Wavelet transformacija

Wavelet transformacija - tai signalo atvaizdavimas laiko ir dažnio atžvilgiu. Pavyzdžiui, ją naudojame triukšmui mažinti, požymiams išgauti arba signalui suspausti.

Nepertraukiamo signalo banginė transformacija apibrėžiama taip

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={{\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kur

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ yra vadinamoji motininė bangolaidė,
a {\displaystyle a} žymi bangų pjūvio dilataciją,
b {\displaystyle b} $b$ žymi bangų pjūvio laiko poslinkį ir
∗ {\displaystyle *} $*$ simbolis reiškia kompleksinį konjugatą.

Jei a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ ir b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ kur a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0}, o m $T>0$ {\displaystyle m} ir k {\displaystyle k} yra sveikųjų skaičių konstantos, banginė transformacija vadinama diskrečiąja bangine transformacija (ištisinio signalo).

Jei a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ir b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ kai m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , diskrečioji banginė transformacija vadinama diadine. Ji apibrėžiama taip

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kur

m {\displaystyle m} yra dažnio skalė,
k {\displaystyle k} yra laiko skalė ir
T {\displaystyle T} $T$ yra konstanta, kuri priklauso nuo motininio bangolaidžio.

Diadinę diskrečiąją banginę transformaciją galima perrašyti taip

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kur h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ yra ištisinio filtro impulsinė charakteristika, kuri yra identiška ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ duotajam m {\displaystyle m} .

Analogiškai diadinė banginė transformacija su diskrečiuoju laiku (diskrečiojo signalo) apibrėžiama taip

Tęstinė dažnio sklaidos signalo banginė transformacija. Naudojamas simletas su 5 nykstančiais momentais.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra banginė transformacija?

A: Banginė transformacija yra signalo laiko ir dažnio atvaizdavimas, naudojamas triukšmui mažinti, požymiams išgauti arba signalui suspausti.

K: Kaip apibrėžiama ištisinių signalų banginė transformacija?

A: Ištisinių signalų banginė transformacija apibrėžiama kaip integralas per visas funkcijos reikšmes, padaugintas iš motininės banginės transformacijos, kur parametrai "a" ir "b" reiškia atitinkamai dilataciją ir laiko poslinkį.

K: Kas yra diadinės diskrečiosios bangelinės transformacijos?

A: Diadinės diskrečiosios bangelinės transformacijos yra įprastinių diskrečiųjų bangelinių transformacijų diskrečiosios versijos su dažnio skale "m", laiko skale "k" ir konstanta "T". Juos galima perrašyti kaip integralą per visas funkcijos reikšmes, padaugintas iš impulsinio charakteringo filtro, kuris yra identiškas motininiam bangolaidžiui duotam m.

K: Ką šiame kontekste reiškia "motininis bangolaidis"?

A: Šiame kontekste "motininiai bangolaidžiai" reiškia funkcijas, kurios naudojamos kartu su kitomis funkcijomis, kad sudarytų pagrindą apskaičiuoti tam tikro tipo transformaciją (šiuo atveju - banginę transformaciją).

Klausimas: Kaip apskaičiuoti diadinius diskrečiuosius Waveletus?

A: Diadiniai diskretieji bangolaidžiai apskaičiuojami naudojant integralą visoms funkcijos reikšmėms, padaugintoms iš impulso charakteristikos filtro, kuris yra identiškas motininiam bangolaidžiui, esant duotam m. Be to, jiems kaip parametrai reikalingi dažnių skalė m, laiko skalė k ir konstanta T.

Klausimas: Ką reiškia "a" ir "b" apibrėžiant ištisinius bangolaidžius?

Atsakymas: Apibrėžiant ištisines bangines, "a" reiškia išsiplėtimą, o "b" - laiko poslinkį.