Abėcėlė informatikos teorijoje: apibrėžimas, pavyzdžiai ir Kleeno žvaigždė

Išsamus abėcėlės informatikos teorijoje apibrėžimas su aiškiais pavyzdžiais, dvejetaine {0,1}, Kleeno žvaigždės paaiškinimu ir taikymu formaliose kalbose bei automatuose.

Informatikoje abėcėlė paprastai apibrėžiama kaip baigtinė netuščia aibė. Jos elementai vadinami abėcėlės raidėmis arba simboliais (elementais). Abėcėlė turi ribotą skaičių simbolių — tai leidžia apibrėžti eilutes ir kalbas, sudarytas iš šių simbolių.

Pavyzdžiai

Tipiškas abėcėlės pavyzdys yra

{ - , ⋅ } {\displaystyle \{-,\cdot \}}, , kuris gali būti naudojamas Morzės abėcėlei. Kitas pavyzdys — programavimo kalbos raktinių žodžių abėcėlė, pvz. {begin, if, else, for, while} (šie simboliai gali būti programavimo kalbos elementai arba leksemos).

Svarbu pabrėžti, kad natūraliųjų skaičių aibė nėra abėcėlė, nes ji nėra baigtinė — tai iliustruoja, kad abėcėlės apibrėžimas reikalauja baigtinumo.

Dvejetainė abėcėlė ir eilutės

Dažnai informatikoje vartojama abėcėlė yra {0,1}. Ji vadinama dvejetaine abėcėle, nes ją sudaro du simboliai. Iš abėcėlės galima sudaryti eilutę (dar vadinamą žodžiu) — tai baigtinė abėcėlės raidžių seka. Pavyzdžiui, penkių simbolių eilutė, sudaryta iš {0,1}, gali būti 01101.

Tuščia eilutė reiškia eilutę, kurioje nėra simbolių; ji dažnai žymima kaip λ {\displaystyle \lambda }. Tuščia eilutė priklauso bet kuriai abėcėlei ir taip pat yra svarbi teorijoje (pvz., kaip neutrali eilutės elementas concatenacijos atžvilgiu).

Kleeno žvaigždė (Kleeno uždarymas)

Tarkime, kad turime abėcėlę Σ {\displaystyle \Sigma } . Tuomet visų eilučių, kurias galima sudaryti iš Σ {\displaystyle \Sigma }, aibę žymime kaip Σ ∗ {\displaystyle \Sigma ^{*}}. Ši aibė vadinama Σ {\displaystyle \Sigma } Kleeno žvaigžde (arba Kleeno uždarymu) . Pavadinimas kilęs iš matematiko Stepheno Cole'o Kleene'o (Stephen Cole Kleene).

Kleeno žvaigždė apima visas eilutes, įskaitant tuščią eilutę ir visas eilutes bet kokio ilgio, sudarytas iš Σ simbolių. Formaliai:

• Σ0 = {λ} (eilutė su ilgumu 0 — tuščia eilutė),
• Σn — visos eilutės, kurių ilgis yra n, sudarytos iš Σ simbolių,
• Σ* = ⋃_{n≥0} Σn — t. y. visų n sudėjimas nuo 0 iki begalybės.

Pvz., dvinarės abėcėlės Kleeno žvaigždė yra

{ λ , 0 , 1 , 00 , 01 , 10 , 11 , 000 , 001 , ... . } {\displaystyle \{\lambda ,0,1,00,01,10,11,000,001,...\}} . Trys taškai po 001 rodo, kad negalime išvardinti visų elementų, nes ši aibė yra begalinė.

Taip pat verta paminėti Kleeno plius (žymimą Σ+), kuri apima visas ne tuščias eilutes: Σ+ = ΣΣ* = ⋃_{n≥1} Σn.

Eilutės operacijos ir kalbos

Iš abėcėlės Σ galima apibrėžti kalbas — tai Σ* poaibes (šios poaibės gali būti baigtinės arba begalinės). Dažniausiai vartojamos operacijos tarp kalbų:

• Jungtis (A ∪ B),
• Sandauga / konkatenacija (A · B arba AB) — visos eilutės, kurios yra vienos iš A eilutės sujungimas su vienos iš B eilute,
• Kleeno žvaigždė (A*),
• Sankirtos ir komplementas,
• Ilgio ir prefikso/sufikso savybės — pvz., eilutės ilgis, prefikso ir sufikso apibrėžimai.

Praktinis ir teorinis reikšmingumas

Abėcėlės ir iš jų sudarytos eilutės yra esminė formalios kalbų teorijos dalis. Jos naudojamos tiriant formalias kalbas, regularias išraiškas, baigtinius automatų modelius ir kitas struktūras, o taip pat nagrinėjant sudėtingus informatikos klausimus apie tai, ką galima automatiškai atpažinti ar apskaičiuoti. Supratimas apie abėcėles, Σ*, kalbas ir jų operacijas yra pagrindas tokiai sričiai kaip leksinė analizė, sintaksės analizė, reguliariosios kalbos bei skaičiavimo ir sudėtingumo teorija.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra abėcėlė?

K: Ar natūraliųjų skaičių aibę galima laikyti abėcėle?

K: Kokia abėcėlė dažniausiai naudojama informatikoje?

K: Ką reiškia sudaryti eilutę iš abėcėlės?

K: Ką reiškia Kleeno žvaigždė?

Klausimas: Kaip galime pavaizduoti Kleeno žvaigždę dvinariam alfabetui?

Klausimas: Kodėl abėcėlės yra svarbios informatikoje?

Paieška pagal raidę