Įsivaizduojamieji skaičiai – tai skaičiai, kurie gaunami sujungus realųjį skaičių su įsivaizduojamuoju vienetu, vadinamu i, kur i apibrėžiamas kaip i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}{\displaystyle i^{2}=-1}. Tai leidžia turėti skaičių, kurio kvadratas yra neigiamas – kažko, ko realiųjų skaičių aibė negali pateikti.

Apibrėžimas ir pavyzdžiai

Formaliai įsivaizduojamasis vienetas i tenkina i2 = −1. Iš to seka, kad sprendžiant lygčių tipus, pavyzdžiui, x2 + 1 = 0, atsakymai yra x = i ir x = −i. Kvadratinė šaknis iš −9 yra 3i (t. y. 3i), o ne −3 – nes (−3)·(−3) = +9.

Kompleksiniai skaičiai

Įsivaizduojamieji skaičiai dažnai jungiasi su realiaisiais į kompleksinius skaičius. Kiekvienas kompleksinis skaičius turi formą a + bi, kur a ir b yra realieji skaičiai. Pvz., 2 + 3i reiškia realiąją dalį 2 ir įsivaizduojamąją dalį 3.

Tokiu būdu realųjį skaičių, pavyzdžiui, 2, galima pridėti prie įsivaizduojamo skaičiaus, pavyzdžiui, 3i, ir gauti 2+3i. Tokie mišrūs skaičiai vadinami kompleksiniais skaičiais.

Pagrindinės aritmetinės taisyklės

  • Sudetis ir atimtis: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; atitinkamai atimtys – komponentais.
  • Daugyba: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Dėl i2 = −1 gauname naują realią ir įsivaizduojamą dalis.
  • Dalyba: (a + bi)/(c + di) atliekama dauginant skaitiklį ir vardiklį iš konjuguoto vardiklio: (a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c − di)]/(c2 + d2).
  • Konjugavimas: Kompleksinio skaičiaus konjugatas – tai a − bi. Konjugatas naudinga dalybose ir moduliui rasti.
  • Modulis (ilgis): |a + bi| = sqrt(a2 + b2). Tai atitinka atstumą nuo kilmės kompleksiškumo plokštumoje.

Geometrinė interpretacija

Kompleksinius skaičius patogu vaizduoti kompleksinėje plokštumoje: x ašis – realioji dalis, y ašis – įsivaizduojamoji dalis. Tada skaičius a + bi atitinka tašką (a, b).

Daugyba kompleksinių skaičių turi geometrinę prasmę: dauginimas skalauja atstumą nuo kilmės ir pasuka tašką aplink kilmę. Ypač įdomu, kad dauginimas iš i atitinka pasukimą 90° į kairę (90° prieš laikrodžio rodyklę) be skalavimo: i·(a + bi) = −b + ai. Tai atitinka analogiją su kryptimis: jei "eiti į rytus i mylias" buvo pateikta kaip pavyzdys, tai reiškia posūkį į šiaurę.

Polinė forma ir Eulerio formulė

Kompleksinį skaičių taip pat galima užrašyti poline forma: a + bi = r(cos θ + i sin θ), kur r = |a + bi| ir θ = arg(a + bi) – kampas nuo teigiamo realiosios ašies. Naudojant Eulerio formulę gauname labai patogų užrašą:

r eiθ = r (cos θ + i sin θ)

Tai leidžia lengvai kelti laipsniu ir rasti šaknis. De Moivre’o teorema: (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).

Povandeniniai akmenys: šaknys ir daugiareikšmė prigimtis

N‑to laipsnio šaknys iš kompleksiškų skaičių paprastai turi n skirtingų sprendinių, vienodai išsidėsčiusių kampais 2π/n plokštumoje. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš −9 duoda du sprendinius: 3i ir −3i.

Istorinė pastaba

Įsivaizduojamieji skaičiai ilgą laiką buvo laikomi „matematinėmis fantazijomis“, tačiau jų pritaikymas ir loginis pagrindas vėliau buvo aiškiai suformuluoti. Matematikai, tokie kaip Rafaelis Bombelli ir Leonhardas Euleris, prisidėjo prie šios teorijos vystymo; vėliau Karlas F. Gaussas sustiprino kompleksinių skaičių geometrinę interpretaciją.

Taikymai

Įsivaizduojamieji ir kompleksiniai skaičiai naudojami daugelyje sričių:

  • Elektrotechnikoje: kintamosios srovės grandinių analizėje naudojami fazoriai; inžinieriai dažnai žymi įsivaizduojamą vienetą kaip j, kad nesupainiotų su srove (žymima i).
  • Signalų apdorojime ir Fourier analizėje: kompleksiniai eksponentai leidžia patogiai aprašyti periodinius signalus, filtrų darbą ir spektrą.
  • Kontrolės teorijoje ir automatikoje: perdavimo funkcijos, stabilumo analizė ir dažnių charakteristikos dažnai paremtos kompleksine eiga.
  • Fizikoje: kvantinė mechanika, didelės energijos fizika ir bangų teorijos naudoja kompleksinius amplitudes ir fazes.
  • Matematikoje: diferencialinės lygtys, kompleksinė analizė ir dinamika remiasi kompleksinių funkcijų savybėmis.

Santrauka

Įsivaizduojamieji skaičiai nėra vien „įsivaizduojami“ prasmėje neegzistuojantys – jie turi tvirtą algebrinį ir geometrinį pagrindą. Įvedus i su savybe i2 = −1, matematikos ir inžinerijos sritys įgavo galingą priemonę, leidžiančią spręsti anksčiau neįmanomas užduotis ir patogiai modeliuoti fizikinius reiškinius.