Panašumas geometrijoje: apibrėžimas, savybės ir trikampių atvejai
Sužinokite panašumo geometrijoje apibrėžimą, pagrindines savybes ir trikampių panašumo taisykles — kampai, kraštinių proporcijos ir praktiniai pavyzdžiai.
Panašumas – tai geometrijos sąvoka, reiškianti, kad dvi figūros turi tą pačią formą, nors gali skirtis dydžiu. Panašios figūros turi vienodus kampus ir proporcingas atitinkamas kraštines. Kitaip tariant: jeigu figūros yra tokios, kad jų kampai atitinka vienas kitą, o kraštinių ilgiai yra tarpusavyje proporcingi, tokiu atveju jos yra panašios. Dėl to, pavyzdžiui, visi apskritimai, visi kvadratai ar bet kurios dvi tiesių atkarpos yra visada panašios.
Kas sudaro panašumą
Panašumas remiasi dviem pagrindiniais principais:
- Atitinkami kampai yra lygūs (visi atitinkamų kampų matmenys sutampa).
- Atitinkamos kraštinės yra proporcingos (kraštinių santykis tarp dviejų figūrų visur vienodas).
Šiuos principus galima užrašyti taip: jeigu dvi figūros A ir B yra panašios, tai egzistuoja teigiamas mastelio koeficientas k, kad kiekviena figūros A kraštinė = k × atitinkama figūros B kraštinė. Dažnai naudojama žyma A ~ B reiškiant panašumą.
Panašumo ypatybės ir operacijos
- Mastelis (koeficientas): jei atitinkamų kraštinių santykis yra k, tai perimetras ir ilgiai dauginasi iš k, o ploto santykis lygus k².
- Transformacijos: panašiomis figūras galima gauti sudarantis dilataciją (masto keitimą), kartu su poslinkimu (transliacija), sukimusi (rotacija) arba atspindžiu. Tokios kompozicijos vadinamos panašumo (similarity) transformacijomis.
- Orientacija: panašumas gali išsaugoti arba apversti orientaciją (priklausomai ar yra atspindys ar ne).
- Kongruencija: panašumas yra artimas kongruencijai. Kongruentinės figūros turi tokius pačius kampus ir tokius pačius kraštinių ilgius, todėl kiekvienos kongruentinės figūros taip pat yra panašios (tai specialus atvejis, kai mastelis k = 1).
Panašumas trikampiuose — kriterijai
Trikampiai turi privilegiją: pakanka tik vienos iš paprastų sąlygų, kad nustatyti jų panašumą. Dažniausiai vartojami kriterijai yra šie:
- AA (kampas–kampas): jeigu du trikampiai turi du atitinkančius kampus lygiai vienodus, tai ir trečias kampas bus lygus ir trikampiai yra panašūs.
- SAS (kraštinė–kampas–kraštinė): jeigu dvi kraštinės vieno trikampio yra proporcingos dviem kraštinėms kito trikampio ir kampas tarp tų kraštinių yra lygus, trikampiai yra panašūs.
- SSS (kraštinė–kraštinė–kraštinė): jeigu visų trijų kraštinių santykiai tarp dviejų trikampių yra lygūs (proporcingi), trikampiai yra panašūs.
Šie kriterijai leidžia labai patogiai nagrinėti trikampių uždavinius remontuojant arba keičiant mastelį.
Pavyzdžiai ir taikymai
- Visi reguliarieji daugiakampiai su tuo pačiu viršūnių skaičiumi yra panašūs (pvz., visi reguliarūs šešiakampiai).
- Jeigu dvi tiesės jungia dvi proporcingas atkarpas ir sudaro lygius kampus, gautos figūros bus panašios.
- Architektūroje ir technikoje panašumo sąvoka leidžia modeliuoti mažesnius arba didesnius objektų vaizdus (mastelio modeliai, brėžiniai), nes visos ilginių proporcijos išlieka.
Plotų, ilgių ir kitų dydžių santykiai
Jeigu dvi figūros yra panašios su masteliu k (t. y. atitinkamos kraštinės santykis = k), tai galioja:
- Ilgių santykis: L1 / L2 = k
- Perimetrų santykis: P1 / P2 = k
- Plotų santykis: S1 / S2 = k²
Tai labai naudinga sprendžiant uždavinius, kai reikia rasti paslėptus ilgius arba plotus remiantis panašiais figūrų fragmentais.
Specialūs ir dažni atvejai
- Visi apskritimai yra panašūs, nes kiekvienam apskritimui kampų sąvoka netaikoma, o atstumas nuo centro iki lankų (spindulys) tik skalaujasi.
- Bet kurios dvi tiesių atkarpos yra panašios — jos turi tą pačią „formą“ (tiesumą) ir jų ilgiai yra santykiuojami.
- Kvadratai, visi reguliarūs daugiakampiai su vienodu viršūnių skaičiumi taip pat visada yra panašūs tarpusavyje.
Kaip patikrinti panašumą praktikoje
Dažnai užtenka nustatyti atitinkamų kampų lygumą arba patikrinti kraštinių santykius. Trikampių uždaviniuose paprastai pirmiausia bandoma pritaikyti AA, SAS arba SSS kriterijų. Jei figūros gaunamos iš vienos kitos sudauginus visus ilgius iš vieno koeficiento, tai aišku, jog jos yra panašios.
Panašumo samprata yra universali ir plačiai taikoma: nuo elementarių uždavinių mokykloje iki inžinerinių brėžinių ir architektūros modelių. Suprasdami kampų ir kraštinių proporcijas, galime paprastai spręsti daug geometrinių problemų.
Ta pačia spalva pavaizduoti skaičiai yra panašūs
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra panašumas?
A: Panašumas - tai geometrijos idėja, reiškianti, kad du daugiakampiai, tiesių atkarpos ar kitos figūros gali tapti vienodos keičiant dydį.
K: Kaip sužinoti, ar dvi figūros yra panašios?
A: Dvi figūros yra panašios, jei jų kampai yra vienodo dydžio, o kraštinės proporcingos.
K: Ar visi daugiakampiai yra panašūs vienas į kitą?
Atsakymas: Ne, ne visi daugiakampiai yra panašūs vienas į kitą. Kad visi kiti daugiakampiai būtų laikomi panašiais, jie turi tenkinti abi sąlygas - turėti vienodus kampus ir proporcingas kraštines.
K: Kaip panašumas skiriasi nuo gretimumo?
A: Suderintos figūros turi tas pačias kraštines ir kampus, todėl dvi figūros yra viena su kita suderintos, jei viena iš jų gali tapti kita tik pasukant, atspindint ar perkeliant. Visos figūros, kurios yra kongruentinės viena kitai, taip pat yra panašios, bet ne atvirkščiai.
Klausimas: Ar apskritimai visada panašūs?
Atsakymas: Taip, apskritimai, kvadratai arba tiesių atkarpos visada laikomi panašiais.
Ieškoti