Bangolaidė (wavelet) – apibrėžimas, savybės ir taikymai signalų apdorojime

Sužinokite, kas yra bangolaidė (wavelet), jos matematinis apibrėžimas, savybės ir praktiniai taikymai signalų apdorojime: mastelis, transliacija, priimtinumo ir nulio vidurkio sąlygos.

Autorius: Leandro Alegsa

03-02-2026 22:22

Bangavimas - tai matematinė funkcija, naudojama funkcijai ar signalui užrašyti kitomis funkcijomis, kurias paprasčiau tirti. Daugelį signalų apdorojimo uždavinių galima nagrinėti banginės transformacijos terminais. Neformaliai kalbant, signalą galima matyti po lęšiu, kurio didinimą nusako banginės transformacijos mastelis. Tokiu būdu matome tik tą informaciją, kurią lemia naudojama bangolaidžio forma.

Anglišką terminą "wavelet" aštuntojo dešimtmečio pradžioje įvedė prancūzų fizikai Jeanas Morlet ir Alexas Grossmanas. Jie pavartojo prancūzišką žodį "ondelette" (kuris reiškia "maža banga"). Vėliau šis žodis buvo perkeltas į anglų kalbą, išvertus "onde" į "bangą" ir gavus "wavelet".

Wavelet yra (kompleksinė) funkcija iš Hilberto erdvės ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ) $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ } . Praktiniam taikymui ji turėtų tenkinti šias sąlygas.

Jis turi turėti ribotą energiją.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Jis turi atitikti priimtinumo sąlygą.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kur ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ yra ψ {\displaystyle \psi \,} Furjė transformacija. $\psi \,$

Nulinio vidurkio sąlyga išplaukia iš priimtinumo sąlygos.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkcija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ vadinama motinine bangolaidžio funkcija. Jos išversta (paslinkta) ir išplėsta (mastelinė) normalizuotos versijos apibrėžiamos taip.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Originalioji motininė bangolaidė turi parametrus a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ir b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Transliaciją apibūdina parametras b {\displaystyle b} $b$ , o dilataciją - parametras a {\displaystyle a}.

Bangolaidžių transformacijos (CWT) ir rekonstrukcija

Pagal motininę bangolaidę ψ galima apibrėžti nuolatinę bangolaidžių transformaciją (CWT) signalo x(t) atžvilgiu:

CWT formulė: W_x(a,b) = (1/√a) ∫_{-∞}^{∞} x(t) ψ* ((t - b)/a) dt, kur žvaigždutė reiškia kompleksinę konjugaciją.
Rekonstrukcija: jei ψ tenkina priimtinumo sąlygą, signalą x(t) galima atstatyti iš bangolaidžių koeficientų W_x(a,b) per inversinę formulę, kurioje pasirodo priimtinumo konstanta C_ψ = ∫_0^∞ |ψ̂(ω)|^2 / ω dω. Konkreti rekonstrukcijos išraiška:

x(t) = (1 / C_ψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{-∞}^{∞} W_x(a,b) (1/a^{3/2}) ψ((t - b)/a) db da.

Šios formulės leidžia nulemti, kaip bangolaidžių koeficientai reprezentuoja signalo informacijos pasiskirstymą laiko ir mastelio (dažnio) plotmėje.

Diskretizacija, DWT ir filtro bankai

Praktikoje dažnai naudosime diskretų mastelį ir poslinkius. Tokiu atveju gauname Diskrečiąją Bangolaidžių Transformaciją (DWT), kuri dažnai įgyvendinama per daugiajuosčius filtro-bankus (Mallat algoritmas). DWT leidžia efektyviai skaičiuoti bangolaidžių koeficientus ir sukurti ortonormalius arba biortogonalius bazių rinkinius, svarbius kompresijai ir triukšmo mažinimui.

Priežastys, savybės ir papildomos sąlygos

Nulinio vidurkio sąlyga: ∫ ψ(t) dt = 0 — tai užtikrina, kad bangolaidė nereaguoja į pastovų (tiesioginį) signalų komponentą.
Vanishing moments (išnykstančios momentų savybės): jei ∫ t^k ψ(t) dt = 0 už k = 0,1,...,N-1, tai bangolaidė turi N išnykstančių momentų. Daugiau momentų reiškia, kad bangolaidė gerai aptinka ir atskiria polinomines (lėtesnes) komponentes nuo trumpalaikių pokyčių.
Kompaktiškas palaikymas: bangolaidė su ribotu palaikymu (pvz., Daubechies bangolaidės) leidžia efektyvią skaitmeninę realizaciją ir gerą laiko lokalizaciją.
Ortonormalumas ir biortogonalumas: tam tikros bangolaidės sudaro ortonormalią bazę L2(R) — tai svarbu be informacijos netekimo transformacijos ir efektyvios kvantizacijos atveju.
Reguliarumas / glotnumas: bangolaidės glotnumas lemia, kaip gerai jos reprezentuoja glotnių signalų komponentes (mažesnis diskretizacijos triukšmas).

