Dalyba iš nulio: kodėl 0/0 neapibrėžta ir A/0 problema

Sužinokite, kodėl dalyba iš nulio neveikia: 0/0 – neapibrėžta forma, A/0 – problema, paaiškinimai ir aiškūs pavyzdžiai matematikos supratimui.

Autorius: Leandro Alegsa

Matematikoje skaičiaus negalima dalyti iš nulio. Paaiškinkime aiškiau, kodėl taip yra ir kuo skiriasi 0/0 (vadinama „neapibrėžta forma“) nuo A/0 su A ≠ 0 (taip pat neapibrėžta).

  • 1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} {\displaystyle A*B=C}

    Jei B = 0, tai iškart C = 0 (nes bet koks skaičius padauginus iš nulio duoda nulį). Tai visiška tiesa.

  • 2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} {\displaystyle A=C/B}

    Tačiau formulė A = C / B remiasi prielaida, kad daliklis B turi reikšmę, kuria galima dalinti (t. y. turi būti invertuojamas). Jei B = 0, tokios invertuotės nėra — todėl iš C = A*0 nenaudinga bandyti gauti A = C/0.

  • 3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} {\displaystyle A=0/0}

    Problema ta, kad A {\displaystyle A}{\displaystyle A} gali būti bet koks skaičius. Iš 0 = 0 negalima atkurti vienareikšmio skaičiaus A — bet kokia reikšmė tiktų. Dėl to sakoma, kad 0/0 yra „neapibrėžtos formos“ — ji neturi vienos išskirtinės reikšmės.

Kodėl nulio nėra atvirkščio (multiplicative inverse)?

Dalijimas iš B reiškia dauginimą iš B atvirkštinio skaičiaus (1/B). Nulio atvirkštinis neegzistuoja, nes nėra tokio skaičiaus x, kad 0·x = 1 (o 0·x visada lygu 0). Taigi veiksmas „dalyti iš nulio“ realiųjų skaičių aibėje neturi prasmės — jis neišveda į jokį realų skaičių.

Skirtumas tarp A/0 (A ≠ 0) ir 0/0

  • A/0, A ≠ 0: ši išraiška neturi reikšmės realių skaičių aibėje. Kai kurios plėtinės skaičių sistemos (pvz., pratęsta realiųjų skaičių aibė) leidžia naudojant atvaizdavimą gauti „∞“ ar „−∞“ kaip ribą esant tam tikram kontekstui, bet tai nesuteikia vienareikšmės realios reikšmės A/0. Pvz., lim x→0+ 1/x = +∞, lim x→0− 1/x = −∞ — skirtumai priklauso nuo to, kaip prieiname nulį.
  • 0/0: vadinama indeterminate (neapibrėžta) forma. Ji reiškia, kad paprasta ar stačiokai dalinant gauname nenuoseklų rezultatą — priklausomai nuo to, iš kokių reiškinių ji atsiranda (pvz., limituose), galutinis rezultatas gali būti bet kas. Pavyzdžiui, lim x→0 (x/x) = 1, bet lim x→0 ((2x)/x) = 2, o lim x→0 ((x^2)/x) = 0 — visos šios limitų formos prieš supaprastinimą yra „0/0“, bet jų ribos skiriasi.

Klaidingo dalinimo iš nulio pavyzdys

Dažnas klaidingas „įrodymas“, kad 1 = 2, remiasi užslėptu dalijimu iš nulio. Pavyzdys:

Pradėkime nuo a = b. Tuomet a^2 = ab. Atimk b^2 iš ab: a^2 − b^2 = ab − b^2. Tai faktorizuojant duoda (a − b)(a + b) = b(a − b). Dalinkime abi puses iš (a − b) ir gausime a + b = b, o tada, su a = b, turime 2b = b ir galiausiai 2 = 1. Kur klaida? Ji tame, kad a = b reiškia a − b = 0, ir dalijimas iš (a − b) yra dalijimas iš nulio — negalimas žingsnis, todėl „įrodymas“ neteisingas.

Limityje ir skaičiavimuose

Matematikoje, ypač analizėje, išraiškos, duodančios formą 0/0, dažnai pasitaiko limituose. Tai nėra pranešimas, kad ribos nėra — tai ženklas, jog reikia naudoti papildomus metodus (supaprastinimą, išskleidimą, l’Hôpital taisyklę), kad nustatytume galutinę ribą. Tuo tarpu reiškiniai su A/0 (A ≠ 0) paprastai rodo, jog funkcija auga arba mažėja be ribos (artėja prie begalybės iš tam tikros pusės), bet pati išraiška vis tiek nėra galutinė reali reikšmė.

Santrauka

  • Dalyti iš nulio realių skaičių aibėje negalima, nes nulis neturi multiplikatyvinio atvirkščio.
  • A/0 su A ≠ 0 yra neapibrėžta (dažnai susijusi su „begalybe“ kontekste, bet tai nėra realus skaičius).
  • 0/0 yra indeterminate forma — ji neturi vienos reikšmės ir gali duoti skirtingas ribas priklausomai nuo konteksto (pvz., limituose).

