Algebrinė lygtis
Matematikoje algebrinė lygtis, dar vadinama polinomo lygtimi tam tikrame lauke, yra tokios formos lygtis
P = Q {\displaystyle P=Q} 
kur P ir Q yra polinomai virš to lauko ir turi vieną (vienmatį) arba daugiau nei vieną (daugiamatį) kintamąjį. Pavyzdžiui:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}} 
yra algebrinė lygtis apie racionaliuosius skaičius.
Dvi lygtys vadinamos lygiavertėmis, jei jų sprendinių aibė yra tokia pati. Tai reiškia, kad visi antrosios lygties sprendiniai turi būti ir pirmosios lygties sprendiniai, ir atvirkščiai. Lygtis P = Q {\displaystyle P=Q} yra lygiavertė lygčiai P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Taigi algebrinių lygčių tyrimas yra lygiavertis polinomų tyrimui.
Jei algebrinė lygtis yra racionaliųjų skaičių srityje, ją visada galima paversti lygiaverte lygtimi, kurioje visi koeficientai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, pirmiau pateiktoje lygtyje padauginame iš 42 = 2-3-7 ir sugrupuojame pirmojo nario narius. Lygtis paverčiama į
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Lygties sprendiniai - tai kintamųjų reikšmės, kurioms lygtis yra teisinga. Tačiau algebrinių lygčių sprendiniai dar vadinami šaknimis. Sprendžiant lygtį reikia pasakyti, kurioje aibėje leidžiami sprendiniai. Pavyzdžiui, lygčiai per racionalųjį skaičių galima rasti sprendinius sveikųjų skaičių aibėje. Tada lygtis yra diofantinė lygtis. Taip pat galima ieškoti sprendinių kompleksinių skaičių srityje. Sprendinių taip pat galima ieškoti realiųjų skaičių srityje.
Senovės matematikai norėjo rasti vienmačių lygčių (t. y. lygčių su vienu kintamuoju) sprendinius radikaliųjų išraiškų pavidalu, pavyzdžiui, x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
teigiamam lygties x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}}
sprendiniui. Senovės egiptiečiai žinojo, kaip tokiu būdu spręsti 2 laipsnio lygtis (t. y. lygtis, kuriose didžiausia kintamojo galybė yra 2). Renesanso laikais Gerolamo Cardano išsprendė 3 laipsnio lygtį, o Lodovico Ferrari - 4 laipsnio lygtį. 1824 m. Nielsas Henrikas Abelis (Niels Henrik Abel) galiausiai įrodė, kad 5 laipsnio lygtis ir aukštesnio laipsnio lygtys ne visada gali būti sprendžiamos naudojant radikalus. Galois teorija, pavadinta Évariste'o Galois vardu, buvo įvesta siekiant pateikti kriterijus, pagal kuriuos sprendžiama, ar lygtis išsprendžiama naudojant radikalus.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra algebrinė lygtis?
A: Algebrinė lygtis yra lygtis, kurios forma yra P = Q, kur P ir Q yra polinomai duotame lauke su vienu ar daugiau kintamųjų.
K: Kaip dvi lygtys gali būti lygiavertės?
A: Dvi lygtys laikomos lygiavertėmis, jei jos turi tą patį sprendinių rinkinį, t. y. visi vienos lygties sprendiniai turi būti ir kitos lygties sprendiniai, ir atvirkščiai.
K: Ką reiškia išspręsti lygtį?
A: Išspręsti lygtį reiškia surasti kintamųjų reikšmes, kurios lygtį padaro teisingą. Šios vertės vadinamos šaknimis.
Klausimas: Ar algebrinės lygtys su racionaliaisiais skaičiais visada gali būti paverstos lygtimis su sveikaisiais koeficientais?
Atsakymas: Taip, padauginus abi puses iš skaičiaus, pavyzdžiui, 42 = 2-3-7, ir sugrupavus pirmojo nario narius, bet kurią algebrinę lygtį su racionaliaisiais skaičiais galima paversti lygtimi su sveikaisiais koeficientais.
Klausimas: Kada senovės matematikai norėjo radikaliųjų išraiškų vienarūšėms lygtims?
A: Senovės matematikai norėjo radikaliųjų išraiškų (pvz., x=1+√5/2) vienmatėms lygtims (lygtims su vienu kintamuoju) Renesanso laikotarpiu.
K: Kas šiuo laikotarpiu sprendė 3 ir 4 laipsnio lygtis?
A: Gerolamo Cardano išsprendė 3 laipsnio lygtis, o Lodovico Ferrari - 4 laipsnio lygtis.
K: Kas įrodė, kad aukštesnio laipsnio lygtys ne visada gali būti sprendžiamos naudojant radikalus?
A: 1824 m. Nielsas Henrikas Abelis įrodė, kad aukštesniojo laipsnio lygtys ne visada gali būti sprendžiamos naudojant radikalus.
