Matematikoje skaičiaus negalima dalyti iš nulio. Paaiškinkime aiškiau, kodėl taip yra ir kuo skiriasi 0/0 (vadinama „neapibrėžta forma“) nuo A/0 su A ≠ 0 (taip pat neapibrėžta).
1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C}
Jei B = 0, tai iškart C = 0 (nes bet koks skaičius padauginus iš nulio duoda nulį). Tai visiška tiesa.
2. A = C / B {\displaystyle A=C/B}
Tačiau formulė A = C / B remiasi prielaida, kad daliklis B turi reikšmę, kuria galima dalinti (t. y. turi būti invertuojamas). Jei B = 0, tokios invertuotės nėra — todėl iš C = A*0 nenaudinga bandyti gauti A = C/0.
3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0}
Problema ta, kad A {\displaystyle A}
gali būti bet koks skaičius. Iš 0 = 0 negalima atkurti vienareikšmio skaičiaus A — bet kokia reikšmė tiktų. Dėl to sakoma, kad 0/0 yra „neapibrėžtos formos“ — ji neturi vienos išskirtinės reikšmės.
Kodėl nulio nėra atvirkščio (multiplicative inverse)?
Dalijimas iš B reiškia dauginimą iš B atvirkštinio skaičiaus (1/B). Nulio atvirkštinis neegzistuoja, nes nėra tokio skaičiaus x, kad 0·x = 1 (o 0·x visada lygu 0). Taigi veiksmas „dalyti iš nulio“ realiųjų skaičių aibėje neturi prasmės — jis neišveda į jokį realų skaičių.
Skirtumas tarp A/0 (A ≠ 0) ir 0/0
- A/0, A ≠ 0: ši išraiška neturi reikšmės realių skaičių aibėje. Kai kurios plėtinės skaičių sistemos (pvz., pratęsta realiųjų skaičių aibė) leidžia naudojant atvaizdavimą gauti „∞“ ar „−∞“ kaip ribą esant tam tikram kontekstui, bet tai nesuteikia vienareikšmės realios reikšmės A/0. Pvz., lim x→0+ 1/x = +∞, lim x→0− 1/x = −∞ — skirtumai priklauso nuo to, kaip prieiname nulį.
- 0/0: vadinama indeterminate (neapibrėžta) forma. Ji reiškia, kad paprasta ar stačiokai dalinant gauname nenuoseklų rezultatą — priklausomai nuo to, iš kokių reiškinių ji atsiranda (pvz., limituose), galutinis rezultatas gali būti bet kas. Pavyzdžiui, lim x→0 (x/x) = 1, bet lim x→0 ((2x)/x) = 2, o lim x→0 ((x^2)/x) = 0 — visos šios limitų formos prieš supaprastinimą yra „0/0“, bet jų ribos skiriasi.
Klaidingo dalinimo iš nulio pavyzdys
Dažnas klaidingas „įrodymas“, kad 1 = 2, remiasi užslėptu dalijimu iš nulio. Pavyzdys:
Pradėkime nuo a = b. Tuomet a^2 = ab. Atimk b^2 iš ab: a^2 − b^2 = ab − b^2. Tai faktorizuojant duoda (a − b)(a + b) = b(a − b). Dalinkime abi puses iš (a − b) ir gausime a + b = b, o tada, su a = b, turime 2b = b ir galiausiai 2 = 1. Kur klaida? Ji tame, kad a = b reiškia a − b = 0, ir dalijimas iš (a − b) yra dalijimas iš nulio — negalimas žingsnis, todėl „įrodymas“ neteisingas.
Limityje ir skaičiavimuose
Matematikoje, ypač analizėje, išraiškos, duodančios formą 0/0, dažnai pasitaiko limituose. Tai nėra pranešimas, kad ribos nėra — tai ženklas, jog reikia naudoti papildomus metodus (supaprastinimą, išskleidimą, l’Hôpital taisyklę), kad nustatytume galutinę ribą. Tuo tarpu reiškiniai su A/0 (A ≠ 0) paprastai rodo, jog funkcija auga arba mažėja be ribos (artėja prie begalybės iš tam tikros pusės), bet pati išraiška vis tiek nėra galutinė reali reikšmė.
Santrauka
- Dalyti iš nulio realių skaičių aibėje negalima, nes nulis neturi multiplikatyvinio atvirkščio.
- A/0 su A ≠ 0 yra neapibrėžta (dažnai susijusi su „begalybe“ kontekste, bet tai nėra realus skaičius).
- 0/0 yra indeterminate forma — ji neturi vienos reikšmės ir gali duoti skirtingas ribas priklausomai nuo konteksto (pvz., limituose).
Dėl šių priežasčių sakome, kad taisyklės, kurios galioja įprastai dalinant ir dauginant (pvz., kad jeigu x·y = x·z ir x ≠ 0, tai y = z), negalioja, kai vienas iš daryti veiksmų apima dalijimą iš nulio.
Jei norite, galiu parodyti kelis konkrečius pavyzdžius su limitais, parodant, kodėl 0/0 duoda skirtingas ribas, arba parodyti, kaip tvarkingai paaiškinti A/0 elgesį su pratęstomis skaičių aibėmis.
Problema taip pat paaiškinta aukščiau: begalybės sąvoka kartais vartojama, bet ji pati nėra realus skaičius ir neatstoja dalijimo rezultatui be papildomo konteksto.
