Patikimumo intervalas: apibrėžimas, skaičiavimas ir interpretacija

Statistikoje sąvoka "patikimumas" turi panašią reikšmę kaip ir bendrinėje kalboje. Bendrinėje kalboje teiginys, kad kažko patikimumas yra 95 %, paprastai laikomas reiškiančiu faktinį tikrumą. Statistikoje teiginys apie 95 % patikimumą paprasčiausiai reiškia, kad tyrėjas pamatė vieną galimą intervalą iš daugelio galimų, iš kurių devyniolikoje iš dvidešimties intervalų yra tikroji parametro vertė.

Mašina pripildo puodelius margarinu. Šiame pavyzdyje mašina sureguliuota taip, kad puodeliuose būtų 250 g margarino. Kadangi mašina negali užpildyti kiekvieno puodelio tiksliai 250 g, į atskirus puodelius įdedamas turinys šiek tiek skiriasi ir yra laikomas atsitiktiniu kintamuoju X. Daroma prielaida, kad šis skirtumas yra normaliai pasiskirstęs aplink norimą 250 g vidurkį, o standartinis nuokrypis yra 2,5 g. Norint nustatyti, ar mašina tinkamai sukalibruota, atsitiktine tvarka pasirenkama n = 25 puodelių margarino imtis ir puodeliai pasveriami. Margarino svoriai yra X1, ..., X25, atsitiktinė imtis iš X.

Norint susidaryti įspūdį apie lūkesčius μ, pakanka pateikti įvertį. Tinkamas įvertis yra imties vidurkis:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Imtyje pateikiami faktiniai svoriai x1, ...,x25 su vidurkiu:

x¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 g . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250,2\,{\text{gramai}}. }

Jei paimtume kitą 25 puodelių mėginį, nesunkiai rastume 250,4 arba 251,1 gramo. Tačiau vidutinė imties vertė 280 g būtų labai reta, jei vidutinis puodelių kiekis iš tikrųjų yra artimas 250 g. Aplink stebėtą imties vidurkio vertę 250,2 yra visas intervalas, kuriame, jei visos populiacijos vidurkis iš tikrųjų būtų šios vertės, stebimi duomenys nebūtų laikomi itin neįprastais. Toks intervalas vadinamas parametro μ pasikliautinuoju intervalu. Kaip apskaičiuoti tokį intervalą? Intervalo galiniai taškai turi būti apskaičiuoti pagal imtį, todėl jie yra statistiniai duomenys, imties X1, ..., X25 funkcijos, taigi patys yra atsitiktiniai kintamieji.

Mūsų atveju galinius taškus galime nustatyti laikydami, kad normaliai pasiskirsčiusios imties vidurkis X taip pat yra normaliai pasiskirstęs, su ta pačia tikimybe μ, bet su standartine paklaida σ/√n = 0,5 (gramai). Standartizavę gauname atsitiktinį kintamąjį

Z = X¯ - μ σ / n = X¯ - μ 0,5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0,5}}}}

priklauso nuo įvertintino parametro μ, bet turi standartinį normalųjį skirstinį, nepriklausantį nuo parametro μ. Taigi galima rasti nuo μ nepriklausomus skaičius -z ir z, kur Z yra tarp jų su tikimybe 1 - α, t. y. matas, rodantis, kiek norime būti tikri. Imame 1 - α = 0,95. Taigi turime:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alfa =0,95.\,}

Skaičius z išplaukia iš kumuliatyviosios pasiskirstymo funkcijos:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0,975,\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0,975)=1,96,\end{aligned}}}}}

ir gauname:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X¯ + 1.96 σ n ) = P ( X¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0,95&=1-\alpha =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1,96\leq {\frac {{\bar {X}}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}\dešinėje pusėje)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}}-1.96\times 0.5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\times 0,5\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0,98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0,98\right).\end{aligned}}}

Tai galima interpretuoti taip: su tikimybe 0,95 rasime pasikliautinąjį intervalą, kuriame tarp stochastinių galutinių taškų bus parametras μ

X - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

ir

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0,98.\,}

Tai nereiškia, kad yra 0,95 tikimybė, jog parametras μ pateks į apskaičiuotą intervalą. Kiekvieną kartą pakartojus matavimus, bus gaunama kita imties vidurkio X reikšmė. 95 % atvejų μ bus tarp galutinių taškų, apskaičiuotų pagal šį vidurkį, tačiau 5 % atvejų jo nebus. Faktinis pasikliautinasis intervalas apskaičiuojamas į formulę įrašant išmatuotus svorius. Mūsų 0,95 pasikliautinasis intervalas tampa:

( x - 0,98 ; x - + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Kadangi pageidaujama μ reikšmė 250 neviršija nustatyto pasikliautinojo intervalo, nėra pagrindo manyti, kad mašina sukalibruota neteisingai.

Apskaičiuotas intervalas turi fiksuotus galinius taškus, tarp kurių gali būti μ (arba ne). Taigi šio įvykio tikimybė yra 0 arba 1. Mes negalime pasakyti: "su tikimybe (1 - α) parametras μ yra pasikliautinajame intervale". Mes tik žinome, kad kartojant 100(1 - α) % atvejų μ bus apskaičiuotame intervale. Tačiau 100α % atvejų taip nėra. Ir, deja, nežinome, kuriais atvejais taip atsitinka. Todėl ir sakome: "Su 100(1 - α) % patikimumo lygiu μ yra pasikliautinajame intervale. "

Dešinėje pusėje esančiame paveikslėlyje pavaizduota 50 pasikliautinojo intervalo realizacijų tam tikram populiacijos vidurkiui μ. Jei atsitiktinai pasirinksime vieną realizaciją, tikimybė, kad galiausiai pasirinksime intervalą, kuriame yra parametras, yra 95 %; tačiau gali būti, kad mums nepasisekė ir pasirinkome ne tą intervalą. To niekada nesužinosime; mes esame įstrigę su savo intervalu.