Sūkuringumas – apibrėžimas, formulė ir pritaikymai skysčių dinamikoje

Išsamus sūkuringumo paaiškinimas: formulė, vektorinė reikšmė, apskaičiavimas ir praktiniai pritaikymai skysčių dinamikoje bei ribinio sluoksnio modeliai.

Sūkuringumas yra matematinė sąvoka, naudojama skysčių dinamikoje. Ji gali būti siejama su skysčio "cirkuliacijos" arba "sukimosi" (tiksliau, vietinio kampinio sukimosi greičio) kiekiu.

Vidutinis sūkuringumas mažoje skysčio srauto srityje yra lygus cirkuliacijai Γ {\displaystyle \Gamma } aplink mažos srities ribą, padalytai iš mažos srities ploto A.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Sąvokos prasme sūkuringumas skysčio taške yra riba, kai mažos skysčio srities plotas taške artėja prie nulio:

ω = d Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

Matematiškai sūkuringumas taške yra vektorius ir apibrėžiamas kaip greičio kreivė:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. }

Viena iš pagrindinių potencialaus srauto prielaidų yra ta, kad sūkuringumas ω {\displaystyle \omega } yra lygus nuliui beveik visur, išskyrus ribinį sluoksnį arba srauto paviršių, kuris iš karto ribojasi su ribiniu sluoksniu.

Kadangi sūkurys - tai koncentruoto sūkuringumo sritis, nenulinis sūkuringumas šiuose konkrečiuose regionuose gali būti modeliuojamas sūkuriais.

Fizikinė prasmė ir matavimo vienetai

Sūkuringumas yra matas, kiek vietinio skysčio dalelės „sukasi“ aplink savo masės centro. Fiziškai tai nėra tiesioginis kampinis greitis, bet susijęs su juo: idealiu kietojo kūno sukimusi vietinis kampinis greitis yra lygus sūkuringumui dalintam iš 2 (vietinis rigid-body sukimas turi ω = 2Ω, kur Ω – kampinis greitis). Sūkuringumo vienetas SI sistemoje yra s^-1 (1/s).

Formulės ir komponentai koordinatėse

Vektorinė formulė ω → = ∇ → × v → reiškia, kad sūkuringumas turi tris komponentes, kurias galima rašyti karteziškose koordinatėse (v = (u,v,w)):

• ωx = ∂w/∂y − ∂v/∂z
• ωy = ∂u/∂z − ∂w/∂x
• ωz = ∂v/∂x − ∂u/∂y

Dažnai, kai nagrinėjamas dvejapamatis (2D) srautas XY plokštumoje su v = (u(x,y), v(x,y), 0), lieka tik vienas sūkuringumo komponentas:

ωz = ∂v/∂x − ∂u/∂y.

2D srautuose taip pat dažnai naudojamas potvorių (stream function) ψ ryšys, kai u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, ir tada ωz = −∇²ψ (laplasiano iš potvorių su ženklu).

Sūkuringumo evoliucija ir fizikinių procesų paaiškinimas

Sūkuringumo evoliucija skysčiuose aprašoma sūkuringumo transporto lygtimi. Inertiškame, klampiame skystyje ji apima kelis terminus:

• konvekciją (transportavimą su tėkme),
• vortexų tempimo terminą (vortex stretching) (ω·∇)v, reikšmingą trimačiuose srautuose, kur sūkuringumas gali būti sustiprintas tempimo poveikiu,
• difuzinį terminą ν∇²ω dėl klampos ν (sūkuringumo sklaidymui),
• barokinį terminą (1/ρ² ∇ρ × ∇p), gaunamą, kai tankis ir slėgis nėra izobarinės funkcijos (pvz., atmosferoje).

Pritaikymai ir reikšmė praktikoje

Sūkuringumas yra svarbus tiek teorinėje, tiek taikytojoje hidrodinamikoje ir aerodinamikoje:

• Aerodinamika: sparnų keliamoji jėga susijusi su cirkuliacija aplink profilius (Kutta–Joukowski teorema); sparnų galų sūkuriai formuoja nugaroje esančius intensyvius sūkurius, kurie turi įtakos nuostoliams ir stabilumui.
• Meteorologija: ciklonai ir anticiklonai yra didelio masto vorticity struktūros; sūkuringumo žemėlapių analizė padeda numatyti ciklonų formavimąsi ir jėgą.
• Mišinimas ir dispersija: sūkuriai skatina skysčių ir priemaišų maišymą, todėl svarbūs cheminių reaktorių, atliekų valymo ir gamybos procesuose.
• Turbulencija: mažų mastelių sūkuriai yra pagrindiniai energijos perdavimo mechanizmai; enstrofija (integralas iš ω²) naudojama turbulencijos apibūdinimui.
• Srautų modeliavimas: potencialūs srautai modeliuojami su ω ≈ 0 beveik visur; tačiau ribiniai sluoksniai, srauto atskyrimai ir sūkuriai (pvz., vortex sheet) reikalauja sūkuringumo aprašymo.

Paprasti modeliai ir iliustracijos

• Taškinis sūkurys (point vortex): idealizuotas 2D modelis, kur vorticity yra delta funkcija – sūkurys neturi ploto, bet sukelia apytakinį greitį aplink tašką.
• Rankine'o sūkurys: paprastas modelis, kuriame centre yra kietas kūnas su pastoviu kampiniu greičiu (viduje ω = const), o išorėje srautas elgiasi kaip potencialus srautas.
• Lamb–Oseen sūkurys: modelis, apibūdinantis realaus klampaus sūkurių difuziją laikui bėgant (naudojamas pavarų sūkurio profilį aprašyti).

Skaičiavimo pastabos ir praktiniai patarimai

• Sūkuringumas dažnai apskaičiuojamas skaitinėje dinamikoje kaip rotacijos operatorius taškiniuose tinkleliuose; skaitinė sandara, grid asimetrija ir triukšmas gali paveikti ω skaičiavimą, todėl dažnai taikoma filtracija arba aukštesnės eilės aproksimacijos.
• Ribiniuose sluoksniuose sūkuringumas generuojamas dėl tangentinio greičio gradientų prie sienos (no-slip sąlyga), todėl ribinių sluoksnių tirtuvai dažnai koncentruojasi ties ω analizėmis.

Apibendrinant: sūkuringumas yra pagrindinė skysčių dinamikos savybė, kuri kvantifikuoja vietinį skysčio sukimąsi, sieja cirkuliaciją su erdviniu pasiskirstymu ir atlieka svarbų vaidmenį tiek teoriniuose modeliuose, tiek praktinėse inžinerinėse ir gamtinėse taikytinėse srityse.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra vudu?

K: Kaip apskaičiuojamas sūkuringumas?

Klausimas: Ar yra kokia nors pagrindinė prielaida, susijusi su sūkuringumu?

K: Kas atsitinka, kai yra sričių, kuriose sūkuringumas nenulinis?

K: Ką reiškia Γ?

K: Ką reiškia ω?

Paieška pagal raidę