Algebrinė lygtis: apibrėžimas, pavyzdžiai ir sprendimo būdai

Sužinokite, kas yra algebrinė lygtis: aiškus apibrėžimas, iliustruojantys pavyzdžiai ir efektyvūs sprendimo būdai (vienmačiai, daugiamačiai, racionalūs, kompleksiniai).

Matematikoje algebrinė lygtis, dar vadinama polinomo lygtimi tam tikrame lauke, yra tokios formos lygtis

P = Q {\displaystyle P=Q}

kur P ir Q yra polinomai virš to lauko ir turi vieną (vienmatį) arba daugiau nei vieną (daugiamatį) kintamąjį. Pavyzdžiui:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}}

yra algebrinė lygtis apie racionaliuosius skaičius.

Dvi lygtys vadinamos lygiavertėmis, jei jų sprendinių aibė yra tokia pati. Tai reiškia, kad visi antrosios lygties sprendiniai turi būti ir pirmosios lygties sprendiniai, ir atvirkščiai. Lygtis P = Q {\displaystyle P=Q} yra lygiavertė lygčiai P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} . Taigi algebrinių lygčių tyrimas yra lygiavertis polinomų tyrimui.

Jei algebrinė lygtis yra racionaliųjų skaičių srityje, ją visada galima paversti lygiaverte lygtimi, kurioje visi koeficientai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, pirmiau pateiktoje lygtyje padauginame iš 42 = 2-3-7 ir sugrupuojame pirmojo nario narius. Lygtis paverčiama į

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Lygties sprendiniai - tai kintamųjų reikšmės, kurioms lygtis yra teisinga. Tačiau algebrinių lygčių sprendiniai dar vadinami šaknimis. Sprendžiant lygtį reikia pasakyti, kurioje aibėje leidžiami sprendiniai. Pavyzdžiui, lygčiai per racionalųjį skaičių galima rasti sprendinius sveikųjų skaičių aibėje. Tada lygtis yra diofantinė lygtis. Taip pat galima ieškoti sprendinių kompleksinių skaičių srityje. Sprendinių taip pat galima ieškoti realiųjų skaičių srityje.

Senovės matematikai norėjo rasti vienmačių lygčių (t. y. lygčių su vienu kintamuoju) sprendinius radikaliųjų išraiškų pavidalu, pavyzdžiui, x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} teigiamam lygties x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} sprendiniui. Senovės egiptiečiai žinojo, kaip tokiu būdu spręsti 2 laipsnio lygtis (t. y. lygtis, kuriose didžiausia kintamojo galybė yra 2). Renesanso laikais Gerolamo Cardano išsprendė 3 laipsnio lygtį, o Lodovico Ferrari - 4 laipsnio lygtį. 1824 m. Nielsas Henrikas Abelis (Niels Henrik Abel) galiausiai įrodė, kad 5 laipsnio lygtis ir aukštesnio laipsnio lygtys ne visada gali būti sprendžiamos naudojant radikalus. Galois teorija, pavadinta Évariste'o Galois vardu, buvo įvesta siekiant pateikti kriterijus, pagal kuriuos sprendžiama, ar lygtis išsprendžiama naudojant radikalus.

Apibrėžimas ir pagrindiniai terminai

Algebrinė lygtis paprastai užrašoma kaip polinomų lygybė P = Q arba, ekvivalentu, kaip polinomas lygus nuliui P - Q = 0. Jeigu kintamieji yra x1, x2, ..., xn, tuomet polinomas gali būti vienmačio (vienas kintamasis) arba daugiamatis (daug kintamųjų).

• Laipsnis: vienmačio polinomo didžiausias kintamojo exponentas. Pavyzdžiui, x^3 + 2x − 1 yra 3 laipsnio polinomas.
• Priekinis (lyderinis) koeficientas: prie aukščiausio laipsnio termino prijungtas koeficientas.
• Šaknys (sprendiniai): kintamųjų reikšmės, kurios padaro polinomą lygią nuliui. Kartais vartojamas terminas „šaknies daugiakartumas“ arba multiplicity, jei šaknis kartojasi.
• Koeficientų laukas: laukas, kuriame pasirenkami koeficientai (pvz., sveikieji, racionalieji, realieji arba kompleksiniai skaičiai).

Pavyzdžiai

Keletas paprastų algebrinių lygčių pavyzdžių:

• Linijinė lygtis: 2x + 3 = 0 — laipsnis 1, lengvai išsprendžiama algebrai.
• Kvadratinė lygtis: x^2 + x − 1 = 0 — laipsnis 2, sprendžiama kvadratinės lygties formule arba faktorizacija, sprendinys pateiktas aukščiau: x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}.
• Kubinė arba aukštesnio laipsnio: kai laipsnis ≥ 3, sprendimo galimybės priklauso nuo laipsnio ir koeficientų; kai kurios iš jų galima išreikšti radikalais (3 ir 4 laipsnio atvejais), o kai kurios ne (bendrai 5 ir daugiau laipsnių, pagal Abelių–Galois rezultatą).
• Daugiamatės algebrinės lygtys, pvz., 42y^{4}+21xy−14x^{3}+42xy^{2}−42y^{2}+6=0 (pateikta aukščiau), kur sprendiniai yra poros (x,y) tinkamos aibos.

