Didžiųjų skaičių dėsnis (LLN) — apibrėžimas ir pavyzdžiai
Didžiųjų skaičių dėsnis (LLN): aiškus apibrėžimas, intuityvūs pavyzdžiai ir iliustracijos — supraskite, kaip ilgainiui vidurkis artėja prie laukiamos reikšmės.
Didžiųjų skaičių dėsnis (LLN) yra statistikos teorema, teigianti, kad stebimų atsitiktinių reiškinių ilguoju laikotarpiu pateikiama informacija tampa stabili. Panagrinėkime procesą, kuriame pakartotinai stebimas tas pats atsitiktinis kintamasis. Jei kiekviena stebėjimo reikšmė turi tą pačią laukiamosios vertės (vidurkio) reikšmę ir tam tikrus papildomus sąlygos (pvz., nepriklausomumas), tai stebėjimų vidurkis laikui bėgant artės prie tos laukiamosios vertės. Kitaip tariant, kai stebimų reikšmių skaičius n didėja, mėginio vidurkis X̄_n = (1/n) Σ_{i=1}^n X_i tampa vis arčiau tikrosios populiacijos vidurkės.
Intuityvus paaiškinimas
Trumpai tariant, atsižvelgiant į daug kartų pakartotą tą patį eksperimentą, atsitiktiniai nukrypimai „atšviečia“ vieni kitus: aukšti ir žemi rezultatai vienas kitą dalinai kompensuoja. Todėl ilgą laiką stebėti vidurkiai sumažina atsitiktinių nukrypimų poveikį ir priartėja prie nuolatinės reikšmės — laukiamosios vertės.
Formuluotės rūšys
Yra dvi pagrindinės LLN formuluotės, skirtingos pagal to, kaip suprantama „artėjimas“:
- Silpnas didžiųjų skaičių dėsnis (WLLN) — mėginio vidurkis X̄_n konverguoja tikimybėje prie laukiamosios vertės μ: už kiekvieną ε > 0 tikimybė, kad |X̄_n − μ| > ε, eina į 0, kai n → ∞.
- Stiprus didžiųjų skaičių dėsnis (SLLN) — X̄_n konverguoja bejausmiškai (almost surely) prie μ, t. y. su tikimybe 1 X̄_n → μ, kai n → ∞. Tai griežtesnė konvergencija nei tikimybėje.
Pagrindinės sąlygos
Dažniausiai pateikiama LLN sąlyga: stebėjimai yra nepriklausomi ir identiškai pasiskirstę (i.i.d.) atsitiktiniai kintamieji su baigtine laukiąja verte E[X] = μ. Esant šioms sąlygoms:
- WLLN galima įrodyti naudojant Čebyševo nelygybę (jei dispersija yra baigtinė).
- SLLN reikalauja griežtesnių techninių sąlygų (pvz., Kolmogorovo SLLN: nepriklausomiems kintamiesiems su baigtine laukiąja verte dažnai pakanka papildomų pažinčių apie dispersijas arba martingalų sąlygų).
Pavyzdžiai
Kai metate kauliuką, galimi skaičiai yra 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Visi jie vienodai tikėtini. Rezultatų populiacijos vidurkis (arba "laukiama vertė") yra:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Toliau pateiktoje diagramoje pavaizduoti kauliuko metimo eksperimento rezultatai. Šiame eksperimente matyti, kad iš pradžių kauliuko metimo vidurkis labai svyruoja. Kaip ir numatyta pagal LLN, vidurkis stabilizuojasi ties laukiama 3,5 reikšme, kai stebėjimų skaičius tampa didelis.
Kiti paprasti pavyzdžiai:
- Monetos metimai: ilgame laikotarpyje proporcija „skaičius galva“ artės prie 0.5.
- Vidutinė pajamų ar balų imtis iš didelės populiacijos suteiks tikslią populiacijos vidurkio apytikrą įvertį.
Ką LLN nereiškia
- LLN nereiškia, kad per trumpą laiką rezultatai jau turi atrodyti „normalūs“ — pradinės svyravimų fazės gali būti didelės.
- LLN nereiškia, kad atsitiktinių reiškinių seka taps periodiška ar kokia kita deterministinė forma — ji tiesiog apriboja ilgalaikį vidurkio elgesį.
Apribojimai ir išimtys
LLN gali žlugti arba neatitikti, jei sąlygos nėra tenkinamos. Pavyzdžiai:
- Jei kintamieji neturi baigtinės laukiamosios vertės (pvz., kai paskirstymo „uodegos“ per sunkios), LLN standartine forma gali nebepatekti.
- Stiprūs priklausomybės ryšiai tarp stebėjimų (pvz., tam tikri auto-regresyvūs procesai be ergodinių savybių) gali kliudyti paprastai LLN taikymui.
Praktinė reikšmė
Didžiųjų skaičių dėsnis yra kertinė statistikos ir duomenų analizės samprata:
- Paaiškina, kodėl didesni imčių dydžiai duoda patikimesnius vidurkių įverčius.
