Algebrinis sprendinys: apibrėžimas, pavyzdžiai ir Abelio–Ruffini teorema
Algebrinis sprendinys: aiškus apibrėžimas, pavyzdžiai ir Abelio–Ruffini teorema — kodėl bendroji kvintinė lygtis neturi algebrinio sprendinio.
Algebrinis sprendinys – tai algebraine išraiška užrašytas sprendinys algebrinei lygtiai, kurioje nežinomoji išreiškiama per lygties kintamųjų koeficientus naudojant tik galimas elementarias aritmetines operacijas ir šaknų išskyrimą. Konkrečiai, leistinos operacijos yra:
- sudėtis ir atimtis (sudedant, atimant),
- daugyba ir dalyba (dauginant, dalijant),
- išraiškos iškėlimas šaknimis (kvadratinėmis, kubinėmis ir t. t.).
Toks sprendinys dar vadinamas sprendiniu radikalais (angl. solution by radicals): jis reiškia, kad sprendinį galima užrašyti naudojant galimas operacijas ir baigtinį skaičių šaknų išskyrimų.
Geriausiai žinomas pavyzdys - bendrosios kvadratinės lygties sprendimas.
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}},} 
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 
(kur a ≠ 0).
Pavyzdžiai ir aukštesni laipsniai
Be kvadratinės lygties, egzistuoja ir algebriniai sprendiniai bendrosioms kubinėms bei kvartinėms lygtims; šiems atvejams egzistuoja Cardano (kubiniams) ir Ferrarri (kvartiniams) tipo formulės, kurios leidžia spręsti šias lygtis radikalais. Tačiau formulės tampa labai sudėtingos, o explicitiniai išraiškų užrašai – ilgi ir neintuityvūs.
Abelio–Ruffini teorema teigia, kad bendroji kvintinė lygtis neturi algebrinio sprendinio. Tai reiškia, kad bendroji n laipsnio polinomo lygtis, kai n ≥ 5, negali būti apskritai išspręsta naudojant tik sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą ir galimų šaknų išskyrimą. Kitaip tariant, neįmanoma parašyti universalios formulės, susidedančios vien tik iš koeficientų ir minėtų operacijų, kuri duotų visus šaknis visiems kvintiniams polinomams.
Priežastis ir Galois teorija
Rudinami šios nenustatomybės priežasčių paaiškinimas suteikė Évariste Galois – jis susiejo polinomų sprendžiamumą radikalais su simetrijos savybėmis, vadinamomis Galois grupėmis. Trumpai:
- polinomas yra sprendžiamas radikalais tada ir tik tada, kai jo Galois grupė yra išsprendžiama (solvable);
- daugelio kvintinių polinomų Galois grupė yra nesprendžiama (pavyzdžiui, simetrinė grupė S5), todėl bendrojo kvintinio atvejo formulės radikalais nėra.
Todėl teiginys Abelio–Ruffini nereiškia, kad kiekvienas konkretus 5 ar aukštesnio laipsnio polinomas neturi radikalų sprendimo — kai kurie konkretūs polinomai vis tiek yra sprendžiami radikalais (pvz., jei jų Galois grupė yra išsprendžiama), bet bendra, visiems polinomams galiojanti formulė neegzistuoja.
Specialūs sprendiniai ir paprasti pavyzdžiai
Yra daug specialių atvejų, kuriuose sprendinys yra algebrinis. Paprastas pavyzdys:
lygtyje x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
galima išreikšti sprendinį radikalais:
x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. } 
Čia reikia paminėti, kad per kompleksinius skaičius egzistuoja 10 sprendinių: pagrindinė realioji šaknis (jei a yra teigiamas realus skaičius) ir kiti – dauginami iš 10-tojo vienetinių šaknų (kompleksinių vienetų). Taigi šiuo atveju sprendinys yra tiesioginis radikalų išraiškos pavyzdys.
Ką daryti, jei algebrinio sprendinio nėra
Jeigu polinomas neturi sprendinio radikalais (pvz., bendras kvintinis atvejis), įprastai naudojami šie būdai rasti arba apytiksliai įvertinti šaknis:
- skaitmeniniai metodai — Newtono (Niutono) metodas, bisekcija, secant, Durand–Kerner ar Aberth algortimai;
- funkcinės išraiškos ir specialiosios funkcijos — kai kuriuos polinomus galima išreikšti per elementaresnes arba specialiąsias funkcijas (pvz., elliptines funkcijas arba hipergeometrines funkcijas);
- simbolinė algebros programinė įranga — kai kuriais atvejais konkrečios programos randa išraiškas radikalais arba parodo, kad Galois grupė yra tam tikros rūšies.
Istorinė pastaba
Paolo Ruffini XIX a. pradžioje pirmasis pasiūlė, o Niels Henrik Abel vėliau įrodė (apie 1824 m.), kad bendrosios kvintinės lygties sprendimo radikalais nėra. Évariste Galois savo teorija suteikė gilesnį paaiškinimą ir kriterijų, kada polinomai yra sprendžiami radikalais.
Santrauka: algebrinis sprendinys reiškia sprendinį, užrašytą per koeficientus naudojant sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą ir šaknų išskyrimą. Kvadratinės, kai kurios kubinės ir kvartinės lygties turi tokius sprendimus; bendrai kvintiniam ir aukštesnio laipsnio daugeliui polinomų tokio universalaus sprendimo radikalais nėra — tai formalizuoja Abelio–Ruffini teorema ir Galois teorija. Jei radikalų sprendinio nėra, praktiškai plačiai taikomi skaitmeniniai metodai arba specialiosios funkcijos.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra algebrinis sprendinys?
A: Algebrinis sprendinys - tai algebrinė išraiška, kuri yra algebrinės lygties sprendinys, išreikštas kintamųjų koeficientais. Jį galima rasti taikant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir šaknų (kvadratinių šaknų, kubinių šaknų ir t. t.) išvedimą.
Klausimas: Koks yra gerai žinomas algebrinio sprendinio pavyzdys?
A: Geriausiai žinomas pavyzdys yra bendrosios kvadratinės lygties sprendinys.
Klausimas: Ar yra sudėtingesnių aukštesnio laipsnio lygčių sprendinių?
A: Taip, yra sudėtingesnis bendrosios kubinės lygties ir kvadratinės lygties sprendinys.
K: Ar kiekviena polinomo lygtis turi algebrinį sprendinį?
Atsakymas: Ne, pagal Abelio-Ruffini teoremą teigiama, kad bendroji kvintinė lygtis neturi algebrinio sprendinio. Tai reiškia, kad n laipsnio bendroji polinomo lygtis, kai n ≥ 5, negali būti išspręsta naudojant tik algebrą.
Klausimas: Ar yra kokių nors sąlygų, kuriomis galime gauti algebrinį aukštesnio laipsnio lygties sprendinį?
Atsakymas: Taip, esant tam tikroms sąlygoms, galime gauti algebrinius sprendinius; pavyzdžiui, lygtį x^10 = a galima išspręsti kaip x = a^(1/10).
K: Kaip išspręsti kvadratinę lygtį?
A: Norint išspręsti kvadratinę lygtį, reikia naudoti sudėties, atimties, daugybos ir dalybos veiksmus, taip pat iš jos išgauti kvadratines šaknis ar kitų rūšių šaknis.
Ieškoti