Kombinuotasis dujų dėsnis: formulė, paaiškinimas ir pavyzdžiai
Kombinuotasis dujų dėsnis: aiški formulė, suprantamas paaiškinimas ir praktiniai pavyzdžiai. Išmokite P·V/T santykį ir spręskite uždavinius paprastai.
Kombinuotasis dujų dėsnis apjungia tris klasikinioje termodinamikoje žinomas priklausomybes tarp dujų slėgio, tūrio ir temperatūros. Jis naudojamas tada, kai nagrinėjamos tos pačios dujos ir keičiami du iš trijų parametrų, o trečiasis lieka nekintantis. Dėsnis leidžia greitai apskaičiuoti vieno būsenoje esančio dujų kiekio parametrus, jei žinomos kitos būsenos reikšmės.
- Čarlzo dėsnis, kuris teigia, kad tūris ir temperatūra yra tiesiogiai proporcingi vienas kitam, jei slėgis nesikeičia.
- Boilio dėsnis teigia, kad esant tai pačiai temperatūrai slėgis ir tūris yra atvirkščiai proporcingi vienas kitam.
- Gėjaus ir Liusako dėsnis teigia, kad temperatūra ir slėgis yra tiesiogiai proporcingi, jei tūris išlieka toks pat.
Pagrindinė formulė ir kintamieji
Kombinuotasis dujų dėsnis parodo, kaip visi trys kintamieji susiję tarpusavyje. Jame teigiama, kad santykis PV/T yra konstantas tam pačiam dujų kiekiui:
P V T = k {\displaystyle \qquad {\frac {PV}{T}}=k}
kur:
P - slėgis
V - tūris
T - temperatūra, matuojama kelvinais
k yra konstanta (energijos ir temperatūros santykis).
Kaip naudoti lygtyje — du būsenų palyginimas
Norint palyginti tas pačias dujas dviem skirtingomis sąlygomis, dažniausiai naudojama forma su indeksais 1 ir 2:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\displaystyle \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}}}
Iš šios lygties gaunate bet kurį nežinomą dydį. Svarbu:
- Temperatūra turi būti absoliuti (matuojama kelvinais, K). Jei duomenys pateikti Celsijaus laipsniais, T(K) = T(°C) + 273,15.
- Visos slėgio reikšmės turi būti vienodomis vienetais (pvz., atm, Pa arba bar), o tūris — atitinkamais (L arba m³).
Pavyzdys
Tarkime, pradinis būsena: P1 = 1,00 atm, V1 = 2,00 L, T1 = 27 °C. Antra būsena: P2 = 2,00 atm, T2 = 77 °C. Koks bus V2?
1) Pirmiausia konvertuojame temperatūras į kelvinus:
T1 = 27 + 273,15 = 300,15 K ≈ 300 K (jei užtenka trijų reikšmių)
T2 = 77 + 273,15 = 350,15 K ≈ 350 K
2) Taikome formulę: P1·V1 / T1 = P2·V2 / T2 → V2 = (P1·V1·T2) / (P2·T1).
3) Įstatome skaičius: V2 = (1,00 atm · 2,00 L · 350 K) / (2,00 atm · 300 K) = 700 / 600 = 1,1667 L.
Todėl V2 ≈ 1,17 L. Pastaba: atm vienetai sutampa ir todėl jas traukiame į santykį; jei naudotumėte Pa ir m³ — rezultatas būtų tas pats, jei vienetai nuoseklūs.
Ryšys su idealiųjų dujų dėsniu ir Avogadro dėsniu
Prie kombinuotojo dujų dėsnio pridėję Avogadro dėsnį, gausime vadinamąjį idealiųjų dujų dėsnį, kurio forma yra PV = nRT. Čia n – molių skaičius, o R – dujų konstanta (R ≈ 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ arba 0,08206 L·atm·mol⁻¹·K⁻¹).
Ribotumai ir praktinės pastabos
- Kai dėsnis tinka: esant žemam arba vidutiniam slėgiui ir pakankamai aukštai temperatūrai, daugumai dujų elgesys artimas idealiajam.
- Ribotumai: realios dujos nukrypsta nuo idealaus elgesio dideliais slėgiais arba žemomis temperatūromis (artėjant prie skystėjimo); tuomet reikia naudoti pataisytas būsenos lygtis arba kompresijos faktorių Z.
