Matematikoje įsivaizduojamieji vienetai arba i - tai skaičiai, kuriuos galima pateikti lygtimis, bet kurie reiškia vertes, kurios realiame gyvenime fiziškai negali egzistuoti. Matematinis įsivaizduojamojo vieneto apibrėžimas yra toks: i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} kuris turi savybę i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\kartais i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}.

Priežastis, dėl kurios buvo sukurta i, buvo atsakyti į polinomo lygtį x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}, kuri paprastai neturi sprendinio, nes x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} reikšmė turėtų būti lygi -1. Nors uždavinys išsprendžiamas, tačiau kvadratinės šaknies iš -1 realiame gyvenime negalima išreikšti fizikiniu dydžiu iš jokių objektų.

Apibrėžimas ir prielaidos

Įsivaizduojamasis vienetas i yra abstrakti matematinė koncepcija, kuri numato kvadratinę šaknį iš -1. Tai leidžia kurti kompleksinius skaičius, kurie uždaro daugelį algebrai ir analizėje svarbių uždavinių sprendimą. Kompleksinis skaičius rašomas kaip a + bi, kur a ir b yra realūs skaičiai, o i yra įsivaizduojamasis vienetas.

Savybės ir pagrindinės taisyklės

  • Pagrindinė savybė: i² = −1.
  • Potencijų ciklas: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, po ko ciklas kartojasi (i⁵ = i ir t. t.).
  • Sudėtis ir atimtis: kompleksiniai skaičiai sudedami koordinatėmis: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
  • Daugyba: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, naudodami i² = −1.
  • Konjuguotas skaičius: kompleksinio skaičiaus a+bi konjuguotas yra a−bi. Kartojant sandaugą su konjuguotu, gaunamas realus skaičius: (a+bi)(a−bi) = a² + b².
  • Modulis: |a+bi| = sqrt(a² + b²) — atstumas nuo skaičiaus iki koordinačių pradžios kompleksiškai plokštumoje.

Geometrinė interpretacija ir kompleksinė plokštuma

Kompleksiniai skaičiai grafiškai vaizduojami Argand plokštumoje: realioji a ašis horizontali, o įsivaizduojamoji b ašis vertikali. Tokiu būdu i atitinka vienetinį vektorių aukštyn (0 + 1i). Daugyba iš i atitinka sukimą per 90° prieš laikrodžio rodyklę: (a+bi) × i = −b + ai.

Polarinis pavidalas ir Eilerio formulė

Kiekvieną kompleksinį skaičių galima užrašyti poliariniu pavidalu r(cos θ + i sin θ) arba r e^{iθ}, kur r = |a+bi|, θ = arg(a+bi). Eilerio formulė jungia trigonometrines ir eksponentines funkcijas: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Tai labai naudinga periodinėms funkcijoms analizuoti ir sinchroninių procesų aprašymui.

Algebra ir teorija

Kompleksiniai skaičiai sudaro lauką (field), kuris yra realiųjų skaičių pratęsimas; kiekviena polinomo laipsnio n su kompleksiniais koeficientais turi n šaknų (Fundamentinė algebros teorema). Be to, i gali būti reprezentuojamas kaip 2×2 matrica:

i ↔ [[0, −1], [1, 0]], kurios kvadratas lygus −I (t. y. −1 dauginimo matricai).

Pavyzdžiai

  • (1 + 2i) + (3 − i) = 4 + i.
  • (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
  • Paskaičiuokite dalybą: (3 + 2i) / (1 − i) = ((3 + 2i)(1 + i)) / ((1 − i)(1 + i)) = (3 + 3i + 2i + 2i²) / 2 = (1 + 5i)/2 = 0.5 + 2.5i.

Pritaikymai

Įsivaizduojamasis vienetas i ir kompleksiniai skaičiai yra plačiai taikomi:

  • Elektronikoje ir elektrotechnikos inžinerijoje — fazoriai, kintamos srovės analizė;
  • Signalų apdorojime — keturkampės ir Fourier transformacijos, filtrų projektavimas;
  • Valdymo teorijoje — sistemos stabilumo tyrimai (Polė/rydžio plokštumos metodai);
  • Kvantinėje mechanikoje — bangų funkcijų ir operatorių aprašymas;
  • Diferencialinių lygčių sprendimuose, vibracijų ir bangų teorijoje;
  • Kompiuterinėje grafikoje ir kriptografijoje tam tikrais atvejais.

Komentaras apie „realią egzistenciją“

Nors i fiziškai neegzistuoja kaip matuojamas dydis, jis yra labai naudingas matematikos ir inžinerijos modeliavime. Tai abstraktus įrankis, leidžiantis tirti ir spręsti realių sistemų elgesį daug aiškiau ir efektyviau nei vien realių skaičių rėmuose.

Trumpai tariant, įsivaizduojamasis vienetas i praplečia skaičių sistemą, leidžia spręsti lygtis, aprašyti sukimąsi ir bangas, bei turi plačias taikymo sritis technologijose ir moksle.