Įsivaizduojamasis vienetas i: apibrėžimas, savybės ir pritaikymai

Atrask i – kompleksinio skaičiaus šerdį: apibrėžimas, matematinės savybės ir praktiniai pritaikymai inžinerijoje, fizikoje bei signalų apdorojime.

Autorius: Leandro Alegsa

Matematikoje įsivaizduojamieji vienetai arba i - tai skaičiai, kuriuos galima pateikti lygtimis, bet kurie reiškia vertes, kurios realiame gyvenime fiziškai negali egzistuoti. Matematinis įsivaizduojamojo vieneto apibrėžimas yra toks: i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} kuris turi savybę i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\kartais i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}.

Priežastis, dėl kurios buvo sukurta i, buvo atsakyti į polinomo lygtį x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}, kuri paprastai neturi sprendinio, nes x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} reikšmė turėtų būti lygi -1. Nors uždavinys išsprendžiamas, tačiau kvadratinės šaknies iš -1 realiame gyvenime negalima išreikšti fizikiniu dydžiu iš jokių objektų.

Apibrėžimas ir prielaidos

Įsivaizduojamasis vienetas i yra abstrakti matematinė koncepcija, kuri numato kvadratinę šaknį iš -1. Tai leidžia kurti kompleksinius skaičius, kurie uždaro daugelį algebrai ir analizėje svarbių uždavinių sprendimą. Kompleksinis skaičius rašomas kaip a + bi, kur a ir b yra realūs skaičiai, o i yra įsivaizduojamasis vienetas.

Savybės ir pagrindinės taisyklės

  • Pagrindinė savybė: i² = −1.
  • Potencijų ciklas: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, po ko ciklas kartojasi (i⁵ = i ir t. t.).
  • Sudėtis ir atimtis: kompleksiniai skaičiai sudedami koordinatėmis: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
  • Daugyba: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, naudodami i² = −1.
  • Konjuguotas skaičius: kompleksinio skaičiaus a+bi konjuguotas yra a−bi. Kartojant sandaugą su konjuguotu, gaunamas realus skaičius: (a+bi)(a−bi) = a² + b².
  • Modulis: |a+bi| = sqrt(a² + b²) — atstumas nuo skaičiaus iki koordinačių pradžios kompleksiškai plokštumoje.

Geometrinė interpretacija ir kompleksinė plokštuma

Kompleksiniai skaičiai grafiškai vaizduojami Argand plokštumoje: realioji a ašis horizontali, o įsivaizduojamoji b ašis vertikali. Tokiu būdu i atitinka vienetinį vektorių aukštyn (0 + 1i). Daugyba iš i atitinka sukimą per 90° prieš laikrodžio rodyklę: (a+bi) × i = −b + ai.

Polarinis pavidalas ir Eilerio formulė

Kiekvieną kompleksinį skaičių galima užrašyti poliariniu pavidalu r(cos θ + i sin θ) arba r e^{iθ}, kur r = |a+bi|, θ = arg(a+bi). Eilerio formulė jungia trigonometrines ir eksponentines funkcijas: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Tai labai naudinga periodinėms funkcijoms analizuoti ir sinchroninių procesų aprašymui.

Algebra ir teorija

Kompleksiniai skaičiai sudaro lauką (field), kuris yra realiųjų skaičių pratęsimas; kiekviena polinomo laipsnio n su kompleksiniais koeficientais turi n šaknų (Fundamentinė algebros teorema). Be to, i gali būti reprezentuojamas kaip 2×2 matrica:

i ↔ [[0, −1], [1, 0]], kurios kvadratas lygus −I (t. y. −1 dauginimo matricai).

Pavyzdžiai

  • (1 + 2i) + (3 − i) = 4 + i.
  • (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
  • Paskaičiuokite dalybą: (3 + 2i) / (1 − i) = ((3 + 2i)(1 + i)) / ((1 − i)(1 + i)) = (3 + 3i + 2i + 2i²) / 2 = (1 + 5i)/2 = 0.5 + 2.5i.

Pritaikymai

Įsivaizduojamasis vienetas i ir kompleksiniai skaičiai yra plačiai taikomi:

  • Elektronikoje ir elektrotechnikos inžinerijoje — fazoriai, kintamos srovės analizė;
  • Signalų apdorojime — keturkampės ir Fourier transformacijos, filtrų projektavimas;
  • Valdymo teorijoje — sistemos stabilumo tyrimai (Polė/rydžio plokštumos metodai);
  • Kvantinėje mechanikoje — bangų funkcijų ir operatorių aprašymas;
  • Diferencialinių lygčių sprendimuose, vibracijų ir bangų teorijoje;
  • Kompiuterinėje grafikoje ir kriptografijoje tam tikrais atvejais.

Komentaras apie „realią egzistenciją“

Nors i fiziškai neegzistuoja kaip matuojamas dydis, jis yra labai naudingas matematikos ir inžinerijos modeliavime. Tai abstraktus įrankis, leidžiantis tirti ir spręsti realių sistemų elgesį daug aiškiau ir efektyviau nei vien realių skaičių rėmuose.

Trumpai tariant, įsivaizduojamasis vienetas i praplečia skaičių sistemą, leidžia spręsti lygtis, aprašyti sukimąsi ir bangas, bei turi plačias taikymo sritis technologijose ir moksle.

Kvadratinė šaknis iš i

Kartais manoma, kad norint parodyti kvadratinę šaknį iš i, reikia sukurti kitą skaičių, tačiau to nereikia. Kvadratinę šaknį iš i galima užrašyti taip: i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} .
Tai galima parodyti kaip:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

= ( ± 2 2 ) 2 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

= ( ± 1 ) 2 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

= i {\displaystyle =i\ } {\displaystyle =i\ }



Galia i

"i" galios yra nuspėjamos:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} {\displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} {\displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} {\displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} {\displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} {\displaystyle i^{6}=-1}

Tai galima įrodyti tokiu modeliu, kur n yra bet koks sveikasis skaičius:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Susiję puslapiai

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra įsivaizduojamasis vienetas?


A: Įsivaizduojamasis vienetas yra skaičiaus reikšmė, kuri egzistuoja tik už realiųjų skaičių ribų ir naudojama algebroje.

K: Kaip naudojame įsivaizduojamąjį vienetą?


A: Norėdami gauti įsivaizduojamąjį skaičių, įsivaizduojamąjį vienetą dauginame iš realiojo skaičiaus.

K: Kam naudojami įsivaizduojamieji skaičiai?


A: Įsivaizduojamuosius skaičius galima naudoti sprendžiant daugelį matematinių uždavinių.

K: Ar galime vaizduojamąjį skaičių pavaizduoti realiais daiktais?


Atsakymas: Ne, įsivaizduojamo skaičiaus negalime pavaizduoti realiais daiktais.

K: Iš kur kilęs įsivaizduojamasis vienetas?


A: Įsivaizduojamasis vienetas yra kilęs iš matematikos ir algebros.

K: Ar įsivaizduojamasis vienetas yra realiųjų skaičių dalis?


Atsakymas: Ne, jis egzistuoja už realiųjų skaičių srities ribų.

K: Kaip apskaičiuoti įsivaizduojamąjį skaičių? A: Įsivaizduojamąjį skaičių apskaičiuosite realųjį skaičių padauginę iš įsivaizduojamojo vieneto.


Ieškoti
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3