- Matavimo vienetai: SI sistemoje slėgis matuojamas paskaliais (Pa), tūris kubiniais metrais (m³), o temperatūra kelvinais (K). Atminkite konversijas, pvz., 1 atm = 101325 Pa, 1 L = 0,001 m³.
Apibendrinant: kombinuotasis dujų dėsnis yra patogus ir paprastas įrankis, kai nagrinėjamos vienodos dujos ir keičiami jų slėgis, tūris bei temperatūra. Teisingas vienetų ir absoliučios temperatūros naudojimas yra esminis norint gauti teisingus rezultatus.
Prie kombinuoto dujų dėsnio pridėję Avogadro dėsnį, gausime vadinamąjį idealiųjų dujų dėsnį.
Išvedimas iš dujų dėsnių
Boilio dėsnis teigia, kad slėgio ir tūrio sandauga yra pastovi:
P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}
Čarlio dėsnis rodo, kad tūris yra proporcingas absoliučiai temperatūrai:
V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}
Gėjaus ir Liusako dėsnis teigia, kad slėgis yra proporcingas absoliučiai temperatūrai:
P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}
čia P - slėgis, V - tūris, T - absoliuti idealiųjų dujų temperatūra.
Sujungę (1) ir bet kurią iš (2) arba (3), gausime naują lygtį su P, V ir T. Jeigu (1) lygtį padalysime iš temperatūros ir (2) lygtį padauginsime iš slėgio, gausime:
P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}
P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .
Kadangi abiejų lygčių kairioji pusė yra ta pati, gauname
k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,
o tai reiškia, kad
P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}} .
Pakeitus Avogadro dėsnį gaunama idealiųjų dujų lygtis.
Fizikinė išvestinė
Kombinuotojo dujų dėsnio išvedimas naudojant tik elementarią algebrą gali pateikti netikėtumų. Pavyzdžiui, pradedant trimis empiriniais dėsniais
P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! } (1) Gay-Lussac dėsnis, tūris laikomas pastoviu
V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! } (2) Čarlio dėsnis, slėgis laikomas pastoviu
P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! } (3) Boilio dėsnis, temperatūra laikoma pastovia
kur kV, kP ir kT yra konstantos, galima padauginti šias tris konstantas ir gauti
P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }
Kvadratinės šaknies iš abiejų pusių ir dalijimas iš T duoda norimą rezultatą
P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! }
Tačiau jei prieš taikydami pirmiau nurodytą procedūrą tik pertvarkysime Boilio dėsnio kT = PV narius, tai panaikinus ir pertvarkius gausime
k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }
tai nėra labai naudinga, o gal net klaidinanti informacija.
Fizikinis išvedimas, ilgesnis, bet patikimesnis, prasideda nuo suvokimo, kad pastovaus tūrio parametras Gėjaus-Liusako dėsnyje kinta, kai keičiasi sistemos tūris. Esant pastoviam tūriui V1, dėsnis gali atrodyti P = k1T, o esant pastoviam tūriui V2 - P = k2T. Šį "kintamą pastovų tūrį" žymėdami kV(V), dėsnį perrašykite taip
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! } (4)
Tas pats pasakytina ir apie Čarlzo dėsnio konstantą, kurią galima perrašyti taip
V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! } (5)
Ieškant kV(V), nereikėtų neapgalvotai eliminuoti T tarp (4) ir (5), nes pirmojoje formulėje P yra kintamas, o antrojoje jis laikomas pastoviu. Verčiau pirmiausia reikėtų nustatyti, kokia prasme šios lygtys yra suderinamos viena su kita. Norėdami tai suprasti, prisiminkite, kad bet kurie du kintamieji lemia trečiąjį. Pasirinkę, kad P ir V yra nepriklausomi, įsivaizduojame, kad T vertės sudaro paviršių virš PV plokštumos. Tam tikri V0 ir P0 apibrėžia T0 - to paviršiaus tašką. Pakeitus šias vertes į (4) ir (5) ir pertvarkius gauname
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) ir T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad ir\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}}
Kadangi abi šios išraiškos apibūdina tai, kas vyksta tame pačiame paviršiaus taške, šias dvi skaitines išraiškas galima sulyginti ir pertvarkyti
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}},\! } (6)
Atkreipkite dėmesį, kad 1/kV(V0) ir 1/kP(P0) yra stačiakampių tiesių, lygiagrečių P ašiai/V ašiai ir einančių per tą paviršiaus tašką virš PV plokštumos, nuolydžiai. Šių dviejų tiesių nuolydžių santykis priklauso tik nuo P0/V0 vertės tame taške.
