Dalijimas iš nulio

Matematikoje skaičiaus negalima dalyti iš nulio. Įsidėmėkite:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Jei B = 0, tai C = 0. Tai tiesa. Bet:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kai B=0, todėl tiesiog dalijame iš nulio)

Tai yra tas pats, kas:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problema ta, kad A {\displaystyle A} $A$ gali būti bet koks skaičius. Tai veiktų, jei A {\displaystyle A} $A$ būtų 1 arba 1 000 000 000 000. Dėl šios priežasties sakoma, kad 0/0 yra "neapibrėžtos formos", nes neturi vienos vertės. Kita vertus, A/0 formos skaičiai, kai A {\displaystyle A} $A$ nėra 0, vadinami "neapibrėžtaisiais" arba "neapibrėžtaisiais". Taip yra todėl, kad bet koks bandymas juos apibrėžti baigsis begalybės verte, kuri pati savaime yra neapibrėžta. Paprastai, kai du skaičiai yra lygūs tam pačiam dalykui, jie yra lygūs vienas kitam. Taip nėra, kai dalykas, kuriam jie abu lygūs, yra 0/0. Tai reiškia, kad įprastos matematikos taisyklės neveikia, kai skaičius dalijamas iš nulio.

Neteisingi įrodymai, pagrįsti dalijimu iš nulio

Ypatingąjį dalybos iš nulio atvejį galima užmaskuoti algebriniu argumentu. Tai gali lemti neteisingus įrodymus, pavyzdžiui, 1=2, kaip toliau:

Darant šias prielaidas:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Turi būti teisinga:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Dalijant iš nulio gaunama:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} kartus 1={\frac {0}{0}}} kartus 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Supaprastinkite:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Klaidinga yra prielaida, kad dalijimas iš 0 yra teisėtas veiksmas, kai 0/0 = 1.

Dauguma žmonių tikriausiai atpažintų, kad pirmiau pateiktas "įrodymas" yra neteisingas, tačiau tą patį argumentą galima pateikti taip, kad būtų sunkiau pastebėti klaidą. Pavyzdžiui, jei 1 užrašomas kaip x, tai 0 gali būti paslėpta už x-x, o 2 - už x+x. Tada minėtą įrodymą galima pateikti taip:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

todėl:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dalijant iš x - x gaunama:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

ir dalijant iš x gaunama:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Pirmiau pateiktas "įrodymas" yra neteisingas, nes jis dalijasi iš nulio, kai dalijasi iš x-x, nes bet koks skaičius, atėmus save patį, yra nulis.

Skaičiavimas

Skaičiuoklėje minėtos "neapibrėžtosios formos" taip pat atsiranda dėl tiesioginio pakeitimo vertinant ribas.

Dalijimas iš nulio kompiuteriuose

Jei kompiuterio programa bando padalyti sveikąjį skaičių iš nulio, operacinė sistema paprastai tai nustato ir sustabdo programą. Paprastai ji išspausdina "klaidos pranešimą" arba pataria programuotojui, kaip patobulinti programą^[]. Dalijimas iš nulio yra dažna kompiuterių programavimo klaida. Slankiojo kablelio skaičius (dešimtainį skaičių) dalijant iš nulio, priklausomai nuo to, kas dalijama iš nulio, paprastai gaunama arba begalybė, arba speciali NaN (ne skaičius) reikšmė.

Dalijimas iš nulio geometrijoje

Geometrijoje 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Ši begalybė (projekcinė begalybė) nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius, lygiai taip pat, kaip nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius

Klausimai ir atsakymai

K: Koks rezultatas gaunamas skaičių dalijant iš nulio?

Atsakymas: Skaičių dalijant iš nulio gaunama "neapibrėžta" arba "neapibrėžtoji forma", t. y. jis neturi vienos vertės.

K: Ką reiškia 0/0?

Atsakymas: 0/0 yra "neapibrėžtos formos" skaičius, nes jis neturi vienos vertės.

K: Kas atsitinka, kai du skaičiai yra lygūs tam pačiam dalykui, bet tas dalykas yra 0/0?

A: Įprastos matematikos taisyklės neveikia, kai skaičius dalijamas iš nulio, todėl šie du skaičiai nebus lygūs vienas kitam.

K: Ar tiesa, kad bet koks bandymas apibrėžti skaičių, kurio forma yra A/0, baigsis begalybės reikšme?

Atsakymas: Taip, bet koks bandymas apibrėžti skaičių, kurio forma yra A/0 (kur A nėra 0), duos begalybę, kuri pati savaime yra neapibrėžta.

K: Kaip nustatyti, ar du skaičiai yra lygūs vienas kitam?

A: Ar du skaičiai yra lygūs vienas kitam, galime nustatyti, jei abu jie yra lygūs tam pačiam dalykui. Paprastai tai veikia, tačiau tai negalioja, kai abu skaičiai yra lygūs 0/0.

Klausimas: Ar yra išimtis, kai negalime dalyti skaičiaus iš nulio? Atsakymas: Taip, matematikoje skaičiaus negalima dalyti iš nulio.