Teorema matematikoje: apibrėžimas, įrodymai ir pavyzdžiai

Teorema matematikoje: aiškus apibrėžimas, įrodymų metodai ir įtakingi pavyzdžiai (Fermat, keturių spalvų) — suprantamai ir praktiškai. Sužinokite daugiau.

Teorema – tai matematinis teiginys, kurio teisingumas įrodomas remiantis priimtomis aksiomomis, apibrėžimais ir kitomis jau įrodytomis išvadomis. Dažnai teoremos įrodomos naudojant logiką ir anksčiau gautus rezultatus. Teorema paprastai susideda iš dviejų dalių: hipotezės (prielaidų) ir išvados (teigiamo rezultato), t. y. "jei ... , tai ...".

Kaip gimsta ir struktūruojamas įrodymas

Įrodymas – tai loginis žingsnių seka, kuri iš hipotezių žingsnis po žingsnio veda prie išvados. Dažniausiai įrodymuose naudojamos:

• tiesioginis įrodymas – tiesiogiai dedukuojama iš prielaidų į išvadą;
• įrodymas netiesiogiai (nuo priešybės) – pradedama manyti, kad teiginys klaidingas, ir gaunama prieštara;
• matematinė indukcija – įrodoma pradinė bazė ir žingsnis "n → n+1";
• kontrapozicija – įrodoma ekvivalentiškas teiginys "jei ne B, tai ne A";
• konstruktorius – pateikiamas konkretus objekto pavyzdys arba algoritmas;
• kombinatoriniai arba skaičiaviminiai metodai – sumažinama iki skaičiavimų, polinominių ar trigonometrinių tapatybių;
• kompiuterinės paieškos ir asistuojami įrodymai – kai įrodymo dalis atliekama kompiuteriu arba pilnai formalizuojama formaliai patikrinamame įrodyme.

Lemma, koroliarai ir susiję terminai

Dažnai tam, kad įrodyti stambesnį teiginį, pirmiausia prireikia įrodyti pagalbinę teoremą – lemma. Iš lemmo seka koroliarai – teiginiai, tiesiogiai išplaukiantys iš įrodytos teoremos. Taip pat svarbios sąvokos yra konversija (atvirkštinis teiginys) ir ekvivalentiškas teiginys (kai dvi frazės turi tą pačią prasmę).

Trivialios ir gilios teoremos

Kai kurios teoremos yra trivialios – jų išvados seka tiesiai iš apibrėžimų ar jau žinomų rezultatų. Kitos vadinamos giliomis, nes jų įrodymai yra ilgi, sudėtingi arba reikalauja naujų metodų ir sąvokų. Dažnai gilūs rezultatai parodo netikėtus ryšius tarp skirtingų matematikos sričių ir atveria naujas tyrimų kryptis.

Puikus pavyzdys – Fermato paskutinė teorema, kuri formuluojama labai paprastai, tačiau jos įrodymas (Andrew Wiles, XX a. pabaigoje) remiasi sudėtingomis algebrinės geometrijos ir skaičių teorijos priemonėmis. Kiti pavyzdžiai – gilūs rezultatai skaičių teorijoje, kombinatorikoje ir topologijoje.

Kompiuteriniai ir formalūs įrodymai

Yra teiginių, kurių įrodymai yra žinomi tik kompiuterinėmis priemonėmis arba juos sunku perteikti tradicine forma. Geriausi tokio pobūdžio pavyzdžiai yra keturių spalvų teorema ir Keplerio spėjimas. Abu šie rezultatai iš pradžių buvo įrodyti dalinai perrašant į užduočių patikrinimus ir išsamias kompiuterines paieškas. Tokios formos įrodymai iš pradžių sulaukė kritikos, bet pastaraisiais dešimtmečiais tapo plačiai pripažinti. Matematikas Doronas Zeilbergeris (Doron Zeilberger) netgi siūlė, kad kompiuterizuoti arba automatizuoti įrodymai gali būti vienas iš pagrindinių ateities metodų, ypač kai įrodymai remiasi masyviomis skaičiavimų sekomis.

Be to, vis plačiau naudojamos formalios įrodymų sistemos ir įrankiai (pvz., Coq, Lean ir kt.), leidžiantys patikrinti įrodymus kompiuteriniu būdu taip, kad kiekvienas logikos žingsnis būtų formaliai pagrįstas.

Pritaikymai ir svarba

Teoremos ne tik struktūruoja matematinį žinojimą, bet ir suteikia priemones kitiems mokslams ir inžinerijai: jos naudojamos kriptografijoje, fizikoje, kompiuterių moksle, ekonomikoje ir t. t. Be to, daugelį sudėtingų problemų galima redukuoti iki paprastesnių skaičiavimų ar tapatybių (polinominių, trigonometrinių, hipergeometrinių ir kt.), kas leidžia pritaikyti kompiuterinę analizę ir simbolinę skaičiavimą.

Kaip skaityti ir suprasti teoremą

• Pirmiausia aiškiai perskaitykite hipotezes ir patikrinkite, ar suprantate visus apibrėžimus.
• Ieškokite pateiktų lemų ir koroliarų – jie dažnai atskleidžia įrodymo idėją.
• Jei įrodymas sudėtingas, raskite paprastesnį specialų atvejį arba iliustraciją (pavyzdžiui, skaitinį pavyzdį).
• Žinokite skirtumą tarp įrodymo idėjos ir formalios patikros: pirmasis padeda intuicijai, antrasis – griežtumui.

Galiausiai verta paminėti, kad matematinis mąstymas remiasi dedukcija, priešingai nei kai kurios teorijos, kurios yra empirinės ir remiasi stebėjimu. Teoremos – tai dedukcinio žinojimo kertiniai akmenys: jos sistemina žinias, padeda kurti naujus metodus ir atveria kelius į gilesnius matematikos klausimus.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra teorema?

K: Kas yra lemma?

K: Kaip sudaromos teoremos?

K: Ar visas teoremas sunku įrodyti?

Klausimas: Ar teorema gali būti paprasta, bet gili?

K: Ar yra teoremų, kurių įrodymas yra žinomas, bet negali būti lengvai užrašytas?

K: Ar kartais matematines teoremas galima redukuoti į paprastesnius skaičiavimus?

Paieška pagal raidę