Nelygybė matematikoje reiškia, kad dvi reikšmės arba reiškiniai nėra lygūs ir viena iš jų yra didesnė arba mažesnė už kitą. Nelygybė gali būti griežta (kai viena pusė yra tikrai didesnė ar mažesnė) arba negriežta (kai kita reikšmė gali būti lygi arba didesnė/mažesnė).

Pagrindiniai simboliai ir jų reikšmė

  • mažiau nei (a < b): a < b {\displaystyle \ a<b} reiškia, kad a yra mažesnis už b.
  • daugiau nei (a > b): a > b {\displaystyle \ a>b} reiškia, kad a yra didesnis už b.
  • ne mažiau nei / didesnis arba lygus (a ≥ b): a ≥ b {\displaystyle a\geq b} reiškia, kad a yra arba didesnis už, arba lygus b.
  • ne daugiau nei / mažesnis arba lygus (a ≤ b): a ≤ b {\displaystyle a\leq b} reiškia, kad a yra arba mažesnis už, arba lygus b.
  • nelygu (a ≠ b): reiškia, kad a nėra lygu b (tai dažnai žymi, jog reikšmės skiriasi).

Savybės ir pagrindinės taisyklės

  • Transityvumas: jeigu a < b ir b < c, tai a < c. Panašiai, jeigu a ≤ b ir b ≤ c, tai a ≤ c. Jeigu mišrios: a < b ir b ≤ c, tai a < c.
  • Pridėjimas/išskaičiavimas: jeigu a < b, tai a + c < b + c (pridėjus tą pačią reikšmę abiejoms pusėms, nelygybės ženklas nesikeičia).
  • Dauginimas/išskaičiavimas iš skaičiaus: jeigu dauginate arba dalinate abi nelygybės puses iš teigiamo skaičiaus, ženklas lieka toks pats. Jeigu dauginama arba dalinama iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas apsiverčia (pvz., jeigu a < b ir dauginate iš -1, gaunate -a > -b).
  • Sandauga su nuliu: jeigu a < b ir abi pusės dauginamos iš 0, gaunate lygybę 0 = 0 (todėl dauginti iš 0 nelygybės reikšmės prasme nėra prasminga).
  • Atvirieji ir uždari intervalai: nelygybės ženklai susiję su intervalų užrašu: (a, b) reiškia a <x< b (abi galimos reikšmės atviros), [a, b] reiškia a ≤ x ≤ b (abi uždari).

Kaip sprendžiamos paprastos nelygybės — žingsniai

Bendri žingsniai sprendžiant linijinę nelygybę:

  1. Atlikite tas pačias aritmetines operacijas abiejose nelygybės pusėse (sudėkite arba atimkite skaičių, kad izoliuotumėte nežinomąją).
  2. Jeigu reikia, padalinkite arba padauginkite abi puses iš skaičiaus. Atkreipkite dėmesį į ženklą: dalinant arba dauginant iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas apsiverčia.
  3. Patikrinkite sprendinį (įstatykite rasti reikšmes atgal į originalią nelygybę) ir užrašykite sprendinių aibę (intervalo arba nurodydami visus galimus sprendinius).

Pavyzdžiai

  • 2x + 3 < 7 → 2x < 4 → x < 2.
  • -2x > 4 (dauginome/dalinome iš -1), tad padalinus iš -2 ženklas apsivers: x < -2.
  • Jeigu 1 < x ≤ 4, tai x priklauso intervalui (1, 4] — atviras kairėje ir uždaras dešinėje.
  • Jeigu turime a < b ir b ≤ c, tai iš transityvumo gauname a < c.

Grafinis vaizdavimas ant skaičių tiesės

Nelygybes grafiškai vaizduojamos ant skaičių tiesės: griežtos nelygybės (< arba >) žymimos tuščiomis (atviromis) žymėmis taško vietoje, o negriežtos (≤ arba ≥) — uždarais (užpildytais) taškais. Intervalai su begalybe žymimi rodyklėmis, pavyzdžiui x > 3 reiškia tašką prie 3 atviros formos ir rodyklę į dešinę.

Kiti pastebėjimai

  • Nelygybių sistema: kai vienu metu tenkina keli nelygybių uždaviniai, spręsite sistemą (randama sandauga visų atskirų sprendinių aibių).
  • Funkcijų lygtims ir nelygybėms taikomos papildomos technikos (kvadratinės nelygybės sprendžiamos naudojant nulinius taškus, ženklų lenteles, o racionalios nelygybės reikalauja bendrosios vardiklio analizės).
  • Atkreipkite dėmesį: operacijos, kurios apima apytikslius skaičius ar srautus (pvz., logaritmai, kvadratiniai šaknys), kartais turi papildomų sąlygų sprendžiant nelygybes — būtina patikrinti, kad abi pusės būtų apibrėžtos.

Apibendrinant: nelygybės leidžia palyginti dydžius ir apibrėžti intervalus. Svarbiausios taisyklės — transityvumas, tai, kad pridedant ar daugindami iš teigiamo skaičiaus ženklas lieka, o dauginant ar dalinant iš neigiamo skaičiaus jis apsiverčia. Praktikoje svarbu rodyti žingsnius aiškiai ir tikrinti sprendinius.