Theorema egregium
Gauso Egregium teorema (lot. Theorema Egregium) - svarbus diferencialinės geometrijos rezultatas, kurį įrodė Karlas Frydrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss). Teorema yra apie paviršių kreivumą. Teoremoje teigiama, kad kreivumą galima nustatyti vien matuojant kampus, atstumus ir jų normas paviršiuje. Nereikia kalbėti apie tai, kokiu konkrečiu būdu paviršius įterptas į jį supančią trimatę Euklidinę erdvę. Kitaip tariant, paviršiaus Gauso kreivumas nesikeičia, jei paviršių lenkiame jo netempdami.
Gausas pateikė šią teoremą taip (išvertus iš lotynų kalbos):
Dėl šios priežasties ankstesniame straipsnyje pateikta formulė pati savaime veda prie nuostabios teoremos. Jei kreivas paviršius išvystomas ant bet kokio kito paviršiaus, kreivumo matas kiekviename taške išlieka nepakitęs.
Ši teorema yra "nepaprasta", nes pradiniame Gauso kreivumo apibrėžime tiesiogiai naudojama paviršiaus padėtis erdvėje. Todėl gana netikėta, kad rezultatas nepriklauso nuo jo įterpimo, nepaisant visų patiriamų lenkimo ir sukimo deformacijų.
Egregijaus teorijos pasekmė yra ta, kad Žemė negali būti vaizduojama žemėlapyje be iškraipymų. Čia parodyta Merkatoriaus projekcija išsaugo kampus, bet pakeičia plotą. Pavyzdžiui, Antarktida vaizduojama daug didesnė nei yra iš tikrųjų.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Gauso "Theorema Egregium"?
A: Gauso Egregium teorema yra pagrindinis diferencialinės geometrijos rezultatas apie paviršių kreivumą, kurį įrodė Karlas Frydrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss).
K: Kaip, remiantis Gauso Egregium teorema, galima nustatyti kreivumą?
A: Pagal Gauso Egregium teoremą kreivumą galima nustatyti matuojant tik kampus, atstumus ir jų santykius paviršiuje.
Klausimas: Ar norint nustatyti kreivumą reikia kalbėti apie tai, kaip konkrečiai paviršius įterptas į jį supančią trimatę Euklidinę erdvę?
Atsakymas: Ne, norint nustatyti kreivumą pagal Gauso "Theorema Egregium", nebūtina kalbėti apie tai, kokiu konkrečiu būdu paviršius įterptas į jį supančią trimatę Euklidinę erdvę.
Klausimas: Ar pasikeičia paviršiaus Gauso kreivumas, jei paviršių lenkiame jo netempdami?
Atsakymas: Ne, paviršiaus Gauso kreivumas nesikeičia, jei paviršių lenkiame jo netempdami pagal Gauso Egregium teoremą.
K: Kas taip pateikė šią teoremą?
Atsakymas: Taip teoremą pateikė Gausas.
K: Kuo ši teorema yra žymi?
Atsakymas: Teorema yra "žymi", nes pradiniame Gauso kreivumo apibrėžime tiesiogiai naudojama paviršiaus padėtis erdvėje. Todėl gana netikėta, kad rezultatas nepriklauso nuo jo įterpimo, nepaisant visų patiriamų lenkimo ir sukimo deformacijų.
Klausimas: Kokiu būdu Gausas pateikė teoremą?
Atsakymas: Gausas teoremą pateikė taip, kad jei kreivas paviršius išvystomas bet kuriame kitame paviršiuje, kreivumo matas kiekviename taške išlieka nepakitęs.
