Furjė transformacija: apibrėžimas, formulė ir taikymai signalų analizėje

Sužinokite Furjė transformacijos apibrėžimą, formulę ir praktinius taikymus signalų analizėje — nuo garso spektro iki kvantinės fizikos ir mašininio mokymosi.

Furjė transformacija – tai matematinė funkcija, kurią naudojant signalą ar bangą galima išskaidyti į ją sudarančius bazinius dažnius. Kitaip tariant, Furjė transformacija paverčia laiko arba erdvės srities signalą į dažnių sritį, kur kiekvienam dažniui priskiriama kompleksinė amplitude (reali ir įsivaizduojamoji dalys), rodanti, kaip stipriai ir kokia faze ši dažninė sudedamoji (sinusoidė) prisideda prie originalaus signalo. Dažnai transformacijos išvestis vadinama dažnių spektru arba pasiskirstymu. Furjė transformacija plačiai taikoma kriptografijoje, okeanografijoje, mašininiame mokyme, radiologijoje, kvantinėje fizikoje, taip pat garso dizaine ir vizualizacijoje.

Formulė (nepertraukiamas atvejis)

Jei funkcija yra f f ( x ) {\displaystyle f(x)} ir ji tenkina tam tikras sąlygas (pvz., yra absoliučiai integruojama arba kvadratiškai integruojama), jos Furjė transformacija apibrėžiama kaip

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

Čia α {\displaystyle \alpha } reiškia dažnį (paprastai hercais, Hz), o F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} yra Furjė transformacijos funkcija, grąžinanti kompleksinę vertę, nurodančią, koks dažnis α {\displaystyle \alpha } dominuoja pradiniame signale (ir kokia jo fazė).

e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} atvaizduoja įvesties funkcijos f ( x ) {\displaystyle f(x)} „apvyniojimą“ aplink pradžią kompleksinėje plokštumoje su dažnio α kampiniu greičiu; integralas sumuoja visas šias įnašas, taip nustatydamas, kiek tame dažnyje yra energijos ir kokia fazė.

Atvirkštinė Furjė transformacija

Originalų signalą galima atkurti iš jo spektrinės funkcijos F(α) naudojant atvirkštinę transformaciją:

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Atvirkštinė transformacija susumuoja visų dažnių sinusoides su atitinkamomis amplitudėmis ir fazėmis, taip atstatydama pradinį signalą. Svarbu pažymėti, kad formulėse gali būti naudojami skirtingi normalizacijos faktoriai (pvz., 2π prie integralo arba 1/√(2π)), priklausomai nuo srities (matematikos, inžinerijos) įpročių.

Intuityvus paaiškinimas ir pavyzdžiai

Furjė transformacija parodo, kokie dažniai yra signale. Pavyzdžiui, paimkime garso bangą, kurioje yra trys skirtingos muzikos natos: atlikus šios garso bangos Furjė transformacijos grafiką (x ašyje pavaizduotas dažnis, o y ašyje – intensyvumas), kiekviename dažnyje matysime viršūnę, atitinkančią vieną iš natų. Tokiu būdu garsą galima analizuoti per jo spektrą – tai naudinga muzikos atpažinimui, instrumentų apdorojimui ar triukšmo šalinimui.

Sudedant skirtingų amplitudžių ir dažnių kosinusus ir sinusus galima sukurti daug sudėtingų signalų. Furjė transformacija išmatuoja šių kosinusų ir sinusų amplitudes ir fazes pagal jų atitinkamus dažnius, todėl tai yra universali priemonė signalų analizėje ir sintezėje.

Savybės, naudingos praktikoje

• Lineariškumas: transformacija yra linijinė – sumos ir konstantos daro aiškų poveikį spektrui.
• Poslinkis laike: signalo poslinkis laiko ašyje lemia fazės poslinkį spektre.
• Konvoliucijos teorema: konvoliucija laiko srityje atitinka sandaugą dažnių srityje, ir atvirkščiai – tai leidžia lengviau analizuoti filtrus ir sistemas.
• Parseval teorema: energija laiko srityje lygi energijos paskirstymui dažnių srityje (priklausomai nuo normalizacijos).

Skaitmeninės versijos ir greitieji algoritmai

Realūs matavimai dažniausiai yra laiko arba erdvės srityje diskretūs ir riboto ilgio, todėl praktiškai naudojama skaitmeninė Furjė transformacija (DFT). DFT apskaičiavimui naudojami diskretūs formulės, o efektyviausias jų skaičiavimo būdas – Greitoji Furjė transformacija (FFT), kuri žymiai sumažina skaičiavimo sudėtingumą iš O(N^2) iki O(N log N) elementų. Dėl to FFT tapo fundamentine priemone garso, vaizdų ir komunikacijų apdorojime.

Taikymai

Kelios pagrindinės sritys, kuriose Furjė transformacija yra plačiai naudojama:

• Garso apdorojimas: signalo analizė, triukšmo mažinimas, tonų atpažinimas, sintezė.
• Vaizdų apdorojimas: filtravimas, kraštų aptikimas, kompresija (pvz., JPEG naudoja panašius blokinius transformatus).
• Telekomunikacijos: moduliacijos analizė, kanalų filtravimas, OFDM technologija.
• Moksliniai matavimai: spektroskopija, seismologija, medicininiai vaizdai (radiologija).
• Mašininis mokymasis ir duomenų analizė: charakteristikų išgavimas, filtravimas, dažnių sričių atvaizdavimas.

Praktiniai pastebėjimai

Norint teisingai taikyti Furjė transformaciją, svarbu atkreipti dėmesį į:

• Signalo stiprumą ir integrabilumą: kai kurios teorinės formulės reikalauja, kad f(x) būtų integruojama arba kvadratiškai integruojama.
• Diskretizacijos poveikį: ribotam ir diskretiniam signalui taikomos ribotų imčių efektai (pvz., langų funkcijos, aliasingas), todėl praktikoje reikia naudoti tinkamą langavimą ir diskretizacijos taisykles.
• Normalizacija: įvairios formulės naudoja skirtingus faktorius – svarbu žinoti, kokia konvencija taikoma (matematikų ar inžinierių).

Skaitmeninių vaizdų demonstracija

Išvados

Furjė transformacija yra esminė teorinė ir praktinė priemonė signalų ir bangų analizėje. Ji leidžia pereiti nuo laiko/erdvės srities prie dažnių srities, kur daug problemų tampa paprastesnės: filtravimas, triukšmo naikinimas, funkcijų atvaizdavimas ir daug kitų taikymų. Skaitmeninės versijos ir greitieji algoritmai užtikrina jos naudojimą realiu laiku ir didelių duomenų rinkinių apdorojimą.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Furjė transformacija?

Klausimas: Kokie yra kai kurie Furjė transformacijos panaudojimo būdai?

K: Kaip apskaičiuojama Furjė transformacija?

K: Kaip atrodo Furjė transformacijos išvestis?

K: Kaip kompiuteriai apskaičiuoja greitąsias Furjė transformacijas?

K: Ko neparodo signalų nagrinėjimas laiko atžvilgiu?

Paieška pagal raidę