Kaip sprendžiamos algebrinės lygtis — pagrindiniai metodai

Metodas priklauso nuo laipsnio, koeficientų aibės ir nuo to, ar ieškoma tikslių ar skaitinių sprendinių. Dažniausi metodai:

• Faktorizacija: ieškoma polinomų daliklių, pvz., išskleidžiant kvadratinį trinomą arba taikant specialias formules (skirtingų laipsnių faktoriai, sumos ir skirtumo taisyklės).
• Kvadratinė formulė: vienmačiams antrinės pakopos polinomams x^2 + bx + c = 0 sprendiniai x = (−b ± √(b^2 − 4c))/2.
• Racioninių šaknų teorema: jeigu visi koeficientai yra sveikieji, tai galimi racionalūs šaknys turi būti formos p/q, kur p dalija laisvąjį terminą, o q — priešinio koeficiento daliklis. Tai naudinga ieškant racionalių sprendinių ir faktorizuojant.
• Substitucija ir pertvarkymas: vienu būdu galima sumažinti laipsnį (pvz., naudoti t = x^2 ir pan.).
• Eliminavimas ir rezultantai: daugiamates sistemas galima spręsti pašalinant kintamuosius naudojant eliminavimo metodus (pvz., Gauss eliminacija polinomų atveju, rezultantai, Sylvesterio matrica).
• Groebner pagrindai (Groebner bases): kompiuterinės algebros priemonė, skirta spręsti polinomų sistemoms, ypač daugiamatėms algebrinėms lygtims.
• Skaitinės metodikos: kai tikslaus sprendinio gauti negalima arba jis nėra reikalingas, taikomi skaitiniai metodai: Niutono–Rafsono metodas (Newton), dalinimo metodas (bisection), secant metodas, kvadratinio konvergavimo variantai, taip pat iteraciniai metodai daugiamatėms sistemoms.
• Simbolinė algebrinė sprendimo programinė įranga: daugelis CAS (computer algebra systems) gali rasti sprendinius simboliškai arba skaitmeniškai, taikant įvairias kombinacijas aukščiau minėtų metodų.

Šaknų savybės ir fundamentiniai teiginiai

Keletas svarbių faktų, naudingų lygčiai analizuoti:

• Fundamentinė algebros teorema: bet kuris n laipsnio polinomas su kompleksiniais koeficientais turi tiksliai n kompleksinių šaknų, skaičiuojant daugiskartumus.
• Šaknies daugiskartumas: jei (x − r)^k dalija polinomą, sakoma, jog r yra šaknis su daugiskartumu k. Tai reiškia, kad lygtėje r tenkina ne tik P(r)=0, bet ir P'(r)=0, …, P^{(k−1)}(r)=0 (pirma k−1 išvestinė lygi nuliui).
• Realių ir kompleksinių šaknų pasiskirstymas: realiame lauke šaknų gali būti mažiau nei laipsnis (dalis gali būti kompleksinės), tačiau kompleksiškai jos visada sudaro laipsnį n.
• Integralūs koeficientai ir racionalūs sprendiniai: jei visi koeficientai yra sveikieji, galima taikyti racioninių šaknų teoremą ir kitas aritmetines priemones, o sprendinių buvimas sveikųjų skaičių aibėje veda prie diofantinių problemų.

Diofantinės lygtis ir sprendiniai sveikųjų skaičių aibėje

Jei sprendinius reikalaujame sveikųjų skaičių aibėje, lygtis vadinama diofantine. Tokios lygties sprendimas gali būti sudėtingas: reikia naudoti papildomas priemones iš skaitmeninės teorijos, modulinės aritmetikos, skaitinių apribojimų ir kt. Kartais įmanoma naudoti algorithmus, kurie apriboja sprendinių skaičių arba leidžia jų paiešką per ribotą sritį.

Istorija trumpai

Žmonija ilgai siekė rasti polinomų sprendinius radikalais. Senovėje sprendimai egzistavo kvadratinėms lygtims, renesanso epochoje išspręstos kubinės ir ketvirtinės lygties formos. 1824 m. Abelis įrodė neįmanomumą bendram penktos (ir aukštesnių) laipsnių lygties sprendimui radikalais, o Galois teorija suteikė įrankius nustatyti, kada konkreti lygtis yra sprendžiama radikalais.

Praktiniai patarimai sprendžiant lygtis

• Visada patikrinkite, kokioje aibėje ieškote sprendinių (sveikieji, racionalieji, realieji, kompleksiniai).
• Jei koeficientai racionalūs, pirmas žingsnis gali būti išvalyti vardiklius (pavyzdžiui, padauginant iš bendro vardiklio), kad gautumėte sveikuosius koeficientus — kaip parodyta aukščiau.
• Ieškokite paprastų daliklių ar racionalių šaknų prieš taikant sudėtingus metodus.
• Naudokite skaitinius metodus, kai simbolinis sprendimas sudėtingas arba neįmanomas.
• Jei tai daugiamatė sistema, apsvarstykite Groebner bazes arba eliminacijos metodus.

Santrauka

Algebrinė lygtis — tai polinomų lygybė, kurios sprendiniai (šaknys) gali būti tiriami įvairiose koeficientų ir sprendinių aibėse. Priklausomai nuo laipsnio ir koeficientų, galima taikyti faktorizaciją, specialias formules, racioninių šaknų teoremą, simbolines ar skaitines priemones. Istoriškai sprendimų įvairovė ir galimumas išreikšti juos radikalais lėmė reikšmingą teorinį progresą, įskaitant Galois teoriją.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra algebrinė lygtis?

K: Kaip dvi lygtys gali būti lygiavertės?

K: Ką reiškia išspręsti lygtį?

Klausimas: Ar algebrinės lygtys su racionaliaisiais skaičiais visada gali būti paverstos lygtimis su sveikaisiais koeficientais?

Klausimas: Kada senovės matematikai norėjo radikaliųjų išraiškų vienarūšėms lygtims?

K: Kas šiuo laikotarpiu sprendė 3 ir 4 laipsnio lygtis?

K: Kas įrodė, kad aukštesnio laipsnio lygtys ne visada gali būti sprendžiamos naudojant radikalus?

Paieška pagal raidę