įprastas skaičius. Daugelio lygčių pasaulyje tiesiog neįmanoma išspręsti be i.
Įsivaizduojamus skaičius galima maišyti su mums geriau pažįstamais skaičiais. Pavyzdžiui, realųjį skaičių, pavyzdžiui, 2, galima pridėti prie įsivaizduojamo skaičiaus, pavyzdžiui, 3i, ir gauti 2+3i. Tokie mišrūs skaičiai vadinami kompleksiniais skaičiais.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra įsivaizduojamas skaičius?
Atsakymas: Įsivaizduojamasis skaičius yra realiojo skaičiaus ir įsivaizduojamojo vieneto, vadinamo i, derinys, kur i apibrėžiamas kaip i^2=-1.
K: Kuo įsivaizduojamieji skaičiai skiriasi nuo neigiamų realiųjų skaičių?
A: Įsivaizduojamieji skaičiai apibrėžiami atskirai nuo neigiamų realiųjų skaičių, nes jie yra neigiamo realiojo skaičiaus kvadratinė šaknis (vietoj teigiamo realiojo skaičiaus). To neįmanoma padaryti su realiaisiais skaičiais, nes nėra tokio realiojo skaičiaus, kurį padauginus iš savęs gautume neigiamą skaičių.
Klausimas: Ką reiškia, kai sakome "eikite į rytus -i mylios atstumu"?
A: Kai sakome "eikite į rytus už -i mylios", tai reiškia tą patį, kaip ir sakydami "eikite į pietus už 1 mylios".
K: Kaip sudėti du įsivaizduojamus skaičius?
A: Norėdami sudėti du įsivaizduojamus skaičius, galite sakyti "eikite į rytus 1 mylią ir į šiaurę 1 mylią". Dviejų įsivaizduojamųjų skaičių dauginimas panašus į teigiamo skaičiaus dauginimą iš neigiamo skaičiaus.
K: Kas yra sudėtiniai skaičiai?
A: Kompleksiniai skaičiai yra mišrūs skaičiai, sudaryti iš realiųjų ir įsivaizduojamųjų komponentų, pavyzdžiui, 2+3i. Jie susidaro sudėjus realiąją ir įsivaizduojamąją sudedamąsias dalis.
K: Kokiose srityse matematikai naudoja įsivaizduojamojo vieneto sąvoką?
A: Matematikai įsivaizduojamojo vieneto sąvoką naudoja daugelyje mokslo ir inžinerijos sričių, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, kvantinėje fizikoje, didelės energijos fizikoje ir kt. Ji taip pat naudojama lygtyse, kurių be jos neįmanoma išspręsti.