Atkreipkite dėmesį, kad (6) funkcinė forma nepriklauso nuo konkretaus pasirinkto taško. Tokia pati formulė būtų gauta bet kuriam kitam P ir V verčių deriniui. Todėl galima užrašyti
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\quad \forall P,\forall V} (7)
Tai reiškia, kad per kiekvieną paviršiaus tašką eina atskira ortogonalių tiesių pora, o jų nuolydžių santykis priklauso tik nuo to taško. Jei (6) yra santykis tarp konkrečių nuolydžių ir kintamųjų reikšmių, tai (7) yra santykis tarp nuolydžio funkcijų ir funkcijos kintamųjų. Jis galioja bet kuriam paviršiaus taškui, t. y. bet kuriam ir visiems P ir V reikšmių deriniams. Norėdami išspręsti šią lygtį funkcijai kV(V), pirmiausia atskirkite kintamuosius: V - kairėje, o P - dešinėje.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}
Pasirinkite bet kokį slėgį P1. Dešinioji pusė įvertinama kaip tam tikra savavališka reikšmė, pavadinkite ją karb.
V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! } (8)
Dabar ši lygtis turi būti teisinga ne tik vienai V vertei, bet visoms V vertėms. Vienintelis kV(V) apibrėžimas, kuris tai garantuoja visoms V ir bet kokiam karb, yra toks
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)
tai galima patikrinti pakeitus (8).
Galiausiai, pakeitus (9) į Gay-Lussac'o dėsnį (4) ir pertvarkius, gaunamas kombinuotas dujų dėsnis
P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{{\text{arb}}},\! }
Atkreipkite dėmesį, kad nors šiame išvedime Boilio dėsnis nebuvo naudojamas, jis lengvai išvedamas iš rezultato. Paprastai tokio tipo išvedimui pakanka bet kurių dviejų iš trijų pradinių dėsnių - visos pradinės poros veda prie to paties kombinuoto dujų dėsnio.
Programos
Kombinuotuoju dujų dėsniu galima paaiškinti mechaninius reiškinius, kai veikia slėgis, temperatūra ir tūris. Pavyzdžiui: oro kondicionieriai, šaldytuvai ir debesų susidarymas, taip pat naudojamas skysčių mechanikoje ir termodinamikoje.
Susiję puslapiai
- Daltono dėsnis
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra kombinuotasis dujų dėsnis?
A: Kombinuotasis dujų dėsnis - tai formulė apie idealiąsias dujas, kuri parodo, kaip trys kintamieji (slėgis, tūris ir temperatūra) yra susiję vienas su kitu.
K: Kokie trys dėsniai sudaro kombinuotąjį dujų dėsnį?
A: Trys dėsniai, sudarantys kombinuotąjį dujų dėsnį, yra šie: Čarlio dėsnis, Boilio dėsnis ir Gėjaus-Lusako dėsnis.
K: Ką sako Čarlzo dėsnis?
A.: Čarlio dėsnis teigia, kad tūris ir temperatūra yra tiesiogiai proporcingi vienas kitam, jei slėgis išlieka toks pat.
K: Ką sako Boilio dėsnis?
A: Boilio dėsnis teigia, kad esant tai pačiai temperatūrai slėgis ir tūris yra atvirkščiai proporcingi vienas kitam.
K: Ką sako Gėjaus ir Liusako dėsnis?
A: Gėjaus-Liusako dėsnis teigia, kad temperatūra ir slėgis yra tiesiogiai proporcingi, jei tūris išlieka toks pat.
K: Kaip Avogadro dėsnis susijęs su kombinuotuoju dujų dėsniu?
A.: Avogadro dėsnį pridėjus prie kombinuoto dujų dėsnio, gaunamas vadinamasis idealiųjų dujų dėsnis.
Ieškoti