Kas yra daugianaris (polinomas)? Apibrėžimas ir pavyzdžiai
Sužinokite, kas yra daugianaris (polinomas): aiški apibrėžtis, pavyzdžiai ir sprendimo metodai pradedantiesiems ir pažengusiems.
Daugianaris — tai konkreti algebrinė išraiška, sudaryta iš kelių narių sumos. Kiekvienas narys yra monominis, t. y. skaičius, kintamasis arba kelių kintamųjų sandauga. Kai matote algebrinę išraišką, kur raidės derinamos su skaičiais ir aritmetika, pavyzdžiui, 7x⁴-3x³+19x²-8x+197, didelė tikimybė, kad tai yra polinomas. Matematikai, mokslininkai ir inžinieriai polinomus naudoja uždaviniams modeliuoti ir spręsti, o jie dažnai dėstomi algebros kursuose, kurie paruošia studijas techniniuose ir gamtos mokslų dalykuose.
Apibrėžimas ir leistini veiksmai
Daugianaris — tai algebrinė išraiška, kurioje leidžiami tik šie aritmetiniai veiksmai: sudėtis, atimtis, daugyba ir sveikųjų skaičių eksponentai. Jei išraiškoje pasirodo dalyba, šaknys arba nevisiški eksponentai (pvz., trupmeniniai), tai tokia išraiška jau nėra polinomas. Dėl paprastų veiksmų polinomai dažnai būna lengviau analizuojami ir skaitomi nei sudėtingesnės išraiškos.
Pagrindinės sąvokos
- Monomai — vieno nario išraiškos, pvz., 3x, −5x², 7. Kiekvienas monomas turi koeficientą (skaičių prieš kintamąjį) ir potę (kintamojo laipsnį).
- Koeficientas — laisvas skaičius monomo priekyje (pvz., 7 polinome 7x⁴ koeficientas yra 7).
- Laipsnis (laipsnis pagal kintamąjį) — didžiausias kintamojo eksponentas polinome. Pvz., polinomo laipsnis 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 yra 4.
- Nulinis polinomas — visų koeficientų nulis; jo laipsnis neturi prasmės arba apibrėžiamas kaip −∞.
- Standartinė forma — polinomas surikiuotas mažėjimo tvarka pagal laipsnius: pvz., 7x⁴-3x³+19x²-8x+197.
Daugianarių tipai pagal laipsnį
- Konstantiniai (laipsnis 0): pvz., 5.
- Linijiniai (laipsnis 1): pvz., 2x+1.
- Kvadratiniai (laipsnis 2): pvz., x²−4x+4.
- Trečio laipsnio (kubiniai), ketvirto laipsnio ir kt.: pvz., 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 yra ketvirto laipsnio polinomas.
Operacijos su daugianariais
Pagrindinės operacijos yra:
- Sudetis ir atimtis: jungiant panašius narius sudedami jų koeficientai (pvz., 3x² + 2x² = 5x²).
- Daugyba: kiekvieną pirmo polinomo narį dauginame iš kiekvieno antro polinomo nario ir tuomet sujungiame panašius narius (pvz., (x+2)(x−3) = x² − x − 6).
- Dalyba: polinomų dalyba gali būti atliekama ilgosios dalybos arba sintetinės dalybos metodais; dalybos rezultatas nebūtinai yra polinomas su sveikaisiais eksponentais, jei daliklis netinka.
- Derivavimas ir integravimas: polinomai labai patogūs diferenciacijai ir integracijai, nes laipsnių taisyklės taikomos paprastai.
Reikšmė, šaknys ir faktorizacija
Polinoma funkcija yra išraiška, kuriai priskiriama reikšmė pagal kintamojo x vertę, pvz., f(x) = 7x⁴-3x³+19x²-8x+197. Daugianario šaknis (ar nulinė vieta) yra x reikšmė, kuriai polinomas tampa lygus nuliui, pvz., sprendžiant lygčių sistemą 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0. Polinomus dažnai faktorizuoja į žemesnio laipsnio daugianarius (pvz., į lineares arba kvadratines dalis), kad būtų lengviau rasti šaknis arba supaprastinti išraiškas.
Naudojimas ir taikymai
Daugianariai plačiai taikomi:
- modeliuojant fizikinius procesus ir inžinerinius reiškinius;
- numeriniuose metoduose (aproksimacijos, interpolacija, polinomų tinka regresijai);
- kompiuterinėje grafikoje (Bezier kreivės ir kt.);
- signalų apdorojime ir sistemų analizėje.