Dėl šių priežasčių sakome, kad taisyklės, kurios galioja įprastai dalinant ir dauginant (pvz., kad jeigu x·y = x·z ir x ≠ 0, tai y = z), negalioja, kai vienas iš daryti veiksmų apima dalijimą iš nulio.

Jei norite, galiu parodyti kelis konkrečius pavyzdžius su limitais, parodant, kodėl 0/0 duoda skirtingas ribas, arba parodyti, kaip tvarkingai paaiškinti A/0 elgesį su pratęstomis skaičių aibėmis.

Problema taip pat paaiškinta aukščiau: begalybės sąvoka kartais vartojama, bet ji pati nėra realus skaičius ir neatstoja dalijimo rezultatui be papildomo konteksto.

Neteisingi įrodymai, pagrįsti dalijimu iš nulio

Ypatingąjį dalybos iš nulio atvejį galima užmaskuoti algebriniu argumentu. Tai gali lemti neteisingus įrodymus, pavyzdžiui, 1=2, kaip toliau:

Darant šias prielaidas:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\0\times 2&=0.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}}

Turi būti teisinga:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}

Dalijant iš nulio gaunama:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} kartus 1={\frac {0}{0}}} kartus 2.} {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.}

Supaprastinkite:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} {\displaystyle 1=2.\,}

Klaidinga yra prielaida, kad dalijimas iš 0 yra teisėtas veiksmas, kai 0/0 = 1.

Dauguma žmonių tikriausiai atpažintų, kad pirmiau pateiktas "įrodymas" yra neteisingas, tačiau tą patį argumentą galima pateikti taip, kad būtų sunkiau pastebėti klaidą. Pavyzdžiui, jei 1 užrašomas kaip x, tai 0 gali būti paslėpta už x-x, o 2 - už x+x. Tada minėtą įrodymą galima pateikti taip:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}

todėl:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,}

Dalijant iš x - x gaunama:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} {\displaystyle x=x+x\,}

ir dalijant iš x gaunama:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} {\displaystyle 1=2.\,}

Pirmiau pateiktas "įrodymas" yra neteisingas, nes jis dalijasi iš nulio, kai dalijasi iš x-x, nes bet koks skaičius, atėmus save patį, yra nulis.

Skaičiavimas

Skaičiuoklėje minėtos "neapibrėžtosios formos" taip pat atsiranda dėl tiesioginio pakeitimo vertinant ribas.

Dalijimas iš nulio kompiuteriuose

Jei kompiuterio programa bando padalyti sveikąjį skaičių iš nulio, operacinė sistema paprastai tai nustato ir sustabdo programą. Paprastai ji išspausdina "klaidos pranešimą" arba pataria programuotojui, kaip patobulinti programą[]. Dalijimas iš nulio yra dažna kompiuterių programavimo klaida. Slankiojo kablelio skaičius (dešimtainį skaičių) dalijant iš nulio, priklausomai nuo to, kas dalijama iš nulio, paprastai gaunama arba begalybė, arba speciali NaN (ne skaičius) reikšmė.

Dalijimas iš nulio geometrijoje

Geometrijoje 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .}Ši begalybė (projekcinė begalybė) nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius, lygiai taip pat, kaip nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius

Klausimai ir atsakymai

K: Koks rezultatas gaunamas skaičių dalijant iš nulio?


Atsakymas: Skaičių dalijant iš nulio gaunama "neapibrėžta" arba "neapibrėžtoji forma", t. y. jis neturi vienos vertės.

K: Ką reiškia 0/0?


Atsakymas: 0/0 yra "neapibrėžtos formos" skaičius, nes jis neturi vienos vertės.

K: Kas atsitinka, kai du skaičiai yra lygūs tam pačiam dalykui, bet tas dalykas yra 0/0?


A: Įprastos matematikos taisyklės neveikia, kai skaičius dalijamas iš nulio, todėl šie du skaičiai nebus lygūs vienas kitam.

K: Ar tiesa, kad bet koks bandymas apibrėžti skaičių, kurio forma yra A/0, baigsis begalybės reikšme?


Atsakymas: Taip, bet koks bandymas apibrėžti skaičių, kurio forma yra A/0 (kur A nėra 0), duos begalybę, kuri pati savaime yra neapibrėžta.

K: Kaip nustatyti, ar du skaičiai yra lygūs vienas kitam?


A: Ar du skaičiai yra lygūs vienas kitam, galime nustatyti, jei abu jie yra lygūs tam pačiam dalykui. Paprastai tai veikia, tačiau tai negalioja, kai abu skaičiai yra lygūs 0/0.

Klausimas: Ar yra išimtis, kai negalime dalyti skaičiaus iš nulio? Atsakymas: Taip, matematikoje skaičiaus negalima dalyti iš nulio.


Ieškoti
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3