Banginė transformacija — apibrėžimas, taikymai ir CWT/DWT paaiškinimas

Banginė transformacija: aiškus apibrėžimas, CWT ir DWT paaiškinimai bei praktiniai taikymai signalo analizei, triukšmo mažinimui ir duomenų suspaudimui su pavyzdžiais.

Autorius: Leandro Alegsa

12-12-2025 22:22

Wavelet transformacija – tai signalo atvaizdavimas laiko ir dažnio atžvilgiu. Ji leidžia vienu metu stebėti vietinius laiko (ar erdvės) ir dažnio ypatumus. Dažniausi taikymai: triukšmo mažinimas, požymių išgavimas, signalų ir vaizdų suspaudimas, laiko–frekvencinė analizė bei anomalijų aptikimas.

Nepertraukiamoji banginė transformacija (CWT)

Nepertraukiamo signalo banginė transformacija apibrėžiama taip

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={{\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kur

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ yra vadinamoji motininė bangolaidė;
a {\displaystyle a} žymi skalę (dilataciją) — didesnė a reiškia platesnę bangolaidę ir žemesnį dažnį;
b {\displaystyle b} $b$ žymi laiko poslinkį (lokalizaciją);
∗ {\displaystyle *} $*$ simbolis reiškia kompleksinį konjugatą.

CWT suteikia perteklinį (redundant) vaizdavimą: transformacijos rezultatas yra funkcija dviejose kintamosiose (a,b). Norint atkurti pradinį signalą, motininė bangolaidė turi tenkinti priimtinumo (admissibility) sąlygą. Tai užtikrina, kad transformacija invertuojama. Priimtinumo sąlyga išreiškiama per motininės bangolaidės Fourier transformaciją Ψ(ω): integralas ∫_{0}^{∞} |Ψ(ω)|^2 / ω dω turi būti galutinis (C_ψ < ∞).

Inversinė CWT formulė (viena iš dažniausiai naudojamų) yra:

f(t) = (1 / C_ψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{-∞}^{∞} W_ψ f(a,b) (1/√a) ψ((t-b)/a) db (da / a^2),

kur C_ψ yra priimtinumo konstanta. Praktikoje CWT naudojama, kai svarbi kontinuali laiko–skalės informacija, pavyzdžiui, impulsų ar trumpalaikių reiškinių aptikimui.

Diskretiškoji banginė transformacija (DWT) ir diadinė DWT

Diskrečioji banginė transformacija gaunama diskretizuojant parametrus a ir b. Jei a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ ir b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , tada gaunama diskrečioji transformacija. Specialus ir daugiausiai vartojamas atvejis yra dyadinė (dyadic) diskretizacija, kai a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ir b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ .

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kur

m {\displaystyle m} nurodo skirtingas rezoliucijas (dažnio skalę);
k {\displaystyle k} žymi laiko (erdvės) poslinkį;
T {\displaystyle T} $T$ yra konstanta, kuri priklauso nuo motininio bangolaidžio ir diskretizavimo.

Diadinę diskrečiąją banginę transformaciją galima perrašyti taip

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kur h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ yra ištisinio filtro impulsinė charakteristika, identiška ψ_m^* ({\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ ) atitinkamai m rezoliucijai.

Analogiškai diadinė banginė transformacija su diskrečiuoju laiku (diskrečiojo signalo) apibrėžiama taip

Diskrečiojo laiko DWT dažnai realizuojama naudojant filtrų bankus ir piramidinius algoritmus (Mallat algoritmas). Signalas suskaidomas į artinimo (approximation) ir detalės (detail) koeficientus įvairiuose lygiuose. Tokia struktūra sukuria daugiaresoliucinį analizės vaizdą – multiresolution analysis (MRA).

Savybės ir praktiškai svarbūs aspektai

Laiko–frekvencinė lokalizacija: bangoladės suteikia geresnę lokalizaciją trumpalaikiams aukšto dažnio signalams ir ilgesnę analizę žemo dažnio komponentams.
Ortogonališkumas ir biortogonališkumas: tam tikros bangoladės (pvz., Haar, Daubechies) leidžia ortogonalią DWT, todėl galima atlikti perfekčią atkūrimą be pertekliaus; biortogonalinės bangoladės suteikia lankstumo filtro savybėse.
Rekonstrukcija: CWT invertuojama per priimtinumo konstantą C_ψ. DWT rekonstrukcija atliekama per atitinkamas atstatymo filtrų poras (low-pass/high-pass) taikant inversinį piramidės algoritmą.
Skaičiavimo sudėtingumas: DWT (piramidinis) gali būti įgyvendinama O(N) operacijų, todėl yra efektyvi praktinėms reikmėms; CWT paprastai reikalauja daugiau skaičiavimų ir duoda perteklinį rezultatą.
Robustumas triukšmui: banginė denoising technika remiasi koeficientų šalinimu arba mažinimu (thresholding): hard/soft thresholding, kuris efektyviai pašalina balto triukšmo komponentus iš signalo.

