Lygybė matematikoje: sąvoka, simboliai, lygtys ir kongruencija

Sužinokite lygybės sąvoką matematikoje: ženklus, lygtis, nelygybes, kongruenciją ir praktinius pavyzdžius — aiškiai, glaustai ir suprantamai.

Matematikoje du dalykai yra lygūs tada ir tik tada, kai jie yra visiškai vienodi visais atžvilgiais. Tai reiškia, kad jie turi tą pačią (matematinę) vertę ir tas pačias matematines savybes. Matematikai tam pasakoje naudoja lygybės ženklą (=). Taip apibrėžiamas dvejetainis (dvinaris) santykis — lygybė. Teiginys "x = y" reiškia, kad x ir y yra lygūs ir gali būti pakeisti vienas kitu išsaugant teisingumą (substitucijos savybė).

Savybės ir naudojimas

Lygybė matematikoje turi keletą pagrindinių savybių, kurios dažnai yra aiškinamos kaip aksiomos:

• Refleksyvumas: kiekvienas objektas yra lygus pačiam sau (x = x).
• Simetriškumas: jei x = y, tai y = x.
• Transityvumas: jei x = y ir y = z, tai x = z.

Be šių, svarbi praktinė savybė — substitucija: jeigu x = y, tai bet kuris išraiškos kontekstas f(x) gali būti pakeistas į f(y) neprarasdamas teisingumo. Šios savybės lemia, kaip lygybė veikia algebrines manipuliacijas ir įrodymus.

Aibių lygybė ir lygiavertiškumas

Lygiavertiškumas santykis, t. y. kai abi aibės turi lygiai tuos pačius elementus — taip apibūdinama aibių lyguma. Kad aibės būtų lygios, jos nebūtinai turi būti baigtinės; begalinės aibės taip pat gali būti lygios, jei kiekvienas elementas vienoje aibėje yra ir kitoje ir atvirkščiai. Kiti bendresni atitikmenys (pvz., klasifikacijos pagal tam tikrą kriterijų) apibūdinami kaip ekvivalencijos santykiai (equivalence relations), kurie turi refleksyvumo, simetriškumo ir transityvumo savybes.

Lygtis ir nelygybė

Teiginys, kad dvi išraiškos žymi vienodus dydžius, yra lygtis. Lygtys naudojamos apibrėžti, išreikšti ir spręsti uždavinius (pvz., x + 2 = 5). Priešinga sąvoka — nelygybė, kuri reiškia, kad dydžiai nėra vienodi (pvz., x < y, x ≥ y). Nelygybės ženklai (<, >, ≤, ≥) įgalina palyginimus ir rangavimo santykius matematikos uždaviniais.

Logika ir predikatai

Kai lyginamasis santykis nagrinėjamas per predikatus, lygybė yra dvietis predikatas, t. y. funkcija, kuri grąžina tiesą arba melą, priklausomai nuo dviejų argumentų. Iš logikos perspektyvos, jei galima rasti savybę, kuri yra teisinga vienam kintamajam, bet ne kitam, tie kintamieji nelaikomi lygiais. Šį principą dažnai išreiškia kaip Leibnico įstatymą: jei visi teiginiai apie x taip pat teisingi apie y, tuomet x = y.

Supaprastintai: jei du dalykai yra lygūs, viskas, kas teisinga apie vieną iš jų, turi būti teisinga ir apie kitą — tai leidžia keistis lygiais objektais matematiniuose įrodymuose ir transformacijose.

Kongruencija geometrijoje ir kitur

Geometrijoje dažnai vartojamas terminas kongruencija. Dvi figūros yra kongruentiškos, jei vieną iš jų galima perkelti (transliacija), pasukti (rotacija) arba atspindėti taip, kad ji tiksliai sutaptų su kita — tai vadinama izometrija (rigid motion). Jei, norint sutalpinti figūras, vieną reikia sumažinti arba padidinti (skalauti), jos nėra kongruentiškos; tokiais atvejais jos vadinamos panašiomis. Be geometrijos, žodis „kongruencija“ taip pat naudojamas skaičių teorijoje (pvz., a ≡ b (mod n)), kur reiškia likusiųjų po dalybos lygybę.

Dvi figūros yra kongruentiškos, jei viena tikslingai sutampa su kita be mastelio pakeitimo; jei reikia mastelio keitimo — figūros yra panašios.

Lygybė kompiuterių moksluose

Kompiuterių moksle dažnai taikomas griežtas matematinis apibrėžimas, tačiau programavimo kalbose susiduriama su keliais skirtingais operatoriais:

• = arba := dažnai reiškia priskyrimą (value assignment), kai kintamajam suteikiama reikšmė.
• == daugelyje kalbų reiškia palyginimą (equality test) tarp dviejų reikšmių ar primityvių tipų.

Taip pat kyla problema dėl nuorodų (references) arba rodyklių (pointers). Jei dvi nuorodos nurodo į tą patį objektą, jos yra identiškos; bet jei nurodo į skirtingus, nors ir reikšmiškai lygius, objektus, a == b gali grąžinti false (priklausomai nuo kalbos). Dėl to daugelyje objektinių kalbų įvestas papildomas metodas/operatorius, skirtas struktūrinei ar semantinei lygybei tikrinti — pvz., Java kalboje šis metodas vadinamas equals). Šis metodas lygina realias objektų reikšmes (turinį), o ne tik nuorodas į objektus (identitetą).

Trumpai: reikia atskirti objektų identitetą (ar nuorodos rodo į tą patį atminties bloką) ir jų reikšminę lygybę (ar jų turinys/atributai yra vienodi).

Lygybė socialiniuose moksluose

Socialiniuose moksluose du žmonės laikomi lygiais, jei apie juos galioja daug tų pačių dalykų — pavyzdžiui, panašus išsilavinimas, pajamos, amžius ar socialinė padėtis. Tokia lygybė yra empirinė ir priklauso nuo pasirinktų kriterijų; ji nėra absoliuti taip, kaip matematikoje. Du žmonės, turintys panašias savybes, dažnai vadinami bendraamžiais arba lygiais tam tikru požiūriu.

Be to, socialiniuose kontekstuose svarbu skirti „lygybę“ (equal treatment) nuo „teisingumo“ ar „sąžiningumo“ (equity) — tai dvi skirtingos politinės ir etinės sąvokos, kurių taikymas ir interpretacijos priklauso nuo konteksto.

Klausimai ir atsakymai

K: Koks simbolis matematikoje naudojamas lygybei išreikšti?

K: Kaip du matematiniai objektai gali būti lygiaverčiai?

Klausimas: Ką reiškia, kai dvi išraiškos žymi vienodus dydžius?

K: Kaip matematikai skiria lygtis ir nelygybes?

Klausimas: Kuo geometrijoje skiriasi kongruencija ir panašumas?

Klausimas: Koks operatorius informatikoje lygina faktines objektų vertes, o ne tai, į ką rodo kintamieji?

K: Kaip lygybę apibrėžia socialiniuose moksluose?

Paieška pagal raidę