Didelių skaičių dėsnis
Didžiųjų skaičių dėsnis (LLN) yra statistikos teorema. Panagrinėkime tam tikrą procesą, kuriame atsitiktinai pasitaiko rezultatų. Pavyzdžiui, atsitiktinis kintamasis stebimas pakartotinai. Tuomet ilgą laiką stebimų reikšmių vidurkis bus stabilus. Tai reiškia, kad ilguoju laikotarpiu stebimų reikšmių vidurkis vis labiau artės prie laukiamos reikšmės.
Kai metate kauliuką, galimi skaičiai yra 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Visi jie vienodai tikėtini. Rezultatų populiacijos vidurkis (arba "laukiama vertė") yra:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Toliau pateiktoje diagramoje pavaizduoti kauliuko metimo eksperimento rezultatai. Šiame eksperimente matyti, kad iš pradžių kauliuko metimo vidurkis labai svyruoja. Kaip ir numatyta pagal LLN, vidurkis stabilizuojasi ties laukiama 3,5 reikšme, kai stebėjimų skaičius tampa didelis.
Istorija
Jacobas Bernoulli pirmasis aprašė LLN. Jis teigė, kad tai buvo taip paprasta, jog net kvailiausias žmogus instinktyviai žino, kad tai tiesa. Nepaisant to, jam prireikė daugiau nei 20 metų, kad sukurtų gerą matematinį įrodymą. Kai jį rado, 1713 m. paskelbė įrodymą knygoje Ars Conjectandi ("Konjektavimo menas"). Šį įrodymą jis pavadino "aukso teorema". Ji tapo visuotinai žinoma kaip "Bernulio teorema" (nepainioti su to paties pavadinimo fizikos dėsniu). 1835 m. S. D.Poissonas ją toliau aprašė pavadinimu "La loi des grands nombres" ("Didžiųjų skaičių dėsnis"). Vėliau jis buvo žinomas abiem pavadinimais, tačiau dažniausiai vartojamas "Didžiųjų skaičių dėsnis".
Prie įstatymo tobulinimo prisidėjo ir kiti matematikai. Kai kurie iš jų buvo Čebyševas, Markovas, Borelis, Kantelis ir Kolmogorovas. Po šių tyrimų dabar yra dvi skirtingos dėsnio formos: Viena iš jų vadinama silpnuoju dėsniu, o kita - stipriuoju dėsniu. Šios formos neapibūdina skirtingų dėsnių. Jos skirtingai apibūdina stebėtos arba išmatuotos tikimybės konvergenciją prie tikrosios tikimybės. Stiprioji dėsnio forma implikuoja silpnąją.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra didelių skaičių dėsnis?
Atsakymas: Didžiųjų skaičių dėsnis yra statistikos teorema, teigianti, kad jei atsitiktinis procesas stebimas pakartotinai, tai stebimų reikšmių vidurkis ilgainiui bus stabilus.
K: Ką reiškia didelių skaičių dėsnis?
A: Didžiųjų skaičių dėsnis reiškia, kad, didėjant stebėjimų skaičiui, stebimų reikšmių vidurkis vis labiau artės prie laukiamos reikšmės.
K: Kas yra tikėtina vertė?
Atsakymas: Tikėtina vertė yra atsitiktinio proceso rezultatų populiacijos vidurkis.
K: Kokia yra tikėtina vertė metant kauliuką?
Atsakymas: Tikėtina metimo kauliuku vertė yra galimų rezultatų suma, padalyta iš rezultatų skaičiaus: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
K: Ką rodo tekste pateiktas grafikas, susijęs su didžiųjų skaičių dėsniu?
Atsakymas: Grafikas rodo, kad iš pradžių kauliukų metimo vidurkis svyruoja labai įvairiai, bet, kaip ir numatyta pagal LLN, vidurkis stabilizuojasi ties laukiama verte 3,5, kai stebėjimų skaičius tampa didelis.
K: Kaip didelių skaičių dėsnis taikomas metant kauliuką?
Atsakymas: Didelių skaičių dėsnis taikomas metant kauliuką, nes, didėjant metimų skaičiui, metimų vidurkis vis labiau artėja prie tikėtinos 3,5 reikšmės.
K: Kodėl statistikoje svarbus didžiųjų skaičių dėsnis?
A: Didžiųjų skaičių dėsnis svarbus statistikoje, nes jis teoriškai pagrindžia idėją, kad duomenys, esant dideliam stebėjimų skaičiui, turi tendenciją išvesti vidurkį. Jis yra daugelio statistinių metodų, tokių kaip pasikliautinieji intervalai ir hipotezių tikrinimas, pagrindas.
