Fermato paskutinė teorema: formulė, istorija ir 1995 m. įrodymas
Atraskite Fermato paskutinės teoremos formulę, intriguojančią istoriją nuo 1637 iki 1995 m. įrodymo ir jos reikšmę matematikoje.
Fermato paskutinė teorema yra labai garsi matematikos idėja. Ji teigia, kad:
Jei n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2 (pvz., 3, 4, 5, 6.....), tada lygtis
x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} 
neturi sprendinių, kai x, y ir z yra natūralieji skaičiai (teigiami sveikieji skaičiai (sveikieji skaičiai), išskyrus 0 arba "skaičiuojamuosius skaičius", tokius kaip 1, 2, 3....). Tai reiškia, kad nėra natūraliųjų skaičių x, y ir z, kuriems ši lygtis būtų teisinga (t. y. abiejų pusių reikšmės niekada negali būti vienodos, jei x, y, z yra natūralieji skaičiai, o n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2).
Pjeras de Fermatas apie tai rašė 1637 m. savo knygos "Arithmetica" kopijoje. Jis sakė: "Turiu šios teoremos įrodymą, bet šioje paraštėje nėra pakankamai vietos". Tačiau 357 metus nebuvo rastas teisingas įrodymas. Galiausiai ji buvo įrodyta 1995 m. Matematikai visur mano, kad Fermatas iš tikrųjų neturėjo gero šios teoremos įrodymo.
Teiginys formaliai
Fermato paskutinė teorema teigia: nėra trijų teigiamų sveikųjų skaičių x, y ir z, kurie patenkintų lygtį xn + yn = zn, kai n yra sveikasis skaičius didesnis už 2. Kitaip sakant, lygtis neturi netrivialių (t. y. ne nulinės komponentės) natūraliųjų sprendinių, kai n > 2.
Istorija ir daliniai įrodymai
Fermato užrašas paraštėje 1637 m. paskatino šimtmečius trukusias pastangas rasti bendrą įrodymą. Per šį laiką daug matematikų galutinai įrodė teoremą tam tikroms n reikšmėms arba patobulino įrankius, reikalingus galutiniam sprendimui:
- Pjeras de Fermatas pats įrodė atvejį n = 4 naudodamas begalinio nusileidimo (infinite descent) metodą; tai leido sumažinti bendrą problemą tam tikroms reikšmėms.
- Leonhardas Euleris įrodė atvejį n = 3.
- XIX a. matematikai (tarp jų Sophie Germain, Dirichlet, Legendre) įrodė teoremą daugeliui atskirų laipsnių ir parengė metodus, kurie vėliau turėjo didelę reikšmę.
- Ernst Kummer XIX a. sukūrė algebrinės skaičių teorijos instrumentus (idealių skaičių teoriją) ir įrodė Fermato teoremą daugeliui vadinamųjų reguliarių pirminių atvejų.
Kelias į galutinį įrodymą (1980–1995)
XX a. pabaigoje atsirado naujas požiūris, jungiantis Fermato problemą su kitomis aukšto lygio sritimis, ypač eliptiniais kreivėmis ir modulinėmis formomis. Pagrindiniai žingsniai buvo:
- 1980 m. Gerhard Frey pasiūlė, kad hipotetinis netrivialus sprendinys xn + yn = zn leistų sukonstruoti tam tikrą eliptinę kreivę (vadinamą Frey kreive), turinčią labai neįprastas savybes.
- 1986 m. Ken Ribet įrodė (Ribet’o teorema), kad Frey kreivė nebūtų modulinė, o tai reikštų konfliktą su Taniyamos–Shimūros jungtimi, jei ši jungtis (moduliarumo teorema) būtų teisinga tam tikroms kreivėms.
- 1993–1994 m. Andrew Wiles (dirbdamas daugiausia vienas) įrodė moduliarumo teoremos atvejį semistabilioms eliptinėms kreivėms, o tai kartu su Ribet’o rezultatu reiškė, kad niekas negali egzistuoti, ką būtume gavę iš Fermato lygties — taigi Fermato paskutinė teorema būtų įrodyta. Pradiniame Wiles paskelbime 1993 m. buvo rasta techninė spraga; kartu su Richardu Tayloru Wiles ją užtaisė ir galutinė versija buvo priimta bei publikuota 1995 m. (Annals of Mathematics).
Kas reiškė galutinis įrodymas?
Wiles’o įrodymas nebuvo elementarus: jis naudojo pažangias sritis — algebrinę geometriją, Galois grupių teoriją, moduliacines formas ir eliptinių kreivių teoriją. Svarbi idėja buvo sujungti hipotetinį Fermato sprendinį su savybėmis prieštaraujančiomis moduliariškumo teoremai, o tai leido paneigti galimybę tokiems sprendiniams egzistuoti.
Reikšmė ir palikimas
- Fermato paskutinės teoremos sprendimas pabrėžė matematikos susijungimą: problemos, kurios atrodo elementarios, kartais reikalauja gilių teorinių priemonių.
- Wiles’o darbas paskatino tolesnį modularumo ir eliptinių kreivių tyrimą; galutinė modularumo teorema (visoms eliptinėms kreivėms) buvo patvirtinta vėliau, prisidedant keliems autoriams (pvz., Breuil, Conrad, Diamond, Taylor) 1999–2001 m.
