Fermato paskutinė teorema yra labai garsi matematikos idėja. Ji teigia, kad:

Jei n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2 (pvz., 3, 4, 5, 6.....), tada lygtis

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}

neturi sprendinių, kai x, y ir z yra natūralieji skaičiai (teigiami sveikieji skaičiai (sveikieji skaičiai), išskyrus 0 arba "skaičiuojamuosius skaičius", tokius kaip 1, 2, 3....). Tai reiškia, kad nėra natūraliųjų skaičių x, y ir z, kuriems ši lygtis būtų teisinga (t. y. abiejų pusių reikšmės niekada negali būti vienodos, jei x, y, z yra natūralieji skaičiai, o n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2).

Pjeras de Fermatas apie tai rašė 1637 m. savo knygos "Arithmetica" kopijoje. Jis sakė: "Turiu šios teoremos įrodymą, bet šioje paraštėje nėra pakankamai vietos". Tačiau 357 metus nebuvo rastas teisingas įrodymas. Galiausiai ji buvo įrodyta 1995 m. Matematikai visur mano, kad Fermatas iš tikrųjų neturėjo gero šios teoremos įrodymo.

Teiginys formaliai

Fermato paskutinė teorema teigia: nėra trijų teigiamų sveikųjų skaičių x, y ir z, kurie patenkintų lygtį xn + yn = zn, kai n yra sveikasis skaičius didesnis už 2. Kitaip sakant, lygtis neturi netrivialių (t. y. ne nulinės komponentės) natūraliųjų sprendinių, kai n > 2.

Istorija ir daliniai įrodymai

Fermato užrašas paraštėje 1637 m. paskatino šimtmečius trukusias pastangas rasti bendrą įrodymą. Per šį laiką daug matematikų galutinai įrodė teoremą tam tikroms n reikšmėms arba patobulino įrankius, reikalingus galutiniam sprendimui:

  • Pjeras de Fermatas pats įrodė atvejį n = 4 naudodamas begalinio nusileidimo (infinite descent) metodą; tai leido sumažinti bendrą problemą tam tikroms reikšmėms.
  • Leonhardas Euleris įrodė atvejį n = 3.
  • XIX a. matematikai (tarp jų Sophie Germain, Dirichlet, Legendre) įrodė teoremą daugeliui atskirų laipsnių ir parengė metodus, kurie vėliau turėjo didelę reikšmę.
  • Ernst Kummer XIX a. sukūrė algebrinės skaičių teorijos instrumentus (idealių skaičių teoriją) ir įrodė Fermato teoremą daugeliui vadinamųjų reguliarių pirminių atvejų.

Kelias į galutinį įrodymą (1980–1995)

XX a. pabaigoje atsirado naujas požiūris, jungiantis Fermato problemą su kitomis aukšto lygio sritimis, ypač eliptiniais kreivėmis ir modulinėmis formomis. Pagrindiniai žingsniai buvo:

  • 1980 m. Gerhard Frey pasiūlė, kad hipotetinis netrivialus sprendinys xn + yn = zn leistų sukonstruoti tam tikrą eliptinę kreivę (vadinamą Frey kreive), turinčią labai neįprastas savybes.
  • 1986 m. Ken Ribet įrodė (Ribet’o teorema), kad Frey kreivė nebūtų modulinė, o tai reikštų konfliktą su Taniyamos–Shimūros jungtimi, jei ši jungtis (moduliarumo teorema) būtų teisinga tam tikroms kreivėms.
  • 1993–1994 m. Andrew Wiles (dirbdamas daugiausia vienas) įrodė moduliarumo teoremos atvejį semistabilioms eliptinėms kreivėms, o tai kartu su Ribet’o rezultatu reiškė, kad niekas negali egzistuoti, ką būtume gavę iš Fermato lygties — taigi Fermato paskutinė teorema būtų įrodyta. Pradiniame Wiles paskelbime 1993 m. buvo rasta techninė spraga; kartu su Richardu Tayloru Wiles ją užtaisė ir galutinė versija buvo priimta bei publikuota 1995 m. (Annals of Mathematics).

Kas reiškė galutinis įrodymas?

Wiles’o įrodymas nebuvo elementarus: jis naudojo pažangias sritis — algebrinę geometriją, Galois grupių teoriją, moduliacines formas ir eliptinių kreivių teoriją. Svarbi idėja buvo sujungti hipotetinį Fermato sprendinį su savybėmis prieštaraujančiomis moduliariškumo teoremai, o tai leido paneigti galimybę tokiems sprendiniams egzistuoti.

Reikšmė ir palikimas

  • Fermato paskutinės teoremos sprendimas pabrėžė matematikos susijungimą: problemos, kurios atrodo elementarios, kartais reikalauja gilių teorinių priemonių.
  • Wiles’o darbas paskatino tolesnį modularumo ir eliptinių kreivių tyrimą; galutinė modularumo teorema (visoms eliptinėms kreivėms) buvo patvirtinta vėliau, prisidedant keliems autoriams (pvz., Breuil, Conrad, Diamond, Taylor) 1999–2001 m.
  • Fermato paskutinė teorema tapo kultūriniu ir moksliniu simboliu: tai pavyzdys, kaip kantrus ir kryptingas mokslinis darbas gali išspręsti šimtmečius trunkančias problemas.

Santrauka: Fermato paskutinė teorema teigia, kad lygtis xn + yn = zn neturi teigiamų sveikųjų sprendinių, kai n > 2. Po daugelio dalinių rezultatų per kelis šimtmečius, teorema galiausiai buvo įrodyta vėlyvajame XX a. pradžioje: Wiles’o ir Taylor’o pataisytas įrodymas publikuotas 1995 m., remiantis idėjomis, kurios sieja Fermato problemą su eliptinėmis kreivėmis ir modulinėmis formomis.