Zenono paradoksai

Achilas ir vėžlys

Paradokse apie Achilą ir vėžlį Achilas lenktyniauja su vėžliu. Achilas leidžia vėžliui pirmauti, pavyzdžiui, 100 metrų. Tarkime, kad kiekvienas lenktynininkas pradeda bėgti pastoviu greičiu - vienas labai greitai, kitas labai lėtai. Po tam tikro baigtinio laiko Achilas bus nubėgęs 100 metrų ir taip priartėjęs prie vėžlio starto vietos. Per tą laiką lėtesnis vėžlys nubėgo daug trumpesnį atstumą. Achilui prireiks dar šiek tiek laiko, kad nubėgtų tą atstumą, o per tą laiką vėžlys bus pažengęs toliau. Tada Achilui prireiks dar daugiau laiko, kad pasiektų šį trečiąjį tašką, o vėžlys vėl žengs į priekį. Taigi, kai Achilas pasiekia vietą, kurioje buvo vėžlys, jam dar reikia nueiti toliau. Todėl, kadangi yra begalinis skaičius taškų, kuriuos Achilas turi pasiekti ten, kur vėžlys jau buvo, jis niekada negalės vėžlio aplenkti.

Dichotomijos paradoksas

Tarkime, kas nors nori nuvykti iš taško A į tašką B. Pirmiausia jis turi nuvažiuoti pusę kelio. Tada turi nueiti pusę likusio kelio. Taip tęsiant, visada liks nedidelis atstumas ir tikslas niekada nebus pasiektas. Visada reikės pridėti dar vieną skaičių, pavyzdžiui, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Taigi judėjimas iš bet kurio taško A į bet kurį kitą tašką B laikomas neįmanomu.

Komentaras

Štai kur yra Zenono paradoksas: abu tikrovės paveikslai negali būti teisingi tuo pačiu metu. Vadinasi, arba: 1. 2. Tikrovėje nėra tokio dalyko kaip diskretiškas ar laipsniškas laiko, atstumo ar ko nors kito, arba 3. Egzistuoja trečiasis tikrovės vaizdas, kuris sujungia du vaizdus - matematinį ir sveiko proto arba filosofinį - ir kurio mes dar neturime priemonių iki galo suprasti.

Siūlomi sprendimai

Mažai kas lažintųsi, kad vėžlys laimės lenktynes prieš atletą. Tačiau kas čia blogo?

Kai pradedame sudėti 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., galime pastebėti, kad suma vis labiau artėja prie 1 ir niekada nebus didesnė už 1. Aristotelis (kuris yra šaltinis, iš kurio sužinojome apie Zenoną) pastebėjo, kad mažėjant atstumui (dichotomijos paradokse), laikas, per kurį įveikiamas kiekvienas atstumas, nepaprastai mažėja. Iki 212 m. pr. m. e. Archimedas sukūrė metodą, leidžiantį gauti baigtinį atsakymą, kai suma susideda iš be galo daug narių, kurie vis mažėja (pvz., 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Šiuolaikiniai skaičiavimai pasiekia tą patį rezultatą naudodami griežtesnius metodus.

Kai kurie matematikai, pavyzdžiui, w:Carl Boyer, mano, kad Zenono paradoksai yra tiesiog matematiniai uždaviniai, kuriems šiuolaikinė skaičiuotė pateikia matematinį sprendimą. Tačiau Zenono klausimai išlieka problemiški, jei prie begalinės serijos artėjama po vieną žingsnį. Tai vadinama superužduotimi. Skaičiuotėje iš tikrųjų nereikia sudėti skaičių po vieną. Vietoj to nustatoma vertė (vadinama riba), prie kurios artėjama pridedant.

Žiūrėti angliškus Vikipedijos straipsnius

• Zenono paradoksai
• Parabolės kvadratūra
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsono lempa