Vilnelė (matematika)

Bangavimas - tai matematinė funkcija, naudojama funkcijai ar signalui užrašyti kitomis funkcijomis, kurias paprasčiau tirti. Daugelį signalų apdorojimo uždavinių galima nagrinėti banginės transformacijos terminais. Neformaliai kalbant, signalą galima matyti po lęšiu, kurio didinimą nusako banginės transformacijos mastelis. Tokiu būdu matome tik tą informaciją, kurią lemia naudojama bangolaidžio forma.

Anglišką terminą "wavelet" aštuntojo dešimtmečio pradžioje įvedė prancūzų fizikai Jeanas Morlet ir Alexas Grossmanas. Jie pavartojo prancūzišką žodį "ondelette" (kuris reiškia "maža banga"). Vėliau šis žodis buvo perkeltas į anglų kalbą, išvertus "onde" į "bangą" ir gavus "wavelet".

Wavelet yra (kompleksinė) funkcija iš Hilberto erdvės ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ) $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ } . Praktiniam taikymui ji turėtų tenkinti šias sąlygas.

Jis turi turėti ribotą energiją.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Jis turi atitikti priimtinumo sąlygą.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kur ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ yra ψ {\displaystyle \psi \,} Furjė transformacija. $\psi \,$

Nulinio vidurkio sąlyga išplaukia iš priimtinumo sąlygos.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkcija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ vadinama motinine bangolaidžio funkcija. Jos išversta (paslinkta) ir išplėsta (mastelinė) normalizuotos versijos apibrėžiamos taip.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Originalioji motininė bangolaidė turi parametrus a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ir b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Transliaciją apibūdina parametras b {\displaystyle b} $b$ , o dilataciją - parametras a {\displaystyle a}.

Morleto bangolaidis

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra bangelė?

A: Valeletas yra matematinė funkcija, naudojama funkcijai ar signalui užrašyti kitomis paprasčiau tiriamomis funkcijomis. Ją galima matyti per lęšį su padidinimu, kurį duoda bangelės mastelis, todėl matome tik tą informaciją, kurią lemia jos forma.

Klausimas: Kas įvedė terminą "waveletas"?

A: Anglišką terminą "wavelet" aštuntojo dešimtmečio pradžioje įvedė prancūzų fizikai Jeanas Morlet ir Alexas Grossmanas, kurie pavartojo prancūzišką žodį "ondelette" (kuris reiškia "maža banga"). Vėliau šis žodis buvo perkeltas į anglų kalbą, išvertus "onde" į "bangą", ir taip atsirado "wavelet".

Klausimas: Ką turi tenkinti waveletas, kad jį būtų galima pritaikyti praktiškai?

A: Praktiniam naudojimui waveletas turi turėti baigtinę energiją ir tenkinti leistinumo sąlygą. Ši priimtinumo sąlyga teigia, kad jos vidurkis turi būti lygus nuliui, o integralas per dažnį turi būti mažesnis už begalybę.

K: Ką reiškia transliacija ir dilatacija, kai kalbama apie bangolaidžius?

A: Transliacija reiškia motininio bangolaidžio poslinkį arba perkėlimą išilgai laiko ašies, o dilatacija reiškia motininių bangolaidžių mastelio keitimą arba ištempimą/susitraukimą išilgai laiko ašies. Šie du parametrai (transliacija ir dilatacija) apibūdinami atitinkamai b ir a.

Klausimas: Ką reiškia, kad bangelės vidurkis yra lygus nuliui?

Atsakymas: Nulinis vidurkis reiškia, kad integruojant visas t reikšmes nuo neigiamos begalybės iki teigiamos begalybės, suma turėtų būti lygi 0, t. y. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Šis reikalavimas išplaukia iš pačios leistinumo sąlygos, kaip minėta pirmiau.

Klausimas: Kaip apibrėžiama motininė bangolaidė?

A: Motininės bangelės apibrėžiamos kaip originalių motininių banglenčių, kurių parametrai "a" = 1 ir "b" = 0, sunormintos transliuotos (paslinktos) ir išplėstos (mastelinės) versijos.