Youngo-Laplaso lygtis: paviršiaus įtempimo ir kapiliarinio slėgio dėsnis

Youngo‑Laplaso lygtis: kaip paviršiaus įtempimas ir kapiliarinis slėgis formuoja skysčių sąsajas, pritaikymai fiziologijoje, matematinis aprašymas ir praktinės implikacijos.

Fizikoje Youngo–Laplace'o lygtis (/ləˈplɑːs/) yra netiesinė dalinė diferencialinė lygtis, kuri aprašo kapiliarinio slėgio skirtumą dviejų statinių skysčių, pavyzdžiui, vandens ir oro, sąsajoje. Šį skirtumą lemia paviršiaus įtempimo arba sienelės įtempimo reiškinys. Sienelės įtempimą galima taikyti tik labai plonoms sienelėms. Youngo–Laplace'o lygtis sieja slėgių skirtumą su paviršiaus arba sienelės forma ir yra ypač svarbi tiriant statinius kapiliarinius paviršius bei lašų ir burbulų geometriją.

Fiziologijoje ši sąvoka dažnai vadinama Laplaso dėsniu ir naudojama apibūdinti slėgiui tuščiaviduriuose organuose, pvz., kraujagyslėse, plaučių alveolėse ar širdies kamerose.

Pagrindinė formulė

Įprasta forma rašoma kaip skirtumas tarp vidinio ir išorinio slėgio:

Δp = p_in − p_out = γ (κ1 + κ2),

čia γ — paviršiaus įtempimo koeficientas (paviršiaus įtampa), o κ1 ir κ2 — principalinės kreivybės (išlenkimo laipsniai) dviejose ortogonaliuose kryptyse. Kita, dažnai vartojama, forma yra

Δp = 2 γ H,

kur H = (κ1 + κ2)/2 — vidutinė (angl. mean) kreivė.

Praktiniais atvejais, kai paviršius yra sferinis arba cilindrinis, formulė supaprastėja:

• sfera (R1 = R2 = R): Δp = 2 γ / R;
• cilindras (κ1 = 1/R, κ2 = 0): Δp = γ / R.

Fizikinė prasmė ir intuicija

Paviršiaus įtampa stengiasi sumažinti paviršiaus plotą — todėl lašai linkę tapti sferiški. Didesnė kreivė (mažesnis spindulys R) reiškia didesnį slėgio skirtumą tarp lašo vidaus ir aplinkos. Taip paaiškinama, kodėl mažesni lašeliai turi didesnį vidinį slėgį nei didesni.

Derivacijos užuomazga

Trumpai: lygtis gaunama subalansuojant paviršiaus įtempimo sukuriamą jėgą su slėgio skirtumo atliktu darbu dėl paviršiaus poslinkio. Alternatyvus, geometrinis užrašymas gaunamas susiejant slėgio skirtumą su paviršiaus vietinių kreivių suma (principalinėmis kreivėmis). Istoriškai lygties formulavime dalyvavo Thomo Youngo ir Pierre'o‑Simono Laplace'o, o vėliau darbai buvo suvienodinti ir išplėtoti, įskaitant Karlo Frydricho Gauss indėlį.

Pavyzdžiai ir taikymai

• Lašų ir bubulų forma: sferinė forma sumažina paviršiaus energiją, o slėgio skirtumas pagal Youngo–Laplace'o lygtį apibrėžia lašo vidinį slėgį.
• Kapiliarinis kilimas: skysčio aukštis kapiliarinėje tūtelėje H susijęs su paviršiaus įtampa per formulę H = 2 γ cosθ / (ρ g r), kur θ — kontaktinis kampas, ρ — skysčio tankis, g — gravitacijos pagreitis, r — kapiliarinės tūtelės spindulys.
• Fiziologija: plaučių alveolėse išsiskiriantis surfaktantas mažina γ ir taip padeda išvengti mažųjų alveolių kolapso (atelektazės). Kraujagyslių ir širdies sienelių atveju taikomi variantai, aprašantys sienelės įtampą ir sienelės apkrovas (žr. toliau).

Sienelės įtempimas (Laplaso dėsnis medicinoje ir inžinerijoje)

Youngo–Laplace'o lygtis taikoma ir plonoms sienelėms (membranoms). Bendras variantas:

Δp = T (1/R1 + 1/R2),

čia T — sienelės (ar membranos) linijinė įtampa (jėga vienetui ilgio). Specifiniai atvejai:

• cylindrinei membranai: Δp = T / R;
• sferinei membranai: Δp = 2 T / R.

Inžinerinėje praktikoje, kalbant apie plonas sienių vamzdžius ar talpas, dažnai vartojama ir stiprumo (įtraukiančios įtempties) forma: hoop (aplinkos) įtempimas arba sienelės įtempis σ susijęs su slėgiu p, spinduliu r ir sienelės storis t apytikriai taip:

• cilindras: σ ≈ p r / t;
• sfera: σ ≈ p r / (2 t).

Šie santykiai galioja, kai siena yra pakankamai plona (t << r).

Sąlygos, apribojimai ir pastabos

• Youngo–Laplace'o lygtis numato dyfusinį ir statinį balansą — ji taikoma lėtai kintantiems arba statiniams paviršiams; dinamikoje reikia įtraukti srauto lygtis ir trintį.
• Lygtis prielaidose daro prielaidą apie homogenišką paviršiaus įtampą; jei paviršius aktyvus (pvz., cheminiai gradientai arba temperatūros skirtumai), reikalingi papildomi terminai (Marangoni efektas ir kt.).
• Signatorika: paprastai Δp = p_in − p_out; priklausomai nuo krypčių pasirinkimo formulė gali būti rašoma su priešinga ženklinimo sistema.

Istorija (sutrumpinta)

Lygtis pavadinta Thomo Youngo, kuris 1805 m. iškėlė paviršiaus įtempimo idėjas, ir Pierre'o‑Simono Laplace'o, kuris matematiškai išbaigė aprašymą kitais metais. Vėliau Karlas Frydrichas Gausas 1830 m. sujungė Youngo ir Laplace'o darbus į vieningą matematinį formuluotę, naudojo Johanno Bernoulli virtualaus darbo principus diferencialinės lygties ir ribinių sąlygų nustatymui.

Youngo–Laplace'o lygtis yra vienas iš pagrindinių įrankių paviršiaus fizikose, disciplinas apimančiose skysčių būsenas, biologines sistemas ir inžinerinius sprendimus, kur formos ir slėgio santykis turi lemiamą reikšmę.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Youngo-Laplace'o lygtis?

K: Su kuo ji susijusi?

K: Kas sukūrė šią teoriją?

K: Kaip ji naudojama fiziologijoje?

K: Kokį reiškinį jis paaiškina?

Paieška pagal raidę