Pavyzdinės bangolaidės

Haar: paprasčiausia, discontinuali bangolaidė, gerai tinka spartiems prieštaravimams ir aiškiai segmentuotoms funkcijoms.
Daubechies: šeima su skirtingu momentų skaičiumi ir kompaktišku palaikymu — dažnai naudojama DWT ir kompresijoje.
Morlet: kompleksiška bangolaidė — tinkama laiko-dažnio analizėms (gera dažninė lokalizacija).
Mexican hat (Laplacian of Gaussian): reikalauja ratinės simetrijos, naudojama kraštų aptikimui ir signalo anomalių radimui.
Shannon: ideali dažninė lokalizacija, prastai lokalizuota laike — dažniau teorinėms analizėms.

Taikymai signalų apdorojime

Triukšmo mažinimas (denoising): bangolaidžių slopinimas (thresholding) naudojant DWT — triukšmas dažnai pasiskirsto platesniame bangolaidžių domene, o signalas susikoncentruoja keliuose koeficientuose.
Duomenų kompresija: bangolaidžių pagrindu veikianti kompresija (pvz., JPEG2000) leidžia efektyviai sumažinti failo dydį išlaikant aukštą kokybę.
Laiko-dažnio analizė: transientų aptikimas, vibracijų diagnostika, seismologija, radarų ir radijo signalų analizė.
Funkcijų / požymių išgavimas: bangolaidžių koeficientai naudojami automatiniuose diagnostikos, klasifikacijos algoritmuose — pvz., EKG signalų analizėje ar garso atpažinime.
Vaizdų apdorojimas: triukšmo šalinimas, kraštų detekcija, multiresoliuotinė analizė ir rekonstrukcijos uždaviniai.

Praktiniai aspektai ir patarimai

Motininės bangolaidės parinkimas: priklauso nuo signalo pobūdžio: trumpalaikiams impulsams — Haar arba šiurkščios bangolaidės; periodiškiems signalams — Morlet ar kompleksiškos bangolaidės; glotniems signalams — Daubechies ar Symlet.
Skalių diskretizacija: pasirenkant mastelius reikia balansuoti tarp laiko ir dažnio rezoliucijos — plačios skalės reiškia geresnę dažninę, bet prastesnę laikinę lokalizaciją.
Ribinių sąlygų tvarkymas: diskretiškai taikant DWT reikalingi sprendimai dėl ribinių efektų (padding, periodizacija, refleksija).
Apskaičiavimo kaštai: efektyviausi algoritmai (Mallat filtro bankai) su O(N) sudėtingumu. Realizuojant CWT dideliam mastelių skaičiui, kaštai ir atminties poreikiai gali būti dideli.

Išvados

Bangolaidės yra galingas įrankis, leidžiantis vienu metu analizuoti signalus laike ir dažnyje. Tinkamai parinkus motininę bangolaidę ir diskretizacijos parametrus galima efektyviai spręsti triukšmo mažinimo, kompresijos, transientų aptikimo ir kitus signalų apdorojimo uždavinius. Dėl savo lankstumo ir įvairių realizavimo galimybių bangolaidžių metodai plačiai taikomi moksliniuose ir inžineriniuose projektuose.

Morleto bangolaidis

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra bangelė?

A: Valeletas yra matematinė funkcija, naudojama funkcijai ar signalui užrašyti kitomis paprasčiau tiriamomis funkcijomis. Ją galima matyti per lęšį su padidinimu, kurį duoda bangelės mastelis, todėl matome tik tą informaciją, kurią lemia jos forma.

Klausimas: Kas įvedė terminą "waveletas"?

A: Anglišką terminą "wavelet" aštuntojo dešimtmečio pradžioje įvedė prancūzų fizikai Jeanas Morlet ir Alexas Grossmanas, kurie pavartojo prancūzišką žodį "ondelette" (kuris reiškia "maža banga"). Vėliau šis žodis buvo perkeltas į anglų kalbą, išvertus "onde" į "bangą", ir taip atsirado "wavelet".

Klausimas: Ką turi tenkinti waveletas, kad jį būtų galima pritaikyti praktiškai?

A: Praktiniam naudojimui waveletas turi turėti baigtinę energiją ir tenkinti leistinumo sąlygą. Ši priimtinumo sąlyga teigia, kad jos vidurkis turi būti lygus nuliui, o integralas per dažnį turi būti mažesnis už begalybę.

K: Ką reiškia transliacija ir dilatacija, kai kalbama apie bangolaidžius?

A: Transliacija reiškia motininio bangolaidžio poslinkį arba perkėlimą išilgai laiko ašies, o dilatacija reiškia motininių bangolaidžių mastelio keitimą arba ištempimą/susitraukimą išilgai laiko ašies. Šie du parametrai (transliacija ir dilatacija) apibūdinami atitinkamai b ir a.

Klausimas: Ką reiškia, kad bangelės vidurkis yra lygus nuliui?

Atsakymas: Nulinis vidurkis reiškia, kad integruojant visas t reikšmes nuo neigiamos begalybės iki teigiamos begalybės, suma turėtų būti lygi 0, t. y. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Šis reikalavimas išplaukia iš pačios leistinumo sąlygos, kaip minėta pirmiau.

Klausimas: Kaip apibrėžiama motininė bangolaidė?

A: Motininės bangelės apibrėžiamos kaip originalių motininių banglenčių, kurių parametrai "a" = 1 ir "b" = 0, sunormintos transliuotos (paslinktos) ir išplėstos (mastelinės) versijos.

Ieškoti