- Pagrindžia praktiką rinkti daug stebėjimų (apklausas, eksperimentus, Monte Carlo simuliacijas), kad sumažintume atsitiktinę paklaidą.
- Derinamas su centrine ribine teorema (CLT), kuri nurodo ne tik linkimą (konvergenciją), bet ir tempą, kuriuo skirstinys artėja prie normalaus ribinio pasiskirstymo (matuojant skalėje sqrt(n)).
Įrodymo idėjos (be techninių detalių)
- SILPNAS LLN: dažnai įrodoma per Čebyševo nelygybę ir dispersijos mažėjimą kaip 1/n, kas leidžia parodyti konvergenciją tikimybėje.
- STIPRUS LLN: reikalauja detalesnių priemonių (pvz., Kolmogorovo arba Kolmogorovo–Hincino teorijų) ir naudoja skirtingas technikas, kad parodytų vienaskaitinę konvergenciją su tikimybe 1.
Apibendrinant: Didžiųjų skaičių dėsnis suteikia pažinimą, kodėl vidurkiai ir proporcijos tampa patikimesni, kai duomenų kiekis auga, ir yra vienas iš pagrindinių principų, paaiškinančių statistinių metodų veikimą praktikoje.
Istorija
Jacobas Bernoulli pirmasis aprašė LLN. Jis teigė, kad tai buvo taip paprasta, jog net kvailiausias žmogus instinktyviai žino, kad tai tiesa. Nepaisant to, jam prireikė daugiau nei 20 metų, kad sukurtų gerą matematinį įrodymą. Kai jį rado, 1713 m. paskelbė įrodymą knygoje Ars Conjectandi ("Konjektavimo menas"). Šį įrodymą jis pavadino "aukso teorema". Ji tapo visuotinai žinoma kaip "Bernulio teorema" (nepainioti su to paties pavadinimo fizikos dėsniu). 1835 m. S. D.Poissonas ją toliau aprašė pavadinimu "La loi des grands nombres" ("Didžiųjų skaičių dėsnis"). Vėliau jis buvo žinomas abiem pavadinimais, tačiau dažniausiai vartojamas "Didžiųjų skaičių dėsnis".
Prie įstatymo tobulinimo prisidėjo ir kiti matematikai. Kai kurie iš jų buvo Čebyševas, Markovas, Borelis, Kantelis ir Kolmogorovas. Po šių tyrimų dabar yra dvi skirtingos dėsnio formos: Viena iš jų vadinama silpnuoju dėsniu, o kita - stipriuoju dėsniu. Šios formos neapibūdina skirtingų dėsnių. Jos skirtingai apibūdina stebėtos arba išmatuotos tikimybės konvergenciją prie tikrosios tikimybės. Stiprioji dėsnio forma implikuoja silpnąją.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra didelių skaičių dėsnis?
Atsakymas: Didžiųjų skaičių dėsnis yra statistikos teorema, teigianti, kad jei atsitiktinis procesas stebimas pakartotinai, tai stebimų reikšmių vidurkis ilgainiui bus stabilus.
K: Ką reiškia didelių skaičių dėsnis?
A: Didžiųjų skaičių dėsnis reiškia, kad, didėjant stebėjimų skaičiui, stebimų reikšmių vidurkis vis labiau artės prie laukiamos reikšmės.
K: Kas yra tikėtina vertė?
Atsakymas: Tikėtina vertė yra atsitiktinio proceso rezultatų populiacijos vidurkis.
K: Kokia yra tikėtina vertė metant kauliuką?
Atsakymas: Tikėtina metimo kauliuku vertė yra galimų rezultatų suma, padalyta iš rezultatų skaičiaus: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
K: Ką rodo tekste pateiktas grafikas, susijęs su didžiųjų skaičių dėsniu?
Atsakymas: Grafikas rodo, kad iš pradžių kauliukų metimo vidurkis svyruoja labai įvairiai, bet, kaip ir numatyta pagal LLN, vidurkis stabilizuojasi ties laukiama verte 3,5, kai stebėjimų skaičius tampa didelis.
K: Kaip didelių skaičių dėsnis taikomas metant kauliuką?
Atsakymas: Didelių skaičių dėsnis taikomas metant kauliuką, nes, didėjant metimų skaičiui, metimų vidurkis vis labiau artėja prie tikėtinos 3,5 reikšmės.
K: Kodėl statistikoje svarbus didžiųjų skaičių dėsnis?
A: Didžiųjų skaičių dėsnis svarbus statistikoje, nes jis teoriškai pagrindžia idėją, kad duomenys, esant dideliam stebėjimų skaičiui, turi tendenciją išvesti vidurkį. Jis yra daugelio statistinių metodų, tokių kaip pasikliautinieji intervalai ir hipotezių tikrinimas, pagrindas.
Ieškoti