Dažniausiai naudojamos motininės bangoladės

Haar – paprasčiausia, greita, bet nelabai glotni (stačios ribos).
Daubechies (DbN) – geras kompromisas tarp kompaktiškumo ir glotnumo; dažnai naudojama DWT.
Symlets, Coiflets – panašios į Daubechies su geresnėmis simetrijos savybėmis.
Morlet, Mexican hat – dažnai naudojamos CWT laiko–frekvencinei analizei ir impulsams aptikti.

Praktiniai taikymai

Vaizdų suspaudimas: JPEG2000 naudoja wavelet pagrindu veikiančias technikas; DWT leidžia gauti efektyvų multiresoliucinį vaizdo reprezentavimą.
Triukšmo šalinimas: bangelinė slopinimo (thresholding) technika plačiai taikoma garso, vaizdo ir medicininių signalų valymui.
Požymių išgavimas: bioinžinerijoje (EKG, EEG), seismikoje, garso atpažinime – bangeliniai koeficientai naudojami kaip savybės klasifikacijai.
Laiko–frekvencinė analizė: transientams, moduliacijai ir dažnio pokyčiams stebėti (pvz., gedimų aptikimas mechaninėse sistemose).

Įgyvendinimo patarimai

Pasirinkite motininę bangolaidę pagal signalų savybes: trumpi impulsai – geros lokalizacijos bangoladės; glotnūs signalai – bangoladės su didesniu apvalkalu.
DWT įgyvendinamas per filtrų banką ir decimation; atkreipkite dėmesį į kraštų apdorojimą (padding, periodizacija, simetriškas pratęsimas).
CWT gali būti skaičiuojama efektyviai naudojant FFT konvoliucijų metodus, bet CWT rezultatas yra perteklinis ir gali reikalauti didesnės atminties.
Denoi̇sing: eksperimentuokite su hard/soft threshold ir lygiavimo (level-dependent) strategijomis; universalus slenkstis Donoho metodo pagrindu yra pradinė gairė.

Apibendrinant: banginė transformacija – universali ir galinga priemonė laiko–frekvencinei analizei, turinti tiek teorinį (rekonstrukcija, priimtinumo sąlygos), tiek praktinį (DWT filtrų bankai, denoising, suspaudimas) pagrindą. Tinkamai parinkta motininė bangolaidė ir diskretizacijos strategija leidžia pritaikyti šią metodiką labai skirtingoms sritims.

Tęstinė dažnio sklaidos signalo banginė transformacija. Naudojamas simletas su 5 nykstančiais momentais.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra banginė transformacija?

A: Banginė transformacija yra signalo laiko ir dažnio atvaizdavimas, naudojamas triukšmui mažinti, požymiams išgauti arba signalui suspausti.

K: Kaip apibrėžiama ištisinių signalų banginė transformacija?

A: Ištisinių signalų banginė transformacija apibrėžiama kaip integralas per visas funkcijos reikšmes, padaugintas iš motininės banginės transformacijos, kur parametrai "a" ir "b" reiškia atitinkamai dilataciją ir laiko poslinkį.

K: Kas yra diadinės diskrečiosios bangelinės transformacijos?

A: Diadinės diskrečiosios bangelinės transformacijos yra įprastinių diskrečiųjų bangelinių transformacijų diskrečiosios versijos su dažnio skale "m", laiko skale "k" ir konstanta "T". Juos galima perrašyti kaip integralą per visas funkcijos reikšmes, padaugintas iš impulsinio charakteringo filtro, kuris yra identiškas motininiam bangolaidžiui duotam m.

K: Ką šiame kontekste reiškia "motininis bangolaidis"?

A: Šiame kontekste "motininiai bangolaidžiai" reiškia funkcijas, kurios naudojamos kartu su kitomis funkcijomis, kad sudarytų pagrindą apskaičiuoti tam tikro tipo transformaciją (šiuo atveju - banginę transformaciją).

Klausimas: Kaip apskaičiuoti diadinius diskrečiuosius Waveletus?

A: Diadiniai diskretieji bangolaidžiai apskaičiuojami naudojant integralą visoms funkcijos reikšmėms, padaugintoms iš impulso charakteristikos filtro, kuris yra identiškas motininiam bangolaidžiui, esant duotam m. Be to, jiems kaip parametrai reikalingi dažnių skalė m, laiko skalė k ir konstanta T.

Klausimas: Ką reiškia "a" ir "b" apibrėžiant ištisinius bangolaidžius?

Atsakymas: Apibrėžiant ištisines bangines, "a" reiškia išsiplėtimą, o "b" - laiko poslinkį.

Ieškoti