Trumpas pavyzdys
Tarkime, turime polinomą 7x⁴-3x³+19x²-8x+197. Jo laipsnis yra 4, laisvasis narys (konstantinis) — 197. Norėdami įvertinti polinomą konkrečioje vietoje, pvz., x=1, pakeičiame x reikšme ir apskaičiuojame: 7−3+19−8+197 = 212. Jei norime sužinoti šaknis, reikėtų spręsti lygčiai 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0 ir, priklausomai nuo koeficientų, tai galima atlikti analitiškai (retai) arba skaitine trajektorija.
Daugianariai — tai universalus ir lengvai valdomas algebros įrankis, kurį verta gerai suprasti tiek moksliniuose, tiek praktiniuose uždaviniuose.
Apie polinomus
Daugiamačiuose "daugyba yra suprantama". Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 2x reiškia du kartus x arba du kartus x. Jei x yra 7, tai 2x yra 14.
Daugianario dalys, atskirtos pliuso arba minuso ženklais, vadinamos terminais. Pliuso arba minuso ženklas yra termino dalis. Taigi daugianario 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 nariai yra:
7x⁴
-3x³
+19x²
-8x
+197
Jei daugianaris turi tik vieną narį, jis vadinamas monominiu. 5x3 yra monomialas. Priešais esantis daugiklis vadinamas koeficientu, raidė vadinama nežinomuoju arba kintamuoju, o po x esantis padidintas skaičius - eksponentė. Skaičiuotuvuose ir kai kuriuose kompiuteriuose vietoj eksponentės virš x ir dešinėje pusėje naudojamas simbolis ^, todėl aukščiau pateiktą monominį skaičių galima užrašyti 5x^3.
Daugianaris, turintis lygiai tris narius, vadinamas trinariu.
Daugianaris, turintis lygiai du narius, vadinamas dvinariu.
Terminas, kuriame nėra kintamųjų, vadinamas "pastoviuoju terminu".
Terminas su vienu kintamuoju, bet be eksponentės, vadinamas "pirmojo laipsnio terminu" arba "tiesiniu terminu".
Vieno kintamojo narys, kurio eksponentas yra 2, vadinamas "antrojo laipsnio nariu" arba "kvadratiniu nariu". Kvadratinė lygtis - tai lygtis, kurios didžiausias bet kurio nario eksponentas yra 2.
Terminas su vienu kintamuoju, kurio eksponentas yra 3, vadinamas "trečiojo laipsnio terminu" arba "kubiniu terminu". "Kubinė lygtis" - tai lygtis, kurios didžiausias bet kurio nario eksponentas yra 3.
Terminas su vienu kintamuoju, kurio eksponentas yra 4, vadinamas "ketvirtojo laipsnio terminu" arba "kvartiškuoju terminu". "Kvarto lygtis" - tai lygtis, kurios didžiausias bet kurio nario eksponentas yra 4.
Terminas su vienu kintamuoju, kurio eksponentas yra 5, vadinamas "penktojo laipsnio terminu" arba "kvintiniu terminu". "Kvintine lygtimi" vadinama lygtis, kurios didžiausias bet kurio nario eksponentas yra 5.
Terminas su vienu kintamuoju, kurio eksponentas yra 6, vadinamas "šešto laipsnio terminu" arba "sekstiniu terminu". "Šešetainė lygtis" - tai lygtis, kurios didžiausias bet kurio nario eksponentas yra 6.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra polinomas?
A: Daugianaris - tai matematinė išraiška, kuri yra kelių matematinių narių, vadinamų vienanariaisiais, t. y. skaičių, kintamųjų arba skaičių ir kelių kintamųjų sandaugų, suma.
K: Kaip matematikai, mokslininkai ir inžinieriai naudoja polinomus?
A: Matematikai, mokslininkai ir inžinieriai sprendžiant uždavinius naudoja polinomus.
K: Kokias operacijas galima atlikti algebrinėje išraiškoje, kad ji taptų polinomu?
A: Kad algebrinę išraišką būtų galima laikyti daugianariu, galima atlikti tik šias aritmetines operacijas: sudėties, atimties, daugybos ir sveikųjų skaičių daugybos. Jei naudojamos sunkesnės operacijos, tokios kaip dalybos ar kvadratinės šaknys, algebrinė išraiška nelaikoma polinomu.
Klausimas: Kokio tipo lygtis galima sudaryti naudojant polinomus?
A: Daugianariai dažnai naudojami tiek daugianarėms lygtims (pavyzdžiui, 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0), tiek daugianarėms funkcijoms (pavyzdžiui, f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197) sudaryti.
Klausimas: Kokį dalyką reikia išmanyti, norint dirbti su polinomais?
A: Norint dirbti su daugianariais, reikia išmanyti algebrą, kuri yra įžanga į visus techninius dalykus.
Ieškoti