- Fermato paskutinė teorema tapo kultūriniu ir moksliniu simboliu: tai pavyzdys, kaip kantrus ir kryptingas mokslinis darbas gali išspręsti šimtmečius trunkančias problemas.
Santrauka: Fermato paskutinė teorema teigia, kad lygtis xn + yn = zn neturi teigiamų sveikųjų sprendinių, kai n > 2. Po daugelio dalinių rezultatų per kelis šimtmečius, teorema galiausiai buvo įrodyta vėlyvajame XX a. pradžioje: Wiles’o ir Taylor’o pataisytas įrodymas publikuotas 1995 m., remiantis idėjomis, kurios sieja Fermato problemą su eliptinėmis kreivėmis ir modulinėmis formomis.
Pjeras de Fermatas
Ryšiai su kita matematika
Fermato paskutinė teorema yra bendresnė lygties forma: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 
. (Tai kilę iš Pitagoro teoremos). Ypatingas atvejis, kai a, b ir c yra sveikieji skaičiai. Tuomet jie vadinami Pitagoro trigubuoju skaičiumi. Pavyzdžiui: 3, 4 ir 5 duoda 3^2 + 4^2 = 5^2, nes 9+16=25, arba 5, 12 ir 13 duoda 25+144=169. Jų yra be galo daug (jos tęsiasi be galo). Fermato paskutinė teorema kalba apie tai, kas atsitinka, kai 2 pasikeičia į didesnį sveikąjį skaičių. Joje sakoma, kad tada nėra trejetų, kai a, b ir c yra sveikieji skaičiai, didesni už vienetą arba jam lygūs (tai reiškia, kad jei n yra daugiau nei du, a, b ir c negali būti natūralieji skaičiai).
Įrodymas
Įrodymas buvo atliktas kai kurioms n reikšmėms (pvz., n=3, n=4, n=5 ir n=7). Tai padarė Fermatas, Euleris, Sofi Žermenas ir kiti žmonės.
Tačiau pilnas įrodymas turi parodyti, kad lygtis neturi sprendinio visoms n reikšmėms (kai n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2). Įrodymą rasti buvo labai sunku, o Fermato paskutinei teoremai išspręsti prireikė daug laiko.
Anglų matematikas Andrew Wilesas rado sprendimą 1995 m., praėjus 358 metams po to, kai apie tai rašė Fermatas. Sprendimą jam padėjo rasti Richardas Tayloras[]. Įrodymas užtruko aštuonerius metus. Jis įrodė teoremą, pirmiausia įrodydamas modulinę teoremą, kuri tada buvo vadinama Tanijamos-Šimuros spėjimu. Naudodamasis Ribeto teorema, jis galėjo pateikti Fermato paskutinės teoremos įrodymą. 1997 m. birželį jam buvo įteikta Getingeno akademijos Wolfskehlio premija: ji siekė apie 50 000 JAV dolerių.
Po kelerius metus trukusių diskusijų žmonės sutarė, kad Andrew Wilesas išsprendė šią problemą. Andrew Wilesas naudojo daug šiuolaikinės matematikos ir netgi sukūrė naują matematiką. Ši matematika buvo nežinoma, kai Fermatas rašė savo garsųjį užrašą, todėl Fermatas negalėjo ja pasinaudoti. Tai leidžia manyti, kad Fermatas iš tikrųjų neturėjo išsamaus uždavinio sprendimo.
Britų matematikas Andrew Wilesas
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Fermato paskutinė teorema?
A: Fermato paskutinė teorema (FLT) teigia, kad jei n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2, tai lygtis x^n + y^n = z^n neturi sprendinių, kai x, y ir z yra natūralieji skaičiai. Kitaip tariant, neįmanoma išreikšti sveikaisiais skaičiais dviejų kubų, kuriuos sudėjus gaunamas trečias kubas arba bet kas didesnis už kvadratus.
K: Kada buvo parašyta FLT?
A: Pjeras de Fermatas apie FLT parašė 1637 m. savo knygos "Arithmetica" viduje.
K: Ką Fermatas sakė apie teoremą?
A: Jis sakė: "Turiu šios teoremos įrodymą, bet šioje paraštėje nėra pakankamai vietos".
Klausimas: Kiek laiko užtruko, kol FLT buvo įrodyta?
A: Prireikė 357 metų, kol FLT buvo teisingai įrodyta; galiausiai tai buvo padaryta 1995 m.
Klausimas: Ar matematikai mano, kad Fermatas turėjo tikrąjį teoremos įrodymą?
A: Dauguma matematikų nemano, kad Fermatas iš tikrųjų turėjo ribinį šios teoremos įrodymą.
Klausimas: Ką teigia pradinė problema?
A: Originalioji problema teigia, kad neįmanoma padalyti cubum autem (kubo) į du kubus arba quadratoquadratum (kvadrato kvadrato) į du kvadratus kvadratus ir apskritai nieko, kas yra už kvadratų, negalima padalyti į du to paties pavadinimo kvadratus, o demonstracija yra nepaprasta, tačiau per didelė maržos dydžiui.
Ieškoti