Intervalas matematikoje: apibrėžimas, tipai ir žymėjimas

Matematikoje intervalas – tai aibė realių skaičių, apimanti visus skaičius tarp dviejų galinių taškų (pradžios ir pabaigos). Intervalo elementai yra tie skaičiai x, kurie tenkina sąlygą „x yra didesnis už pradžios skaičių ir mažesnis už pabaigos skaičių“ arba tą pačią sąlygą su „didesnis arba lygus“ / „mažesnis arba lygus“, priklausomai nuo to, ar galiniai taškai įtraukti. Pradžios ir pabaigos skaičiai gali būti į intervalo vidų įtraukti arba neįtraukti. Pavyzdys: intervalas nuo 3,3 iki 15 apima tokius skaičius kaip 4, 8, 9,5, 14 ir net 14,999, tačiau neapima skaičių -4, 2, 3,2, 20 ir 15,000001.

Intervalų tipai

• Atviras intervalas (a, b): nei a, nei b nėra įtraukti; nariai tenkina a < x < b.
• Uždaras intervalas [a, b]: tiek a, tiek b yra įtraukti; nariai tenkina a ≤ x ≤ b.
• Pusiau atviri (pusiau uždari) intervalai (a, b] arba [a, b): vienas galas įtrauktas, kitas – ne; atitinkamai a < x ≤ b arba a ≤ x < b.
• Degeneruotas intervalas [a, a]: susitraukęs iki vieno taško – tai vienintelė reikšmė a.
• Tuščias intervalas ∅: gali atsirasti, jei galiniai taškai nėra tvarkingi (pvz., a > b) – tokiu atveju nėra jokių skaičių, kurie tenkintų intervalo sąlygą.

Žymėjimas ir lygybės formos

Intervalai dažniausiai žymimi skliaustais:

• [a, b] reiškia uždarą intervalą nuo a iki b.
• (a, b) reiškia atvirą intervalą nuo a iki b.
• [a, b) arba (a, b] reiškia pusiau atvirus intervalus.

Lygiagrečiai galima rašyti ir kaip nelygybes: [a, b] atitinka a ≤ x ≤ b; (a, b) – a < x < b; ir pan.

Begaliniai intervalai

Intervalai gali būti ir begaliniai, kai vienas arba abu galai nėra apriboti:

• (a, ∞) – visi x toki, kad x > a;
• [a, ∞) – visi x toki, kad x ≥ a;
• ((-∞, b) – visi x toki, kad x < b;
• ((-∞, b] – visi x toki, kad x ≤ b.

Čia ∞ reiškia begalybę; begalybė niekada nėra įtraukiama kaip galinis taškas, todėl prieš ∞ arba -∞ rašomas atviras skliaustas.

Intervalo ilgis ir operacijos

Jei intervalas yra ribotas [a, b] su a ≤ b, jo ilgis (ilgis arba dydis) lygus b − a. Degeneruoto intervalo [a, a] ilgis yra 0. Jei a > b, praktiškai gauname tuščią aibę.

Su intervalais atliekamos įprastos aibių operacijos:

• Sankirta (intersection): (a, b) ∩ (c, d) yra intervalas, kuris apima tik tuos skaičius, priklausančius abiem intervalams.
• Vienašas (union): (a, b) ∪ (c, d) sujungia abu intervalus; jei jie persidengia arba palyginti arti, rezultatas gali būti vienas didesnis intervalas.

Pastabos ir praktiniai pavyzdžiai

Praktikoje svarbu atkreipti dėmesį į tai, ar galiniai taškai įtraukti: [3, 5] apima 3 ir 5, o (3, 5) jau neapima. Intervalų žymėjimas su dešimtainiais skaičiais Lietuvos raštuose naudoja kablelį kaip dešimtainį skirtuką (pvz., 9,6), todėl gali atsirasti vizualus painiojimas: intervalą tarp 4 ir 9,6 užrašome kaip (4, 9,6) – pirmasis kablelis atskiria reikšmes, antrasis priklauso dešimtainiam skaičiui.

Pavyzdžiai: (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4). Intervalas nuo 3,3 iki 15 apima 4, 8, 9,5, 14 ir 14,999, bet neapima -4, 2, 3,2, 20 ar 15,000001.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas matematikoje yra intervalas?

K: Kaip nustatyti, kurie skaičiai yra intervalo viduje?

K: Ar į intervalą turi būti įtraukti ir pradžios, ir pabaigos skaičiai?

K: Kaip užrašyti intervalą?

Klausimas: Ar galite pateikti intervalų pavyzdžių?

K: Ar intervale leidžiami neigiami skaičiai?

Paieška pagal raidę