Kombinuotasis dujų dėsnis: formulė, paaiškinimas ir pavyzdžiai

Boilio dėsnis teigia, kad slėgio ir tūrio sandauga yra pastovi:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Čarlio dėsnis rodo, kad tūris yra proporcingas absoliučiai temperatūrai:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gėjaus ir Liusako dėsnis teigia, kad slėgis yra proporcingas absoliučiai temperatūrai:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

čia P - slėgis, V - tūris, T - absoliuti idealiųjų dujų temperatūra.

Sujungę (1) ir bet kurią iš (2) arba (3), gausime naują lygtį su P, V ir T. Jeigu (1) lygtį padalysime iš temperatūros ir (2) lygtį padauginsime iš slėgio, gausime:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Kadangi abiejų lygčių kairioji pusė yra ta pati, gauname

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

o tai reiškia, kad

P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}} .

Pakeitus Avogadro dėsnį gaunama idealiųjų dujų lygtis.

Kombinuotojo dujų dėsnio išvedimas naudojant tik elementarią algebrą gali pateikti netikėtumų. Pavyzdžiui, pradedant trimis empiriniais dėsniais

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussac dėsnis, tūris laikomas pastoviu

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Čarlio dėsnis, slėgis laikomas pastoviu

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boilio dėsnis, temperatūra laikoma pastovia

kur kV, kP ir kT yra konstantos, galima padauginti šias tris konstantas ir gauti

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Kvadratinės šaknies iš abiejų pusių ir dalijimas iš T duoda norimą rezultatą

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! }

Tačiau jei prieš taikydami pirmiau nurodytą procedūrą tik pertvarkysime Boilio dėsnio kT = PV narius, tai panaikinus ir pertvarkius gausime

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

tai nėra labai naudinga, o gal net klaidinanti informacija.

Fizikinis išvedimas, ilgesnis, bet patikimesnis, prasideda nuo suvokimo, kad pastovaus tūrio parametras Gėjaus-Liusako dėsnyje kinta, kai keičiasi sistemos tūris. Esant pastoviam tūriui _V1, dėsnis gali atrodyti P = k1T, o esant pastoviam tūriui V2 - P = k2T. Šį "kintamą pastovų tūrį" žymėdami kV(V), dėsnį perrašykite taip

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Tas pats pasakytina ir apie Čarlzo dėsnio konstantą, kurią galima perrašyti taip

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Ieškant kV(V), nereikėtų neapgalvotai eliminuoti T tarp (4) ir (5), nes pirmojoje formulėje P yra kintamas, o antrojoje jis laikomas pastoviu. Verčiau pirmiausia reikėtų nustatyti, kokia prasme šios lygtys yra suderinamos viena su kita. Norėdami tai suprasti, prisiminkite, kad bet kurie du kintamieji lemia trečiąjį. Pasirinkę, kad P ir V yra nepriklausomi, įsivaizduojame, kad T vertės sudaro paviršių virš PV plokštumos. Tam tikri V0 ir P0 apibrėžia T0 - to paviršiaus tašką. Pakeitus šias vertes į (4) ir (5) ir pertvarkius gauname

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) ir T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad ir\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}}

Kadangi abi šios išraiškos apibūdina tai, kas vyksta tame pačiame paviršiaus taške, šias dvi skaitines išraiškas galima sulyginti ir pertvarkyti

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}},\! }           (6)

Atkreipkite dėmesį, kad 1/kV(V0) ir 1/kP(P0) yra stačiakampių tiesių, lygiagrečių P ašiai/V ašiai ir einančių per tą paviršiaus tašką virš PV plokštumos, nuolydžiai. Šių dviejų tiesių nuolydžių santykis priklauso tik nuo P0/V0 vertės tame taške.

Atkreipkite dėmesį, kad (6) funkcinė forma nepriklauso nuo konkretaus pasirinkto taško. Tokia pati formulė būtų gauta bet kuriam kitam P ir V verčių deriniui. Todėl galima užrašyti

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\quad \forall P,\forall V}           (7)

Tai reiškia, kad per kiekvieną paviršiaus tašką eina atskira ortogonalių tiesių pora, o jų nuolydžių santykis priklauso tik nuo to taško. Jei (6) yra santykis tarp konkrečių nuolydžių ir kintamųjų reikšmių, tai (7) yra santykis tarp nuolydžio funkcijų ir funkcijos kintamųjų. Jis galioja bet kuriam paviršiaus taškui, t. y. bet kuriam ir visiems P ir V reikšmių deriniams. Norėdami išspręsti šią lygtį funkcijai kV(V), pirmiausia atskirkite kintamuosius: V - kairėje, o P - dešinėje.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Pasirinkite bet kokį slėgį P1. Dešinioji pusė įvertinama kaip tam tikra savavališka reikšmė, pavadinkite ją _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Dabar ši lygtis turi būti teisinga ne tik vienai V vertei, bet visoms V vertėms. Vienintelis kV(V) apibrėžimas, kuris tai garantuoja visoms V ir bet kokiam _karb, yra toks

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)

tai galima patikrinti pakeitus (8).

Galiausiai, pakeitus (9) į Gay-Lussac'o dėsnį (4) ir pertvarkius, gaunamas kombinuotas dujų dėsnis

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{{\text{arb}}},\! }

Atkreipkite dėmesį, kad nors šiame išvedime Boilio dėsnis nebuvo naudojamas, jis lengvai išvedamas iš rezultato. Paprastai tokio tipo išvedimui pakanka bet kurių dviejų iš trijų pradinių dėsnių - visos pradinės poros veda prie to paties kombinuoto dujų dėsnio.

Kombinuotuoju dujų dėsniu galima paaiškinti mechaninius reiškinius, kai veikia slėgis, temperatūra ir tūris. Pavyzdžiui: oro kondicionieriai, šaldytuvai ir debesų susidarymas, taip pat naudojamas skysčių mechanikoje ir termodinamikoje.

• Daltono dėsnis